第1章 有理数 知识清单 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第1章　有理数 依据浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共四节：1.1从自然数到有理数；1.2数轴；1.3绝对值；1.4有理数的大小比较。本章在小学学过的自然数、分数（小数）的基础上引入负数，把数的范围扩充到有理数；学习用数轴上的点表示有理数，理解相反数、绝对值的意义，掌握比较有理数大小的方法。 【考点地位】有理数是初中数学“数与代数”领域的基础内容。正数、负数、数轴、相反数、绝对值与有理数的大小比较是各地期中、期末考试的必考点，也是后续学习有理数运算、实数、整式与函数的重要基础，具有“基础性＋工具性”的双重地位。 【学习目标】①理解负数的意义，能举例说明具有相反意义的量；②理解有理数的意义，会把有理数分类；③理解数轴的三要素，能用数轴上的点表示有理数；④理解相反数与绝对值的意义，会求一个有理数的相反数和绝对值；⑤能利用数轴和绝对值比较两个有理数的大小。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心内容”三层呈现。 节次 核心内容 1.1　从自然数到有理数 相反意义的量；正数、负数与0；整数、分数与有理数的分类 1.2　数轴 数轴的三要素；用数轴上的点表示有理数；相反数及其几何意义 1.3　绝对值 绝对值的意义与表示；绝对值的性质；任何数的绝对值都大于或等于0 1.4　有理数的大小比较 数轴比较法；符号法则；绝对值比较法 二、核心公式定理 【速查表】本章以概念与性质为主，集中列出有理数的核心概念、性质与比较法则，复习时逐条对照记忆。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 正数、负数 一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数表示，如8 848.86，36，，1.31等，这样的数叫作正数。把另一种与之意义相反的量规定为负，在大于零的数前面放上负号“−”来表示，如−500，−60，−，−0.5等，这样的数就叫作负数。 正号“＋”常省略不写；0既不是正数，也不是负数。 有理数的分类 正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 正整数和零统称自然数；有限小数和无限循环小数都可以化为分数。 数轴 像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 数轴的三要素缺一不可；任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数；0的相反数是0。 表示互为相反数（0除外）的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。 绝对值 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，一个数a的绝对值表示为|a|。 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；任何数的绝对值都大于或等于0。 有理数的大小比较（数轴法） 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 数形结合直观判断大小，不易记反。 有理数的大小比较（绝对值法） 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 负数比较时“绝对值大的反而小”，最容易记反。 三、考点知识梳理 （一）1.1　从自然数到有理数 【知识定位】从生活实例认识具有相反意义的量，理解正数、负数与0的意义，会把有理数分类，这是学习本章全部内容的基础。 【相反意义的量】数是由生产和生活的需要而产生、发展起来的。在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到具有相反意义的量，如零上温度与零下温度、水位升高与降低、收入与支出、盈利与亏损等。为了区别这种具有相反意义的量，通常把一种意义的量用以前学过的数或者带有“＋”（正号）的数表示，把另一种与之意义相反的量用带有“−”（负号）的数表示。 【正数和负数】一般地，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数表示，如8 848.86，36，，1.31等，这样的数叫作正数。正数前面可以放上正号“＋”来表示（常省略不写）。把另一种与之意义相反的量规定为负，在大于零的数前面放上负号“−”来表示，如−500，−60，−，−0.5等，这样的数就叫作负数。0既不是正数，也不是负数。 【有理数的分类】正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数。正整数和零统称自然数。从小学开始，我们依次学习了正整数、零、自然数、正分数（小学里学过的有限小数和无限循环小数都可以化为分数）、负整数、负分数、有理数，它们之间的关系如图1所示。 图1 有理数的分类结构图 【例1 数的分类】下列给出的各数，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是整数？哪些是分数？哪些是有理数？−8.4，22，+，0.33，0，−，−9。 【分析】解：22是正整数；−9是负整数；+，0.33是正分数；−8.4，−是负分数；22，0，−9是整数；−8.4，+，0.33，−是分数；所给各数均为有理数。 （二）1.2　数轴 【数轴的定义】画一条直线（一般画成水平的），在直线上任取一点O作为原点，表示数0；规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向；再取适当的长度为单位长度。像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。如图2所示。 图2 数轴 【有理数与数轴上的点】任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 【相反数】如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。注意，0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。例如，表示−100和100的点分别位于原点的左侧和右侧，到原点的距离都是100个单位长度。 （三）1.3　绝对值 【绝对值的定义】我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。一个数a的绝对值表示为|a|。例如，数轴上表示−5的点到原点的距离是5，所以−5的绝对值是5，记作|−5|＝5；同理，5的绝对值也是5，记作|5|＝5。 【绝对值的性质】一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。互为相反数的两个数的绝对值相等。任何数的绝对值都大于或等于0。 【例2 求绝对值等于4的数】求绝对值等于4的数。解：因为数轴上到原点的距离等于4个单位长度的点有两个（图3），即表示+4的点P和表示−4的点M，所以绝对值等于4的数是+4和−4。 图3 绝对值等于4的点 （四）1.4　有理数的大小比较 【数轴比较法】一般地，我们有：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 【例1 数轴表示与比较】在数轴上表示数5，0，−4，−1，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”连接。解：将它们按从小到大的顺序排列为−4＜−1＜0＜5。 【绝对值比较法】两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 【例2 比较大小并说明理由】比较下列各对数的大小，并说明理由。（1）1与−10；（2）−0.001与0；（3）−与−。解：（1）因为正数大于负数，所以1＞−10。（2）因为负数都小于零，所以−0.001＜0。（3）因为|−|＝＝，|−|＝＝，而＞，所以|−|＞|−|。因为两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，所以−＜−。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】相反意义分正负，零是界点站中间；数轴三要素记牢，原点方向单位长；相反数只差符号，零的相反数是零；绝对值看距离，正本身、负相反、零不变；两个正数比大小，绝对大的数就大；两个负数比大小，绝对大的反而小；数轴上左小右大，正大于零负小于零。 【对比记忆】“相反数”与“绝对值”是本章的两个核心概念，对比如下。 比较项目 相反数 绝对值 定义 只有符号不同的两个数 一个数在数轴上对应的点到原点的距离 表示 −a与a |a| 性质 0的相反数是0；表示互为相反数（0除外）的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；任何数的绝对值都大于或等于0 联系 互为相反数的两个数的绝对值相等 绝对值相等的两个数相等或互为相反数（可由数轴直观理解） 【易混对比】①0既不是正数，也不是负数，但0是整数、是有理数；②“相反数”只看符号，“绝对值”只看距离；③互为相反数的两个数绝对值相等；反之，绝对值相等的两个数可能相等（即同一个数），也可能互为相反数。例如 |2|＝|2| 时两数相等而非互为相反数，而 |2|＝|−2| 时2与−2互为相反数。 五、解题方法总结 题型1　有理数的分类 【解题方法】①先看数的形式：是整数（正整数、零、负整数）还是分数（正分数、负分数）；②有限小数、无限循环小数都可化为分数，归入分数类；③分类时先分“整数、分数”，再分“正、负”，两步完成，不重不漏。 【数学思想】分类讨论思想：按统一标准分类，做到不重不漏；注意0既不是正数，也不是负数。 题型2　求相反数与绝对值 【解题方法】①求相反数：只改变原数的符号（正变负、负变正），0的相反数是0；②求绝对值：先判断原数的正负——正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；③求绝对值等于a（a＞0）的数：在数轴上找到距原点a个单位长度的点，这样的点有两个。 【数学思想】数形结合思想：借助数轴直观理解相反数、绝对值的几何意义。 题型3　有理数的大小比较 【解题方法】①数轴法：把各数表示在数轴上，右边的数总比左边的数大；②法则法：先判正负——正数大于0、负数小于0、正数大于负数，同号再比绝对值——两个负数比较，绝对值大的反而小；③比较分数大小时，可先通分（或化为小数）再比较。 【数学思想】转化思想：把负数的大小比较转化为绝对值的大小比较；把分数的大小比较转化为通分后的比较。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 误认为“0不是有理数” 0是整数，是有理数；0既不是正数，也不是负数。 分类时漏掉0 有理数先按“整数、分数”分类，0属于整数；正整数和零统称自然数。 误认为“|a|＝a” 只有a≥0时|a|＝a；a＜0时|a|＝−a；任何数的绝对值都大于或等于0。 误认为“只有正数才有相反数” 每一个有理数都有相反数，0的相反数是0。 误认为“互为相反数的两个数一定一正一负” 0的相反数是0，而0既不是正数也不是负数。 比较两个负数时误认为“绝对值大的数大” 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 数轴比较时忽略方向 数轴上的点从左到右越来越大，右边的数总比左边的数大。 七、高频考点速记 ①负数表示具有相反意义的量；0既不是正数，也不是负数。 ②正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 ③数轴三要素：原点、单位长度、正方向；任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。 ④相反数：只有符号不同；0的相反数是0；表示互为相反数（0除外）的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。 ⑤绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；任何数的绝对值都大于或等于0。 ⑥比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 ⑦两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较，绝对值大的数反而小。 八、学情自测 （一）选择题 1．下列各数中，是负分数的是（ ） A．22 B．0.33 C．−D．−9 2．下列各数中，是正整数的是（ ） A．−8.4 B．+ C．0.33 D．22 3．−5的相反数是（ ） A．−5 B．0 C．5 D． 4．0的相反数是（ ） A．0 B．1 C．−1 D．不存在 5．|−3|的值是（ ） A．−3 B．3 C．±3 D．− 6．绝对值等于4的数是（ ） A．4 B．−4 C．4和−4 D．2 7．在数轴上，表示−2的点在表示1的点的（ ） A．左边 B．右边 C．重合 D．无法确定 8．下列各数中，绝对值最大的是（ ） A．−7 B．−2.05 C．0 D． 9．下列各对数中，互为相反数的是（ ） A．−5与5 B．−5与 C．3与− D．0与1 10．下列各式中，正确的是（ ） A．−＞−1.4 B．−＜−1.4 C．−＝−1.4 D．无法比较 11．下列各数中，既不是正数也不是负数的是（ ） A．＋10 B．−1.6 C．0 D．2.5 12．数轴上到原点的距离等于2个单位长度的点表示的数是（ ） A．2 B．−2 C．2和−2 D．4 13．下列说法中正确的是（ ） A．绝对值一定是正数 B．正数和负数统称有理数 C．0既不是正数，也不是负数 D．整数就是正整数和负整数 14．在数轴上，表示−100与100的两个点（ ） A．都在原点左侧 B．都在原点右侧 C．位于原点两侧，且到原点的距离相等 D．重合 （二）填空题 15．把下列各数填在相应的横线上：−2.7，15，，0.11，0，−，−21，＋9.87，＋69，＋，0.99。正数：________________；负数：________________；既不是正数也不是负数：________________。 16．填空：（1）0的相反数是__________，绝对值是__________；（2）5.1的相反数是__________，绝对值是__________；（3）|−5|＋|−4|＝__________，|5|−|−4|＝__________。（三）解答题 17．把下面各组数表示在数轴上，并按从小到大的顺序用“＜”连接：（1）−7，−3，−1；（2）5，0，−4，−2。 18．如图，数轴的单位长度为1。（1）如果点P，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是多少？（2）如果点R，T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是正数，还是负数？（3）图中表示的五个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？ 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】C 解题步骤： ①22是正整数，0.33是正分数，−9是负整数；②只有−是负分数，故选C。 【知识点睛】判断数的类别先看形式：整数（正、零、负）或分数（正、负）；有限小数属于分数。 2．【答案】D 解题步骤： ①−8.4是负分数，+与0.33是正分数，0既不是正数也不是负数；②只有22是正整数，故选D。 【知识点睛】正整数是大于零的整数，注意0与负整数都不是正整数。 3．【答案】C 解题步骤： ①−5与5只有符号不同，互为相反数；②−5的相反数是5，故选C。 【知识点睛】求相反数只改变符号；注意0的相反数是0。 4．【答案】A 解题步骤： 0的相反数是0，故选A。 【知识点睛】0是特殊的数：它的相反数、绝对值都是0。 5．【答案】B 解题步骤： ①−3是负数；②负数的绝对值是它的相反数，|−3|＝3，故选B。 【知识点睛】求绝对值先判断正负：负数取它的相反数。 6．【答案】C 解题步骤： ①数轴上到原点的距离等于4个单位长度的点有两个，分别表示+4和−4；②绝对值等于4的数是4和−4，故选C。 【知识点睛】绝对值等于a（a＞0）的数有两个，它们互为相反数。 7．【答案】A 解题步骤： ①在数轴上，−2在0的左侧，1在0的右侧；②右边的数总比左边的数大，故表示−2的点在表示1的点的左边，故选A。 【知识点睛】数轴法比较大小：左小右大。 8．【答案】A 解题步骤： ①|−7|＝7，|−2.05|＝2.05，|0|＝0，||＝；②7最大，故选A。 【知识点睛】绝对值表示数轴上点到原点的距离，比较各数的绝对值大小即可。 9．【答案】A 解题步骤： ①只有符号不同的两个数互为相反数；②−5与5只有符号不同，互为相反数，故选A。 【知识点睛】判断相反数只看符号是否相反；与绝对值大小无关。 10．【答案】B 解题步骤： ①−＝−1.75；②−1.75＜−1.4，即−＜−1.4，故选B。 【知识点睛】两个负数比较，绝对值大的反而小；也可化为小数后比较。 11．【答案】C 解题步骤： ＋10、2.5是正数，−1.6是负数，0既不是正数也不是负数，故选C。 【知识点睛】0是正数与负数的分界点。 12．【答案】C 解题步骤： ①到原点距离等于2个单位长度的点有两个，分别表示2和−2；②故选C。 【知识点睛】到原点距离为a（a＞0）的点表示的两个数互为相反数。 13．【答案】C 解题步骤： ①|0|＝0不是正数，A错；②有理数包括整数和分数，也包含0，B错；③0既不是正数也不是负数，C对；④整数还包括0，D错。 【知识点睛】判断概念正误要逐项分析，特别注意0的特殊性。 14．【答案】C 解题步骤： ①−100与100互为相反数；②表示互为相反数（0除外）的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等，故选C。 【知识点睛】互为相反数的点在数轴上关于原点对称。 （二）填空题 15．【答案】正数：15，，0.11，＋9.87，＋69，＋，0.99；负数：−2.7，−，−21；0既不是正数也不是负数。 解题步骤： ①大于零的数是正数：15，，0.11，＋9.87，＋69，＋，0.99；②小于零的数是负数：−2.7，−，−21；③0既不是正数也不是负数，不填入前两类。 【知识点睛】分类时先把0单独挑出，再按大于0、小于0分组，做到不重不漏。 16．【答案】（1）0，0；（2）−5.1，5.1；（3）9，1。 解题步骤： ①0的相反数是0，绝对值是0；②5.1的相反数是−5.1，绝对值是5.1；③|−5|＋|−4|＝5＋4＝9；|5|−|−4|＝5−4＝1。 【知识点睛】相反数只变符号；绝对值先判正负；互为相反数的两个数的绝对值相等。 （三）解答题 17．【答案】（1）−7＜−3＜−1；（2）−4＜−2＜0＜5。 解题步骤： ①把各组数分别表示在数轴上；②数轴上右边的数总比左边的数大，按从左到右的顺序用“＜”连接，得（1）−7＜−3＜−1；（2）−4＜−2＜0＜5。 【知识点睛】数轴法比较大小：先画数轴标出各点，再按“左小右大”排序连接。 18．【答案】（1）点S表示的数是0；（2）点S表示的数是负数；（3）点Q表示的数的绝对值最大。 解题步骤： ①由图可知，点Q，P，R，S，T每相邻两个点相距1个单位长度，其中点S到点T相距2个单位长度；（1）若点P，T表示的数互为相反数，则原点在点P，T的中间，距两点各2个单位长度，原点恰好落在点S处，故点S表示的数是0；（2）若点R，T表示的数互为相反数，则原点在点R，T的中间，距两点各1.5个单位长度，原点在点S右侧0.5个单位长度处，故点S表示的数是负数；（3）无论原点取上述哪种位置，点Q到原点的距离都是五个点中最远的，所以点Q表示的数的绝对值最大。 【知识点睛】表示互为相反数的两个点关于原点对称；绝对值表示点到原点的距离，离原点越远绝对值越大。 学科网（北京）股份有限公司 $