海南省海口市2026-2027学年高三10月模拟数学试卷（二）

2026年10月20日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B．3 C．－ D．－ 【答案】D 【分析】由复数乘法法则计算求出即可得解. 【详解】由题可得，则虚部为，故D正确. 故选：D. 2．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）． A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】，所以， 又，，所以． 故选：B. 3．已知向量，，若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示确定，再根据向量的模的坐标表示直接求解. 【详解】向量，．∵，∴，解得， ∴，∴． 故选：B． 4．，用表示，中的最小者，记为.记的最大值为，表示不超过的最大整数，如：，，若，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】画出函数，的大致图象，易知，则，结合新定义即可求解. 【详解】画出函数，的大致图象如下图所示， 则的图象为图中粗线部分，所以. 因为，， 所以，即，所以. 故选：B 5．已知等腰直角三角形的斜边长为2，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥，再利用锥体体积公式计算即可得. 【详解】由题意可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥， 故该几何体的体积. 6．已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，据此可得答案. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F做PQ垂线，垂足为G， 则，则，又，准线为 则，则.故抛物线方程为：. 故选：D 7．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 8．在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 二、多选题 9．设，表示两个不同的平面，，表示两条不同的直线，下列结论正确的有（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系，再结合反例，逐项判断即可. 【详解】选项A：若，则或，并非一定满足，故A错误； 选项B：根据线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，因此若，则，故B正确； 选项C：根据面面平行的判定，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，因此若，则，故C正确； 选项D：如下图正方体中，不妨取平面为平面，平面为平面，直线为，则满足，，但，即不成立，故D错误. 10．2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数y（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（    ） A．表中数据的第80百分位数为1.7 B． C．当时，残差为0.02万人 D．预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 【答案】ACD 【详解】对于 A： 第一步，将 从小到大排序：1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，共 个数据， 计算 是整数，第 80 百分位数为第 4 项和第 5 项的平均值：,故A 正确; 对于B: ,故B 错误; 对于 ： 回归方程： 当时， 真实值： 残差(万人),故C 正确; 对于 D： 2021 对应 , 2026 对应 代入回归方程： ,故D 正确. 11．已知函数（，为自然对数的底数），则（    ） A．函数至多有2个零点 B．，使得是R上的增函数 C．当时，的值域为 D．当时，方程有且只有1个实数根 【答案】AD 【分析】根据分段函数的解析式，考查每段的零点情况即可判定A；根据函数在上单调递减，可判定B；分段求出函数值的取值范围，可判定C，令，解出方程可判定D. 【详解】当时，，符合条件，故是函数的一个零点， 当时，令， 由韦达定理知，两个根之和为， 故方程不可能有两个正根，也不可能有一正根，一个根为零， 若方程有一负根和一正根，则，解得， 即方程至多有一个正根， 综上可知，函数至多有2个零点，故A正确； 因为函数的图象开口向下，对称轴为， 故在上单调递减， 则不存在，使得是R上的增函数，故B错误； 当时，， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为， 故在上单调递减， 所以，当时， 则函数的值域为，不符合题意，故C错误； 当时，， 令，则方程，可化为， 若，则，解得， 若，则，解得或者，均不符合条件， 故只有，即，此时只有为其根， 故时，方程有且只有1个实数根，则D正确， 故选：AD. 三、填空题 12．与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 【答案】 【分析】利用椭圆方程得到其焦点在轴上，且求出半焦距，设出双曲线方程，联立方程即可求解. 【详解】由椭圆方程，可得其焦点在轴上， 且其半焦距为， 设所求双曲线方程为， 则，解得， 则该双曲线方程为. 13．已知，则 __________. 【答案】/ 【详解】由，得 ． 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，其中， （1）若，则_________； （2）若，，则_________． 【答案】 / 【分析】利用正弦定理及三角形内角三角函数关系可得. （1）将代入可得即可求； （2）将代入可得，利用同角三角函数关系可求，从而可计算，再利用正弦定理及面积公式即可. 【详解】因为，， 所以. 又因为 所以， 则，即. 所以 （1）若，则，即. 又因为，所以，则. （2）若，则，即. 又因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以. 四、解答题 15．已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 【答案】(1)，函数的单调递增区间为， (2) 【分析】（1）利用辅助角公式可得，则可求其最小正周期，利用整体代换法可求其单调递增区间； （2）利用整体代换法求出，由的取值范围为，从而可求解. 【详解】（1）由， 则最小正周期为， 令，因为的单调递增区间是，， 所以，，即，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）当时，， 令，则，所以的取值范围为， 由的性质可知，，解得， 所以的最大值为． 16．如图，在直三棱柱中，是中点.    (1)求证：平面； (2)若，且， ①求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ②求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：如图所示，连接交于F点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形，则是的中点， 又是中点. 则， 因为平面平面，平面平面， 所以平面 AI (2)；. 【分析】（1）连接交，利用中位线的性质判定线线平行，再证线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角及点面距离即可. 【详解】（1）略； （2）由已知可得底面，，所以可以为中心建立空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， ①易知是平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 则； ②易知，则点到平面的距离. 17．世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下： ①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜； ②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需踢第5轮了； ③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜． 现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响． (1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望； (2)若每轮点球都由甲队先踢，求乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率． 【答案】(1) X 0 1 2 3 4 5 P ；期望为 (2) 【分析】（1）由题意知，由二项分布求出的分布列与期望； （2）由题意知由题意知，乙射进4次，甲前4次射进2次，利用二项分布的概率公式求出相应的概率即可. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为． 所以X的分布列为， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P ． （2）设“乙队在第4轮点球结束时以胜出”为事件A， 由题意知，乙射进4次，甲前4次射进2次， ， 即乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率为． 18．已知函数，其导函数为. (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； (2)讨论零点的个数. 【答案】(1)（i） （ii）极大值为，无极小值 (2)当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点 【分析】（1）（i）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，（ii）结合题意求出，再结合导数研究单调性，进而求解极值即可. （2）对进行求导得到的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）（i）由题意得，则切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即. （ii）由题意得， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示， 1 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意得，令， 则，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，； 当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点；当时，有2个零点. 19．设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率； (3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，定值为4 【分析】（1）由离心率和长轴，求出和，再由求得，即可求出椭圆标准方程； （2）设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，，直线方程与椭圆方程联立，分别表示出和，由列出方程，即可求出斜率值； （3）由弦长公式表示出，再由是椭圆经过原点的弦，且，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：由离心率，长轴为4，得， ， 所以， 故椭圆C的标准方程为：． （2）由（1）得椭圆的右焦点的坐标为， 设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，， 由得，， 则，， 所以， 因为， 所以，即， 解得， 故直线的斜率为． （3）是定值，理由如下， 由（2）得：直线的方程为：，直线与椭圆交于两点，， ，， 则 ， 由是椭圆经过原点的弦，设，，直线的斜率为， 则， 由得，，且， 得， 所以，为定值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2027届高三数学10月模拟试卷（二） 一、单选题 1．已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B．3 C．－ D．－ 2．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）． A．9 B．11 C．13 D．15 3．已知向量，，若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 4．，用表示，中的最小者，记为.记的最大值为，表示不超过的最大整数，如：，，若，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知等腰直角三角形的斜边长为2，以该三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 8．在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，表示两个不同的平面，，表示两条不同的直线，下列结论正确的有（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数y（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（    ） A．表中数据的第80百分位数为1.7 B． C．当时，残差为0.02万人 D．预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 11．已知函数（，为自然对数的底数），则（    ） A．函数至多有2个零点 B．，使得是R上的增函数 C．当时，的值域为 D．当时，方程有且只有1个实数根 三、填空题 12．与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 13．已知，则 __________. 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，其中， （1）若，则_________； （2）若，，则_________． 四、解答题 15．已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 16．如图，在直三棱柱中，是中点.    (1)求证：平面； (2)若，且， ①求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ②求点到平面的距离. 17．世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下： ①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜； ②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需踢第5轮了； ③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜． 现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响． (1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望； (2)若每轮点球都由甲队先踢，求乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率． 18．已知函数，其导函数为. (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； (2)讨论零点的个数. 19．设椭圆的左、右焦点分别为，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，其中为坐标原点，求直线的斜率； (3)若是椭圆经过原点的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $