专题02 点、直线、圆与圆的位置关系与应用（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02点、直线、圆与圆的位置关系与应用 题型归纳 题型一点与圆的位置关系 题型二直线与圆的位置关系 题型三圆与圆的位置关系 题型四圆上到直线距离为定值的点 题型五公切线条数的判定 题型六由公切线条数求参数 题型七公切线的方程与切线长 题型八圆上存在点的转化 题型专练 题型一：点与圆的位置关系 1,已知点1,1)在圆X2+y2-ax+三d2-2=0外，则实数a的取值范围为《) a.-.0iuf+ B.(-2,0)U 含2 c.-2,-u(0,2) D.（-2,2) 2.若点P1,1在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是() A.-2,+0 c.2. D.-2,2 3.若点A0,4在圆x+y2+2x-4y+k2-k-2=0外，则实数k的取值范围是() A.-1,2 B.-0,-1U2,+00 c.-6,-1U2,+o D.-6,+∞ 4.若点M1,a在圆C:x+y2=2的内部，则实数a的取值范围是() 117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2,2 B.-1,1 c.-o,-1U1,+o D.-o,-V2uV2,+0 5设合a-xx-1y-,B侣引唱 则AnB=() A. c 6384 0.号 6.若点1,2在圆x2+y+x-y+a=0的外部，则实数a的取值范围是 7.若点Aa+1,3在圆C:x-a+y-12=m的外部，则实数m的取值范围 题型二：直线与圆的位置关系 1.已知圆C:(x+cos0)2+(y-sin0)2=1,那么直线l:ax+by=0与圆的位置关系是() A.相离或相切 B.相交或相切 C.一定相交 D.不能确定 2.直线y=3×绕原点逆时针能转片后所得直线与圆[x+1P+(y-7=8的位置关系是(） A.相交且相交弦长为3 B.相交且相交弦长为23 C.相切 D.相离 3.已知P(xo,yo)是圆C:x2+y=r2(r>0)内异于圆心的一点，则直线Xx+yoy=r与圆C的位置关系是 () A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 4.已知直线l:2m2+m+1x+m2-m-3y=3m2-2(其中m∈R)与圆C:x2+y2-4x=0,则直 线l与圆C的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.与m的取值有关系 5.已知⊙O:x2+y2-2x+4y-20=0,直线m:y-2=kx+1,则直线m与⊙O的位置关系() A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.直线！：4x-3y-a=010≤a<15与圆C:x2+y2=9的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 7.已知a=2cosa,2sina,b=3cosB,3sinB,若a与b的夹角为60°，则直线 2 xcOS-2 ysina+1=0与圆x-cosβ2+y+sinβ2=1的位置关系是 题型三：圆与圆的位置关系 1.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-32+(y-4)2=16,则两圆位置关系为() A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 2.已知圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m≠0)关于直线x+2y+1=0对称，圆C2: (x+22+y-32=16,则圆C1与圆C2的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 3.己知圆C1:x2+y2+2x+m=0,C2:(x-2?+(y-42=1,若C1与C2外切，则m= 4.圆C1:x2+y2=25与圆C2:x-1}+y-a=4a>0相交，则a的取值范围为 5.已知圆C1:x2+y-6x-8y+24=0与圆C2:x+y2+2x-2y-t=0外离，则实数t的取值范围为 题型四：圆上到直线距离为定值的点 1.已知圆x2+y=4上的点P到直线x-2y+m=0的距离为1的点有2个，则m范围为() A.-0,5 B.-35,-V5 c.V5,3V5 D.-35,-V5UV5,3V5 4V/5 2.若圆x+y+1=r2(r>0)上到直线y=2X-2的距离为S的点有且仅有2个，则半径r的取值范 围是( 02V5 A.0,5 2V6V5 5’5 65 C. 25,25 5 3.己知圆C:x-12+y-2?=9上存在四个点到直线l:x-y+b=0的距离等于1，则实数b的范围是( 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-0,1-2V2U1+2V2,+oo B.1-2V2,1+22 c.-o,1-/2u1+9V2,+o∞l D.1-V2,1+2 4.若曲线C:x=√9-y2上存在两点到直线！：3x-y-n=0(n>0)的距离为6，则n的取值范围为( ) A.8,11 B.8,11 c.15,18 D.15,18 5.己知圆x+1+y2=r2(r>0)上到直线x+3y-2=0的距离为1的点有且仅有3个，则r的值为( ) 1 A.2 3 B. c 6.已知点A2,0,圆C:x+y+4x-4=0.过点A作直线1，若圆C上恰有三个点到直线1距离为V2, 则该直线斜率为 题型五：公切线条数的判定 1.己知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x+42+y-32=36,则圆C1与圆C2的公切线（与两圆都相切的直线） 条数为() A.1 B.2 c.3 D.4 2.圆C1:x2+y=1与圆C2:x2+y2+6x+5=0公切线的条数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.圆C1:x2+y2=4与圆C2x2+y2+4y-12=0的公切线的条数是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知⊙C1:x-22+y-a2=16关于直线x+y-5=0对称，⊙C2:x-12+y+12=1,则⊙C1与 ⊙C2的公切线的数量为() A.1 B.2 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.3 D.4 题型六：由公切线条数求参数 1.己知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-2mx+m2-4=0至少有三条公切线，则实数m的 取值范围是( A.-0o,-5U3,+o B.-0,-5U3,+o c.-5,3 D.-5,3 2.若圆01：x2+y2=1与圆02：x-a+(y-b}=9a,b∈R有且仅有2条公切线，则3a-4b+10的 取值范围为() A.0,6 B.0,6 c.0,30 D.0,30 3.若圆01：x2+y2=1与圆02：x-a+y-b2=9a,b∈R有且仅有3条公切线，则a2+b2=: 3a-4b+5的最大值为 4.已知圆C1:x2+y2=5和圆C2:x2+y2+4x-8y+m=2011有3条公切线，则m= 5.若圆01：x2+y2=1与圆02：x-aP+y-b2=9a,b∈R有且仅有3条公切线，则3a-4b+5的最大 值为 6.已知圆C1:x2+y2=2和圆C2:x2+y2+4x-4y+m=0有3条公切线，则m= 题型七：公切线的方程与切线长 1.圆M:(x-22+(y-12=4,圆N:(x+22+(y+12=4,则两圆的一条公切线方程为() A.x-2y-5=0 B.4x+3y=0 c.x-2y+V5=0 D.3x+4y=0 2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线方程为() A.3x-4y-5=0 B.3x+4y-5=0 c.4x-3y-5=0 D.4x-3y+5=0 3.曲线C1:y=1-x关于y=x-1对称后的曲线为C2,则C1与C2公切线为() A.x+2y+V2=0 B.x+y-V2=0 C.x+2y-V2=0 D.x+y+V2=0 4.圆P:x-1+y-1P=r斤，圆Q:x2+y2=r2,且r1+r2=2V2,r1,r2分别为两圆半径，圆P和圆Q有 且仅有一条公切线l,则直线的方程为 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.写出与圆x-12+y-22=1和圆x+1P+y+22=1都相切的一条直线的方程 6.已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-32+(y-2}=1,则过点M1,4 且与C1,C2都相切的直线方程为 7.已知圆C1:(x-12+y2=1和圆C2:x2+y-4x-4y+4=0,则圆C1与C2公切线段的长度为 8.圆C1:x2+y2+4x+6y-23=0与圆C2:x-2P+y-1=4的公切线长为 题型八：圆上存在点的转化 1.已知圆C:(x-62+y2=1,直线l:y=kX+2,若直线l上存在一点Px,yo,使得以点P为圆心，1为 半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是() A.o. 4 B.-00,- U0,+00 3 c.-go o.-0) 2.己知集合A=x,y川x-a2+y+2P<4,B={x,y川x-12+y-b2<1,若BcA,则实数 +1 -3 的取值范围是() o.o. o.o 3.己知圆C1:(x-12+(y+2)}=1,AB为圆C1的一条弦，且AB=3,若圆 C2:(x-4P+(y-2P=r2(r>0)上存在点P,使得直线PA,PB与圆C1相切，则r的取值范围是( A.2,+0 B.2,6 C.3,+oo D.3,7 4.己知圆C:x-4}+y-32=1和两点A-m,0,Bm,0(m>0),若圆C上存在点P,使得 PA·PB=0,则m的最大值为( A.3 B.4 C.5 D.6 5.己知圆C:(x-52+(y+2P=r2(r>0,A-6,0,B0,8,若圆C上存在点P使得PA1PB,则r的 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取值范围为() A.l0,5 B.5,55u55,15 c.10,55u5V5,15 D.15,+∞ 717可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02点、直线、圆与圆的位置关系与应用 题型归纳 题型一点与圆的位置关系 题型二直线与圆的位置关系 题型三圆与圆的位置关系 题型四圆上到直线距离为定值的点 题型五公切线条数的判定 题型六由公切线条数求参数 题型七公切线的方程与切线长 题型八圆上存在点的转化 题型专练 题型一：点与圆的位置关系 1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 64 7.0,5 题型二：直线与圆的位置关系 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.相切 题型三：圆与圆的位置关系 1.B 2.B 3.-15 4.22,43 5.-2,14 题型四：圆上到直线距离为定值的点 1.D 2.B 3.B 4.C 5.c 7 6.±7 题型五：公切线条数的判定 1.B 2.C 3.A 4.B 题型六：由公切线条数求参数 1.A 2.D 3.16 25 4.2026 5.25 6.6 题型七：公切线的方程与切线长 1.D 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.D 3.B 4.x+y-3=0或x+y+1=0 5.x=0或4y-3x=0或2x-y±V5=0(答案不唯一) 6.5x+12y-26=0 7.2 8.4 题型八：圆上存在点的转化 1.D 2.A 3.D 4.D 5.B 313 专题02 点、直线、圆与圆的位置关系与应用 题型一 点与圆的位置关系 题型二 直线与圆的位置关系 题型三 圆与圆的位置关系 题型四 圆上到直线距离为定值的点 题型五 公切线条数的判定 题型六 由公切线条数求参数 题型七 公切线的方程与切线长 题型八 圆上存在点的转化 题型一：点与圆的位置关系 1．已知点在圆外，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【解析】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 2．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【解析】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 3．若点在圆外，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可. 【解析】由， 化为标准方程可得：， 则，即，① 又在圆外，可得：，解得：或，② 由①②取交集可知，实数的取值范围是， 故选：C. 4．若点在圆C：的内部，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在圆的内部，得，即，解得， 所以实数的取值范围为． 5．设集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次判断集合中的每个元素是否在圆上即可. 【解析】已知集合，， 将集合中的元素代入圆， 计算得，而，可知点在圆上，点不在圆上， 于是，故C正确. 6．若点在圆的外部，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为方程表示圆， 所以，解得； 因为点在圆的外部， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 7．若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 【答案】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【解析】根据题意可得，解得. 故答案为：. 题型二：直线与圆的位置关系 1．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（　　） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【解析】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 2．直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式计算斜率，再由直线与圆的关系即可求解. 【解析】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，， 所以， 所以，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交， 相交弦长为：. 3．已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用几何法判断.由圆心到直线的距离与半径的大小关系，则可判断直线与圆的位置关系. 【解析】由已知得：圆的圆心为，半径为， ∵是圆内异于圆心的一点， ∴，∴， 则圆心到直线的距离为：， 故直线与圆相离. 4．已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【解析】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 5．已知，直线，则直线与的位置关系（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】先求出直线经过的定点坐标，判断点与圆的位置关系即可得出结论. 【解析】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A 6．直线与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求得的范围，进而可得结论. 【解析】由圆，得圆心，半径为， 所以圆心到的距离为， 又因为，所以， 所以直线与圆相交. 故选：A. 7．已知，，若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是______． 【答案】相切 【分析】根据向量的数量积、向量数量积的坐标表示，结合两角差的余弦公式得到；根据点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系判断即可. 【解析】已知，， 所以，， 则， 又， 所以，所以. 圆的圆心为，半径为1. 圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相切. 题型三：圆与圆的位置关系 1．已知圆，圆，则两圆位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径的和差进行比较，得到答案. 【解析】圆，圆， 所以两圆圆心为，， 所以， 两圆半径分别为，， 所以， 所以两圆位置关系为相切（外切）. 2．已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【解析】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 3．已知圆：，：，若与外切，则_____________. 【答案】 【分析】把圆化为标准式，算出圆心距，再利用两圆外切时圆心距等于半径之和的条件，解方程求出. 【解析】圆：，配方得：，圆心为 ，半径为 ； 圆：，圆心为 ，半径为； 两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和， 圆心距为，所以， 解得. 故答案为： 4．圆与圆相交，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】先找出两个圆的圆心和半径，然后根据两圆的位置关系建立不等式，解出即可. 【解析】由的圆心，半径为， 的圆心，半径为， 所以圆心距为， 因为圆与圆相交，所以， 即，则得， 又，所以解得：， 故答案为：. 5．已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【解析】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 题型四：圆上到直线距离为定值的点 1．已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算圆心到直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点有2个的条件列不等式求解的取值范围. 【解析】因为圆的圆心,半径， 且圆心到直线的距离， 由题意可得， 即， 所以， 解得. 2．若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求圆心到直线的距离，结合题意分析可知，运算求解即可. 【解析】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 则，即，解得， 所以半径的取值范围是. 3．已知圆：上存在四个点到直线：的距离等于1，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心与半径，根据圆上存在4个到直线距离为1的点，推出圆心到直线的距离小于半径减1，代入点到直线距离公式求解b的范围 【解析】由圆可得，圆心为，半径. 若圆上存在四个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足， 根据点到直线的距离公式，，代入不等式得： ， 化简得，即，解得. 4．若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【解析】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 5．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【解析】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 6．已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，然后对的斜率是否为进行分类讨论，由此列方程求得直线的斜率. 【解析】圆，即， 所以圆是圆心为，半径为的圆. 由于，所以点在圆外. 当直线l斜率为0时，直线的方程为， 圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线l：，则由题意C到l的距离等于，即， 解得，故直线的斜率为. 题型五：公切线条数的判定 1．已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数. 【解析】首先确定两圆的圆心和半径：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 两圆圆心距：. 两圆半径差的绝对值为，两圆半径和为， 因为，故两圆相交，因此相交的两圆共有条公切线. 2．圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 3．圆与圆的公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设的半径为，的半径为， 由题意得，，，，，，则， 可得两圆内切，即两圆的公切线条数为. 4．已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ， ，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 题型六：由公切线条数求参数 1．已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【解析】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 2．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系得出，再将问题转化为求圆环内的点到直线的距离的取值范围. 【解析】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 3．若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 16 25 【分析】使用两圆外切的几何条件计算，令，使用的几何意义求解. 【解析】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 4．已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【答案】 【解析】两圆有3条公切线说明两圆外切，圆，圆心，半径为， 圆，化为标准方程， 圆心，半径为，圆心距为， 由外切性质可知，，即，解得. 5．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【解析】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 6．已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【解析】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 题型七：公切线的方程与切线长 1．圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程得圆心和半径，判断两圆外离，求公切线时，利用圆心到直线的距离等于半径这一条件，逐一检验选项：分别计算两圆心到各直线的距离，若都等于半径，则该直线为公切线. 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 2．已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 3．曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【解析】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 4．圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【解析】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 5．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______. 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果. 【解析】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 6．已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为_________． 【答案】 【分析】求解经过与圆相切的直线方程，然后判断与相切的直线方程即可． 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为， 而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在， 当过点且与相切的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则，解得或， 故切线方程为或， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆不相切，故不满足题意， 圆的圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，满足题意， 综上所述，过点且与，都相切的直线方程为. 故答案为：． 7．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【解析】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 8．圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【解析】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 　　 题型八：圆上存在点的转化 1．已知圆，直线，若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为圆心到直线的距离问题，再由点到直线的距离公式可得. 【解析】圆的圆心为，半径为1， 若直线上存在一点，使得以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 即，解得. 2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将集合间的包含关系转化为两开圆的内含或内切关系，从而得到动点的轨迹是圆心为，半径为的闭圆，再将所求代数式转化为动点与定点连线的斜率，进而根据直线与圆相切或相交求解即可． 【解析】由集合是圆心为，半径为的圆的内部的点的集合， 集合是圆心为，半径为的圆的内部的点的集合， 又，则圆在圆内，即，即， 则，即的轨迹是圆心为，半径为的圆上及圆内部点的集合， 令，则的几何意义是动点与点连线的斜率， 则设过动点和点的直线的方程为，即， 所以该直线与圆相切或相交， 所以圆心到该直线的距离， 整理得，解得． 3．已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算弦的弦心距，推导到的距离，结合两圆位置关系求的取值范围. 【解析】 圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，， 弦心距， ，与圆相切，所以，， ，， 所以，， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ， ， 解得. 4．已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】解法一：由知，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，进而得到圆和圆有公共点（相交或相切），结合圆和圆的位置关系求解即可；解法二：设，,由化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【解析】解法一：由知， 则点在以为直径的圆上，即以原点为圆心，为半径的圆上． 又点在圆上，所以圆和圆有公共点（相交或相切）， 由圆：，得其圆心，半径为1， 则两圆圆心距，需满足，解得， 则的最大值为6. 解法二：设，, 则， 则 ，其中，即， 因为，所以， 又，则，即的最大值为6. 5．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【解析】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：； 又当时，点同时在圆上，所以， 所以且. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $