专题01 圆的方程与应用（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆的方程与应用 题型归纳 题型一求圆的方程 题型二二元二次方程表示圆的条件 题型三圆过定点的条件 题型四圆系方程的应用 题型五圆的对称性与圆心性质 题型六曲线方程的识别 题型专练 题型一：求圆的方程 1.已知圆C经过A1,2、B3,4两点，圆心在直线x-y+1=0上，则圆C的方程为() A.x-12+y-22=4 B.x-32+y-42=8 c.x-22+y-32=2 D.x-1+y-42=4 【答案】C 【分析】设圆心Ca,a+1,根据AC=BC结合平面内两点间的距离公式可得出关于a的等式，解出 Q的值，可得出圆心C的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆C的方程 【解析】根据题意设圆心Ca,a+1,因为圆C经过A1,2、B3,4两点，则AC=BC, 所以a-12+a+1-27=a-32+a+1-4,解得a=2, 故圆心为C2,3,圆的半径为AC=V2-12+3-22=V2, 故圆C的方程为x-22+y-3}2=2. 故选：C. 2.己知圆c过点0,2,4,0,2，-4，则圆C的标准方程为() A.x+12+y-1}=10 B.(x-12+y+1=40 c.x-12+y+12=10 D.x+12+y-12=40 【答案】C 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】设圆的标准方程为x-a2+y-bP=r2, 0-a2+2-b2=r2 将0,2,4,01,2，-4代入圆的方程中可得4-a2+0-b2=r2 ,解得b=-1,a=1,r=V10, 2-a2+-4-b2=r2 故圆的标准方程为x-12+y+12=10 3.过点A-1,0,B4,0,C(3,2)的圆的一般方程为() A.x2+y+3X+2=0 B.x2+y2-3x-4=0 C.x2+y2+2x+1=0 D.x2+y2-2x-3=0 【答案】B 【分析】设圆的方程为x+y+Dx+y+F=0,根据题意，列出关于D,E,F的方程组，求得D,E,F 的值，即可得到圆的一般方程 【解析】由题意，设所求圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0, 因为圆过点A-1,0,B4,0,C3,2, 1-D+F=0 可得 16+4D+F=0 解得D=-3,E=0,F=-4, 9+4+3D+2E+F=0 所以所求圆的一般方程为x2+y2-3x-4=0: 故选：B. 4.若直线4x+3y-12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以AB为直径的圆的方程为（) A.x2+y2-3x-4y=0 B.x2+y2-4x-3y=0 C.x2+y+3x+4y=0 D.x+y2+4x+3y=0 【答案】A 【分析】根据A,B点坐标写出以AB为直径的圆的方程即可. 【解析】直线4x+3y-12=0与两坐标轴的交点为A(3,0),B(0,4), 则AB=32+42=5, 则以AB为直径的圆半径为)，圆心即为A,B中点坐标为 2 32 12 所以以AB为直径的圆的方程为x-2+y-2 化简得：x2+y2-3x-4y=0. 故选：A 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为() A.x2+y2-2X-3y=0 B.x2+y2+2x-3y=0 c.x2+y2-2x+3y=0 D.x2+y+2x+3y=0 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【解析】设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,(D+E2-4F>0), 由题意知，圆过点0,0,2,0和0,3， F=0 D=-2 所以4+2D+F=0,解得E=-3 9+3E+F=0 F=0 所以所求圆的方程为x+y2-2x-3y=0 故选：A 6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x-4)2+(y-8=1,圆C2:(x-62+(y+62=9.若圆心在x 轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是() A.x2+y=81 B.x2+y2=64 c.x2+y2=49 D.x2+y2=36 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆C1的公共弦是圆C1的直径，圆C与圆C2的公共弦是圆C2的直径，进而设圆C 的圆心为C(a,0),半径为r得r2=CC12+1,r2=CC2+9,再结合距离公式解方程即可得答案 【解析】圆C平分圆C等价于圆C与圆C1的公共弦是圆C1的直径. 同理圆C与圆C2的公共弦是圆C2的直径 设圆C的圆心为C(a,0),半径为r,则x-a+y2=r2, 所以r2=CC+1,r2=CC22+9,即 a-42+-8+1=r a=0, 1a-6P+62+9=r2 解得2=81 所以圆C的方程为x2+y=81. 故选：A 7.圆D经过点A16,0,且与圆C:x2+y2+8x-6y=0相切于坐标原点O,则圆D的标准方程为 【答案】x-82+y+62=100 【分析】根据条件确定圆D与圆C相外切，确定圆心D的坐标及圆D的半径，从而得到圆D的标准方 3/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 程 【解析】圆C:x2+y2+8x-6y=0的标准方程为x+42+y-32=25, 则圆心C-4,3,半径r=5,圆c过原点. 因为圆D与圆C相切于坐标原点O,且过点A, 所以圆D与圆C相外切，圆心D是线段OA的垂直平分线与直线CO的交点. 直线0C的方程为3x+4y=0,线段OA的垂直平分线的方程为x=8,所以D8,-6, 所以圆D的半径R=OD=10,所以圆D的标准方程为x-82+y+6P=100 故答案为：x-8+y+6=100. 题型二：二元二次方程表示圆的条件 1.已知a∈R,方程ax2+(a+2)y2+2x+4a=0表示圆，则圆心的坐标为() A.(1,0) B.(-1,0 c20威1o 00-1o 【答案】B 【解析】因为方程ax2+a+2y2+2x+4a=0表示圆，所以a2=a+2≠0，解得a=2或a=-1. 当0=2时，方程化为4y+号x+2=0,倒402-4×2=-<0，方程不表示国 /112 4 当a=-1时，方程化为x2+y2+2x-4=0,即x+12+y2=5,所得圆的圆心坐标为-1,01. 综上，圆心坐标为-1,0】 2.若方程x+y+4x-2ay+3a-a+1=0表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是( k2o B. 0,2 4/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D. 0, 2 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案。 【解析】由x+y2+4x-2ay+3a2-a+1=0,化简可得x+22+y-a2=-2a2+a+3, a>0 a>0 因为圆心在第二象限，则 -2a2+a+3>0' 所以2a-a-3=a+12a-3<0 解得0<a 2 所以实数a的取值范围为0, 故选：D 3.已知2ax2+a+1y2+2x+1=0表示圆，则实数a的值为() A.-1 B.1 c 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于Q的等式，求出Q的值，然后代值检验即可 得解 【解折】由思意知a0.由2a2x2+a+1y+2x+1=0呵得X2+a+1y+是+1 2a2+2a0. 9=1,即2a2-a-1=0,解得a=1或0=- 所以2d2 当a=1时，方程为x2+y2+x+ 米=0，可化为x+】+y三一1 4,不合题意： 当Q=-2时，方程为x2+y2+4x+2=0,可化为x+2+y2=2,符合题意， 所以a=-1 2 故选：D 4.已知圆x2+y+4x-2ay+3a-a+1=0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为() A.0,+∞ .02 C1. 5/20 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可 【解析】由x+y+4x-2ay+3a2-a+1=0, 化简可得x+2P+y-aP=-2a2+a+3, a>0 则有 -2a2+a+3>0' 解得0<a<3 故选：B. 题型三：圆过定点的条件 1.圆C:x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定点为( A.-2,1,(2,-1 B.-1,-2,(2,1 c.-1,-2,（1,2 D.-2,-1,（2,1) 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果 【解析】圆C:x2+y2+ax-2ay-5=0的方程化为ax-2y+x2+y2-5=0, X=2x=-2 得y=1或y=-1 故圆C恒过定点-2，-1,2,1」 故选：D. 2.对任意实数a≠-2，动圆(a+2)x+(a+2)y-4x-2a=0恒过两个定点，请写出一个定点坐标 【答案】(1,1)或(1，-1) 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于Q的方程，然后根据对任意a≠-2方程恒成立的条件来求解定 点 【解析】将原方程a+2x2+a+2y2-4x-2a=0整理为： ax2+y2-2+2x2+2y-4x=0 因为对于任意a≠一2，该方程恒成立，所以a的系数和常数项都必须为0，即： x2+y2-2=0 2x+2y2-4x=0 由第一个方程x+y2=2,代入第二个方程得： 2×2-4x=0,x=1 6/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将x=1代入x2+y2=2,得1+y2=2,y2=1,y=±1. 所以，定点坐标为1,1或1，-1. 故答案为：(1,1)或(1，-1)】 3.若圆x+y+mx+5y+2m=0(m∈R)恒过两个不同的定点A,B,则AB= 【答案】3 【分析】变形得到 x2+y2+5y=0 x+2=0 求出定点A,B的坐标，得到答案 【解析】变形得到x+y2+5y+mx+2=0(m∈R), +y2+5y=0 x=-2x=-2 令 X+2=0 解得 y=-1或y=-4 不妨设A-2,-1,B-2,-4, 所以AB=-2+22+-1+4P=3. 故答案为：3 4.己知函数y=x2+ax+b过定点(-1,3)，且与坐标轴有3个不同的交点A,B,C,那么经过A,B,C 三点的圆一定经过定点 【1o,1.2引 【分析】由题设，令其为A(0,a+2),令B(m,0),C(n,0),则m,n是x2+ax+a+2=0的两个根，经过 A,B,C三点的圆为x2+y+Dx+Ey+F=0,将点代入得D=a,F=b=a+2,E=-b-1=-a-3, 进而有x+y2-3y+2+a(x-y+1)=0,令 2+y2-3y+2=0 x-y+1=0 求定点坐标。 【解析】由题设1-a+b=3,可得b=a+2,故y=x2+ax+a+2, 令x=0,则y=b=a+2,不妨令其为A(0,a+2),令B(m,0),C(n,0), 令y=0,则x2+ax+a+2=0,且△=a2-4(a+2)>0, 所以a>2(1+3)或a<2(1-3),则m,n是x2+ax+a+2=0的两个根， 经过A,B,C三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0, m2+Dm+F=0 所以 n2+Dn+F=0 即m,n是X+Dx+F=0的两个根，则D=a,F=b=a+2, 且b2+Eb+F=0且b≠0（否则A与B,C中一点重合且为原点），则E=-b-1=-a-3, 综上，x2+y+ax-(a+3)y+a+2=0,则x2+y2-3y+2+a(x-y+1)=0, 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+y2-3y+2=0 3 令 x-y+1=0 ,可得2y2-5y+3=(2y-3)(y-1)=0,即y=2或y=1, 13 对应x分别为，0，所以圆必过0,1,22 故答案为：(0,1)， 5.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x+mx-1的图象与坐标轴分别交于点A,B,C,记△ABC 的外接圆为圆E.①当m= 2时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 【答案】 X2+y+3x-1=0 0,1,10,-1 【分析】设所求圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0,分别令y=0、X=0,即可求解； 【解析】①当m=2时， =次雨数y=又+号×-1的图象与两坐标轴交于点A-2,0.B号0，C0,- 2 △ABC的外接圆为圆E, 设所求圆的一般方程为x+y2+Dx+Ey+F=0,(D+E2-4F>0), 令y=0,得X2+Dx+F=0,由盟意可得，这与X2+号x-1=0是同-个方程， 2 放D-是F=- 令X=0,得y+Ey+F=0,由题意可得， 此方程有一个根为~1，代入此方程得出E=0, 所以圆B的一般方程为X2+y2+3￥-1=0， 2 ②设所求圆的一般方程为x+y2+Dx+Ey+F=0,(D+E2-4F>0), 令y=0,得x+Dx+F=0,由题意可得，这与x+x-1=0是同一个方程， 故D=m,F=-1. 令x=0,得y+Ey+F=0,由题意可得，此方程有一个根为-1， 代入此方程得出E=0,所以圆E的一般方程为x+y+mx-1=0, 当x=0时，y=1或-1， 故圆E恒过定点(0,1，(0，-1)： 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：X+y2+3x-1=0,0,1,(0,-1) 2 题型四：圆系方程的应用 1.经过圆x2+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的交点，且在y轴上的弦长为2V33的圆的方程是 【答案】x+y2-2x+4y-29=0或x+y2+26x-24y+111=0 【分析】方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的圆系 方程来求解：方法二，设圆方程为x2+y2+8x-6y+21+kx-y+5=0,由弦长为233求得k值. 【解析】方法一：设所求圆的方程为x2+y+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0,该圆与y轴的交点 坐标分别为0，P1,0,P2. 在圆方程中，令x=0得y+Ey+F=0,则P1+P2=-E,P1P2=F,则 p1-P2=p1+p22-4p1p2=VE2-4F=2V33 x-y+5=0, x=-2,Jx2=-4, +y+8x-6y+21=0解得y=3戌为=1侧点-2,3引，4,1在所求国上. 联立 4+9-2D+3E+F=0, D1=-2,D2=26, 所以16+1-4D+E+F=0,解得E1=4,或E2=-24 E2-4F=233,F1=-29F2=111. 故所求圆的方程为x+y2-2x+4y-29=0或x2+y2+26x-24y+111=0. 方法二：设所求圆的方程为x2+y+8x-6y+21+kx-y+5=0, 且与y轴交点的纵坐标为y1y2, 令x=0得y2-6y+21+k-y+5=0,化简得y2-(k+6y+21+5k=0, 所以y1+y2=k+6,y1y2=5k+21, 由y1-y2=233两边平方得y1+元飞y22-4y1y2=132,所以k+62-4|5k+21=132, 化简得k2-8k-180=0,解得k=-10或k=18。 检验知两个k值都符合题意， 所以所求圆的方程为x+y+8x-6y+21-10x-y+5=0, 或x2+y+8x-6y+21+18x-y+5=0, 即x2+y2-2x+4y-29=0或x2+y2+26x-24y+111=0. 故答案为：x+y2-2x+4y-29=0或x+y2+26x-24y+111=0. 2.已知圆C的圆心在直线x-y-5=0上，并且圆C经过圆x2+y+6x-4=0与圆x+y+6y-28=0的 9/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交点，则圆C的圆心是() 1-9 A.2’2 c.4,-1 D.1,-4 【答案】D 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【解析】设圆x+y2+6x-4=0与圆x2+y+6y-28=0的交点为A,B x2+y2+6x-4=0 联立两圆方程，得X2+y2+6y-28=0 x=-1x=-6 解得y=3或y=-2 不妨记A-1,3,B-6,-2, 71 于是AB的中点为 22 KAB= 3+2=1 -1+6 2/ 从而可得AB的垂直平分线方程为y二之一x+号 即x+y+3=0, x-y-5=0 x=1 联立x-y-5=0与x+y+3=0,得x+y+3=0,解得y=-4 即圆心坐标为1，-4. 故选：D. 3.求过两圆x2+y2-2y-4=0和x2+y2-4x+2y=0的交点，且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方 程() A.x2+y+3x+y-1=0 B.x2+y2-4x-y-1=0 c.x2+y+3x+y-4=0 D.x2+y2-3x+y-1=0 【答案】D 【分析】先计算出两圆的交点A,B所在直线，进而求出线段AB的垂直平分线，与2x+4y-1=O联立 求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程 【解析】x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0相减得：y=x-1, 将y=x-1代入x2+y2-4x+2y=0得：x2+x-12-4x+2x-1=0, 即2x2-4x-1=0, 设两圆x+y2-2y-4=0和x2+y2-4x+2y=0的交点为Ax1,y1,B(x2,y2, 则水=1生)，x+x3三气242，则y+y2=X11+x,1=2-2=0 10120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不妨设A1+66 2’2 所以线段AB的中点坐标为 X1+x2y1+y2 2’2 =1,0, 因为直线AB的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1， 所以线段AB的垂直平分线为y=-x-1=-x+1, y-x+1与2x+4y-1=0联立得：X多y号 1 31 故圆心坐标为 2,2半径r= 86-3+6+-4 1+2-222 2 32 所以圆的方程为x 127 +y+2=2 整理得：x+y2-3x+y-1=0 故选：D 4.过圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y+6y-28=0的交点，且圆心在直线2x+y+4=0上的圆 的方程为( A.x+12+y+22=25 B.x+12+y+22=20 c.(x-12+y+62=25 D.x-12+y+62=20 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【解析】经过圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x+y2+6y-28=0交点的圆可设为 +197xy4294-0, X+y2+6x-4+X2+y2+6y-28=0,即x2+y2+,6x 1+λ 331 6-3入+4=0，解得入=2， 圆心1中元，+入在直线2x+y+4=0上，故1十+入 所以圆的方程为x+12+y+22=25, 故选：A 5.已知圆0：x2+y2=5与圆C1:x2+y2-5x=0相交于M,N两点，点P的坐标为3，-4.若圆C2经过 M,N,P三点，则C2的方程为 【答案】x-52+y2=20 【分析】联立方程求M,N两点的坐标，法一：根据几何性质可得圆心C2在x轴上，设C2m,0结合圆 的定义运算求解；法二：设圆C2:x2+y+Dx+Ey+F=0,代入点M,N,P,列方程求解。 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+y2=5 x=1x=1 【解析】联立方程 x2+y2-5x=0' 解得y=2或y=-2” 故M,N两点的坐标为1,2,1，-2」 法一：可得M,N关于X轴对称，即线段MN的中垂线为X轴，故所求的圆的圆心C2在x轴上， 设C2m,0,点P的坐标为3，-4， :C2M=C2P,即m-1+0-2=m-3+0+42,求得m=5, 故要求的圆的圆心C215,0,半径为C2M=5-1+0-2=20, 故要求的圆C2的方程为x-52+y=20 法二：设圆C2:x+y+Dx+Ey+F=0,且点P的坐标为3，-4， 5+D+2E+F=0 D=-10 代入点M,N,P,可得 5+D-2E+F=0 解得 E=0 25+3D-4E+F=0 F=5 故要求的圆C2的方程为x2+y2-10x+5=0,即x-52+y2=20, 故答案为：X-5+y=20 6.求经过点M2,-2以及圆x2+y2-6x=0与x+y=4交点的圆的方程 【答案】x2+y2-3x-2=0. 【分析】方法一，按照圆系方程设为x2+y2-6x+入x2+y2-4=0,再代入点2，-2，即可求解入： 方法二，首先求两圆的交点，再根据交点特征，设出圆的方程x-a2+y=r2,代入交点以及点2，-2 后，即可求解 【解析】方法一：将x2+y=4化为一般式x2+y2-4=0,所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方 程为x2+y2-6x+x2+y2-4=0,整理得：(1+1)x2+(1+)y2-6x-4=0: 此圆经过M2,-2,代入上述方程得4(1+入)+4(1+入)-12-4入=0，解得λ=1， 所以该圆的方程为2x2+2y2-6x-4=0,即x2+y2-3x-2=0 方法二：圆x+y2-6x=0与x2+y2=4的交点为 ±42 2 因为圆心在x轴上 2 2..4927 _3 a 设所求圆的方程为x-aP+y2=r,则3a+± 3 解得 217 所求圆的方程为 2-a2+-22=r x-引y-子化为餐式为4少-3x2-0 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：x+y2-3x-2=0. 7.已知两圆M:x2+y2=16,圆N:x2+y2-4x+2y=0,过两圆交点，且圆心在直线2x+y-1=0上的 圆的一般方程为 3y- 【签安1X2+v2-二X+二y-长=0 3 【分析】根据题意，设所求圆的方程为x2+y2-16+入(x2+y2-4x+2y)=0,得到圆心坐标，代入直 线方程，求得入的值，即可求解。 【解析】由圆M:x2+y2=16和圆N:x2+y2-4x+2y=0, 设所求圆的方程为x+y2-16+λ(x2+y2-4x+2y)=0, 2λ入 即(1+a)x2+(1+入)y2-4入x+2入y-16=0,可得所求圆的圆心为+元，1+元， 州方6码产直2xy-10上可用品产10，g号 所以所求圆的方程为2+y2-16+号×(x2+y2-4x+2y)=0, 所以所农面的方程为式+y一号×*导y一号-0 题型五：圆的对称性与圆心性质 2.1 1.已知圆C:x-aP+y-bP=1(a>0,b>0)上有两点关于直线x+2y-4=0对称，则后+方的最小 值为( A.2V2 B.2 C.4 D.8 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出a,b间的关系式，进而通过基本不等式求出 最小值 【解析】因为圆C上有两点关于直线对称，可知圆心a,b在直线x+2y-4=0上，即a+2b-4=0. =2,等号当且仅当a=2b=2时成立. a b4 4+24b.a a b 2.圆x-1+y-1=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为( A.x-12+y-32=2 B.x+1P+y+3P=2 c.x-12+y+32=2 D.x+12+y-32=2 13120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】求出点1,1关于直线x-y+2=0的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【解析】圆x-12+y-1P=2的圆心为1,1，半径为V2 设点1,1关于直线X-y+2=0的对称点为a,b),且直线x-y+2=0的斜率为1， a+1_b+1+2=0 2 /a=-1} 所以 b-1×1=-1 解得b=3' 即所求圆的圆心坐标为-1,3引， a-1 故圆x-12+y-1P=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为x+12+y-32=2, 故选：D 3.已知直线m:3x+4y+12=0和圆C:x2+y2+2x-4y+1=0.求与直线m垂直且经过圆心的直线方程 【答案】4x-3y+10=0 【分析】根据直线垂直设所求直线4x-3y+c=0,再由直线过圆心即可得解。 【解析】由所求直线与直线m:3x+4y+12=0垂直， 故设所求直线方程为4x-3y+c=0, 又圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心为C(-1,2): 故4×(-1)-3×2+c=0, 解得c=10 故所求直线方程为4x-3y+10=0, 故答案为：4x-3y+10=0 4.若点P0,2关于直线y=kx对称的点Q在圆x-4x+y+3=0上，且Q在第一象限内，则实数k的值为 () A.1+V2 B.2 c.8-15 D.8+9V15 7 7 【答案】D 【分析】根据已知确定点P(0,2)关于直线y=kx对称的点在圆x2+y2=4上，易得对称点为圆 x+y2=4和圆x2-4x+y+3=0的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k 【解析】显然P(0,2)在圆x2+y2=4上，又直线y=kx经过该圆的圆心(0,0)， 所以点P(0,2)关于直线y=kx对称的点在圆x2+y=4上， 14/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又点P(0,2)关于直线y=kx对称的点在圆x2-4x+y+3=0上， 7V15 所以对称点为圆X2+y2=4和圆x2-4x+y2+3=0的交点，联立得交点为4,4 )(舍去第四象限的 点)， V15 2 所以P(0,2)与 7V15 4’4 )两点所在直线，与y=kx垂直，故一 4,k=-1→k=8+5 7 7 4 故选：D 1V3 5.若点A 2’2 关于直线y=kx对称的点在圆(x-22+y=1上，则k= 【答案】3 【分析】点A在圆x2+y2=1上，由题意分析可知对称点必是圆x2+y2=1与圆(x-2)2+y2=1的公共点， 由此可求出∠AOB=120°，即可得出答案 【解析】注意点A在圆x2+y2=1上，且A关于直线y=kx对称的点必然在圆x2+y=1上， x=1 因为联立两圆方程解得： y=0 圆x2+y2=1与圆(x-22+y2=1仅有唯一公共点B(1,0), 风t时婚点识能是B调为A0=B0=1,AB罗-1+3 由余弦定理可得：COs∠AOB= 1+1-3 1 2×1x1=2 所以∠AOB=120°，因此k=tan60°=3. 故答案为：3. 6.已知点P1,-3关于直线y=kx的对称点在圆C:x2+y-4=4上，则k= 【答案】2-V3/-V3+2 【分析】分析出点Q在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而联立x2+y2=4与C:x2+y-4=4,求 出Q0,2,根据PQ的中点在y=kx上得到方程，求出答案. 15120 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】设点P1,-3关于直线y=kx的对称点为Q, 显然Q在C:x2+y-4?=4上， 由对称性可知，OQ=OP=1+3=2,故点Q在以原点为圆心，2为半径的圆上， 即x+y2=4, 联立父+y=4与C:24-4=4得-2 故点Q0,2,显然PQ的中点在y=kx上， 即23=k1 解得k=2-V3 2 2 故答案为：2-3 题型六：曲线方程的识别 1.方程y+1=V4x-x2表示的曲线长度为() 4π A.3 B.2π 8π C.3 D.4π 【答案】C 【分析】将原方程变形后分y≥0和y<0两种情况转化为圆的方程，分别计算两段符合条件的弧长后求 和 【解析】由题意得4x-x2≥0，解得0≤x≤4，所以x∈0,4)， 又y+1=4x-x2,得ly+12=4x-x2,所以x-22+y+12=4, 当y≥0时，x-22+y+12=4,圆心为D2,-1,半径为r=2, 当y<0时，x-22+y-12=4,圆心为C2,1,半径为r=2, 设曲线y+1=V4x-x交x轴于点A、B,连接CD交AB与点M,如下图所示： 由题意可得CA=CB=CD=r=|DA=DB,所以△ACD和△BCD都是等边三角形， 16120 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则∠ACD=∠BCD=∠ADC=∠BD=行故∠ACB=2∠ACD=2 所以ACB的长为，=×r督，同理可知ADB的长从，=，- 所以方程y+1=V4x-X表示的曲线长度为l=11+h,=8严 3 2.方程y-1=1-(x-1表示的曲线是() A.两条直线 B.一个圆 C.两个圆 D 两个半圆 【答案】D 【分析】本题考查曲线方程的化简与识别先由右边根式的非负性确定左边的取值范围，再两边平方转 化为圆的标准方程，最后根据y的取值范围判断是整圆还是半圆. 【解析】因为右边V1-（x-12≥0，所以左边y川-1≥0，即y≥1 两边平方得(1y川-1)2=1-(x-1)2,整理为x-1+(Iy川-12=1. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误， 当y≥1时，方程化为x-1)2+(y-1)2=1,且y≥1，这是以(1,1)为圆心、1为半径的上半圆. 当y≤-1时，方程化为(x-1)+(y+12=1,且y≤-1，这是以(1，-1)为圆心、1为半径的下半圆 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受y≥1限制）. 3.方程x2+y2=2x-4y+5表示的几何图形是() A.一点和一圆 B.两点 C.一圆 D. 两圆 【答案】A 【分析】分2x-4y+5≥0,2x-4y+5<0讨论，结合条件及圆的方程即得 【解析】由x+y=2x-4y+5可得， 当2x-4y+5≥0时，x2+y2=2x-4y+5, 即x-12+y+22=10表示以1，-2为圆心，以V10为半径的圆， 当2x-4y+5<0时，x2+y+2x-4y+5=0, 即x+12+y-22=0,表示点-1,2， 综上，方程x+y2=2x-4y+5表示的几何图形是一点和一圆。 故选：A 4.方程-y=1-x表示的曲线是() 17120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.X轴上方的半圆 B.X轴下方的半圆 C.y轴左侧的半圆 D.y轴右侧的半圆 【答案】B 【分析】将方程两边平方可知是圆，再结合y的取值范围即可判断. 【解析】-y=1-x2, ∴.y2+x2=1表示的是以0,0为圆心，1为半径的圆， 又-y=1-x .y=-1-x≤0. 故方程-y=1-X表示的曲线是X轴下方的半圆， 故选：B 5.曲线x+y-2x-3=0的长度为() 16π A.4π B. 3 C.8π 8π+23 D. 【答案】B 【分析】根据圆的性质以及弧长公式即可结合对称性求解。 【解析】当x≥0时，曲线为x2+y2-2x-3=0,即x-1}+y2=4x≥0， 表示圆心为1,0，半径r=2,位于第一和第四象限内以及y轴上的圆弧， 由于圆心为1,0，半径r=2,所以圆与y轴的交点为0，V3,0,-3, 所以圆与y轴相交的弦所对的圆心角为2×了=2严 33 故题流所对的四心角2？-号-号。故派长为2×智-8 33 由于曲线X+y2-2x-3=0关于y轴对称，因此x<0所得曲线的长度也是3， ,8π 因此曲线的长度为2×8严=16n 33 6.过点-1，-2的直线与曲线y=-V4-x有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为( 8.-2,3 18120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C -2,- 4u0, D.-2,0 【答案】C 【分析】先得到曲线y=-V4-x为圆心为0,0，半径为2的下半圆，求出特殊位置时直线的斜率， 数形结合得到答案 【解析】y=-4-x2≤0，两边平方得x2+y2=4, 故曲线y=-只4-x为圆心为0,0，半径为2的下半圆， 如图所示， (-2,0) (2,0) -1,-2) 0+2=-2, 当以2,0时，斜特%号-景当以-2,0时朗米为9品 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线y=-4-x有1个交点，不合要求， 设直线l为y+2=kx+1, k-2 若直线与x2+y=4相切，则1+k 2.解得k=3或0 由图可知，直线与曲线y=-4-x有且仅有两个不同的交点， 则的斜率的取值范围是 -2,-1 7.直线y=x+b与x=V1-y有两个不同的交点，则b的取值范围是() A.-2,-1 B.-2,-1 c.1,V2 D.1,2 【答案】A 【解析】可知曲线x=V1-y是以0,0为圆心，以1为半径的圆的右半部分，如下图所示， 19120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 16 当b=-1时，曲线与y=x-1恰有两个交点， 当曲线与直线y=x+b相切时，可得0,0到直线x-y+b=0的距离为1， 即三1，因为b<0,解得b=-2,所以b∈(-2，-1 20120面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆的方程与应用 题型归纳 题型一求圆的方程 题型二二元二次方程表示圆的条件 题型三圆过定点的条件 题型四圆系方程的应用 题型五圆的对称性与圆心性质 题型六曲线方程的识别 题型专练 题型一：求圆的方程 1.C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.A 7.x-82+y+62=100 题型二：二元二次方程表示圆的条件 1.B 2.D 3.D 4.B 题型三：圆过定点的条件 1.D 2.（1,1或(1，-1) 3.3 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(0,1, 13 22 5.x2+y2+3x-1=00,1,0,-1 题型四：圆系方程的应用 1.x2+y2-2x+4y-29=0或x2+y+26x-24y+111=0 2.D 3.D 4.A 5.x-52+y2=20 6.x2+y2-3x-2=0. 7.2+y2-4x+3y-32=0 3+3y 3 题型五：圆的对称性与圆心性质 1.B 2.D 3.4x-3y+10=0 4.D 5.3 6.2-3/3+2 题型六：曲线方程的识别 1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.A 212可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆的方程与应用 题型归纳 题型一求圆的方程 题型二二元二次方程表示圆的条件 题型三圆过定点的条件 题型四圆系方程的应用 题型五圆的对称性与圆心性质 题型六曲线方程的识别 题型专练 题型一：求圆的方程 1.已知圆C经过A1,2、B3,4两点，圆心在直线x-y+1=0上，则圆C的方程为() A.x-12+y-22=4 B.x-3+y-42=8 c.(x-22+y-32=2 D.x-12+y-42=4 2.已知圆C过点0,2,4,0,2,4，则圆C的标准方程为() A.x+12+y-12=10 B.x-12+y+12=40 c.(x-12+y+12=10 D.x+12+y-1=40 3.过点A-1,0,B(4,0,C(3,2的圆的一般方程为() A.x2+y2+3x+2=0 B.x2+y2-3x-4=0 C.x2+y2+2x+1=0 D.x2+y2-2x-3=0 4.若直线4x+3y-12=0与两坐标轴的交点为A,B,则以AB为直径的圆的方程为() A.x2+y2-3x-4y=0 B.x+y2-4x-3y=0 c.x2+y2+3x+4y=0 D.x2+y2+4x+3y=0 5.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为() A.x2+y2-2x-3y=0 B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0 D.x2+y+2x+3y=0 115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x-42+(y-82=1,圆C2:(x-62+(y+62=9.若圆心在x 轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是() A.x2+y2=81 B.x2+y2=64 c.x2+y2=49 D.x2+y2=36 7.圆D经过点A16,0,且与圆C:x2+y2+8x-6y=0相切于坐标原点O,则圆D的标准方程为 题型二：二元二次方程表示圆的条件 1.已知a∈R,方程ax2+(a+2)y2+2x+4a=0表示圆，则圆心的坐标为() A.（1,0） B.（-1,0 c会ol威1o) 2.若方程x2+y+4x-2ay+3a2-a+1=0表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是( ) A. B. c. 3.已知2a2x2+a+1y2+2x+1=0表示圆，则实数a的值为() A.-1 B.1 1 c.2 4.已知圆x2+y+4x-2ay+3a-a+1=0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为() A.0,+∞ B. c. -1 题型三：圆过定点的条件 1.圆C:x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定点为( A.-2,1,（2,-1) B.-1,-2,（2,1 c.-1,-2,（1,2 D.-2,-1,（2,1） 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.对任意实数a≠-2，动圆(a+2)x+(a+2)y2-4x-2a=0恒过两个定点，请写出一个定点坐标 3.若圆x+y+mx+5y+2m=0(m∈R)恒过两个不同的定点A,B,则AB= 4.已知函数y=x+ax+b过定点(-1,3)，且与坐标轴有3个不同的交点A,B,C,那么经过A,B,C 三点的圆一定经过定点 5.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x+mx-1的图象与坐标轴分别交于点A,B,C,记△ABC 的外接圆为圆E.①当m= 2时，圆E的一般式方程是 :②圆E恒过的两个定点是 题型四：圆系方程的应用 1.经过圆x2+y+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的交点，且在y轴上的弦长为2V33的圆的方程是 2.已知圆C的圆心在直线x-y-5=0上，并且圆C经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的 交点，则圆C的圆心是() 19 A.2,2 B. 9- 2-2 c.4,-1 D.1,-4 3.求过两圆x2+y2-2y-4=0和x2+y2-4x+2y=0的交点，且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方 程() A.x2+y2+3x+y-1=0 B.x2+y2-4x-y-1=0 C.x2+y2+3x+y-4=0 D.x2+y2-3x+y-1=0 4.过圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y+6y-28=0的交点，且圆心在直线2x+y+4=0上的圆 的方程为() A.x+12+y+2=25 B.x+12+y+22=20 c.x-12+y+62=25 D.x-12+y+62=20 5.己知圆0：x2+y2=5与圆C1:x2+y2-5x=0相交于M,N两点，点P的坐标为3，-4.若圆C经过 M,N,P三点，则C2的方程为 6.求经过点M2,-2以及圆x2+y2-6x=0与x+y=4交点的圆的方程 7.已知两圆M:x2+y2=16,圆N:x2+y2-4x+2y=0,过两圆交点，且圆心在直线2x+y-1=0上的 圆的一般方程为 315 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五：圆的对称性与圆心性质 1.已知圆C:x-a+y-b=1(a>0,b>0)上有两点关于直线x+2y-4=0对称，则三+的最小 值为() A.2V2 B.2 C.4 D.8 2.圆x-12+y-12=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为() A.x-1+y-32=2 B.x+12+y+32=2 c.x-12+y+32=2 D.x+12+y-32=2 3.已知直线m:3x+4y+12=0和圆C:x2+y2+2x-4y+1=0.求与直线m垂直且经过圆心的直线方程 4.若点P0,2关于直线y=kx对称的点Q在圆x2-4x+y2+3=0上，且Q在第一象限内，则实数k的值为 () A.1+2 B.2 8-15 8+9V15 7 0. 7 13 5.若点A 2’2 关于直线y=kx对称的点在圆(x-22+y2=1上，则k= 6.己知点P1,-3关于直线y=kx的对称点在圆C:x2+y-42=4上，则k= 题型六：曲线方程的识别 1.方程y+1=4x-x2表示的曲线长度为() 4π A.3 B.2π 8π C.3 D.4π 2.方程y-1=1-(x-1表示的曲线是( A.两条直线 B.一个圆 C.两个圆 D 两个半圆 3.方程x2+y2=2x-4y+5表示的几何图形是() A.一点和一圆 B.两点 C.一圆 D. 415 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两圆 4.方程-y=1-x表示的曲线是() A.X轴上方的半圆 B.X轴下方的半圆 C.y轴左侧的半圆 D.y轴右侧的半圆 5.曲线x2+y2-2x-3=0的长度为( 16π A.4π B. 3 C.8π 8π+23 D. 6.过点|-1，-2的直线与曲线y=-4-x有且仅有两个不同的交点，则l的斜率的取值范围为( Ai-ga B. -2 c. -2,- 3 D.-2,0 7.直线y=x+b与x=1-y有两个不同的交点，则b的取值范围是() A.-2,-1 B.-V2,-1 c.1,V2 D.1,2 515