第04讲 数列的通项公式（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列通项公式核心考点，涵盖Sn与an关系、累加法、构造法等高考高频方法，按知识解构与题型破译搭建系统框架。通过考情分析、知识框架构建、核心方法拆解、题型专项训练及真题溯源环节，帮助学生突破代数变形难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新采用“知识点-题型-真题”三阶联动教学法，如在Sn与an关系中强调分情况验证n=1培养推理能力，累加法通过变式训练强化模型意识。设置分层练习与即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第04讲 数列的通项公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1利用Sn与an的关系求通项 知识点2累加法、累乘法 知识点3构造法 知识点4倒数法 知识点5二阶线性递推关系式法 题型破译 (含超链接） 题型1 已知或 题型2 等式含 题型3 等式含与或与 题型4 累加法 题型5 累乘法 题型6 加减常数构造或加减构造 题型7 同除法或取倒数法 题型8 因式分解法 题型9 已知前n项积 题型10 形如求通项公式 题型11 奇偶数列求通项公式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 已知与的关系求通项公式 全国一卷T14（5分） ________ 全国甲卷（理）T18（1）（5分） 全国甲卷（文）T17（1）（5分） 考情分析 高考对数列求通项公式的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，多作为数列解答题第一小问，偶见于选择填空，分值5-6分。核心以与互化、累加法、累乘法、构造法为主。整体难度基础中档，侧重代数变形，常搭配等差等比证明、数列求和综合设问，极少出现复杂二阶递推，侧重基础方法的灵活运用。 复习目标 1.理解与的核心关系式，熟练分情况由前n项和推导数列通项，规范验证n=1的特殊情况。 2.准确区分累加法、累乘法适用题型，能根据递推形式选用对应方法，独立完成通项推导化简。 3.掌握各类构造法、倒数法的变形思路，会通过待定系数、取倒数、换元转化为等差、等比数列求解。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 利用与的关系求通项 数列前项和记作，核心关系式： 两式相减可消去和式，得到的递推关系。 角度1：已知与、或与关系式 思路：直接套用求出通项 角度2：已知与的关系；或与的关系 思路：用替换式子中的，统一化为只含的递推式 角度3：已知等式中左侧含有： 思路：相邻两式作差（同作差逻辑）消去和式，得到递推关系 自主检测 1．已知，则______. 【答案】 【详解】根据数列前项和与通项的对应关系求解： 当时，； 当且时，. 经检验，时，不满足时的表达式， 因此 2．已知为数列的前n项和，且. (1)求该数列的通项； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】 【详解】（1）当时， 所以，整理可得，，， 且当时，，即， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故，. （2）因为，所以， 所以. 知识点2 累加法、累乘法 1.累加法适用模型：若数列满足，称为变差数列 求解原理：利用恒等式累加抵消中间项求通项：，逐项代入求和化简，得到。 2.累乘法适用模型：若数列满足，称为变比数列 求解原理：利用恒等式累乘抵消中间项求通项：，逐项代入比值相乘化简，得到。 自主检测 3．若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 【答案】B 【详解】由题意得， ， …， ， 以上各式相加得． 4．已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 则，即， 所以， 又，满足上式，所以， 所以的前7项和为. 故选：C 知识点3 构造法 （一）基础型：（为常数，） 当：，为等差数列； 当：，为等比数列； 当且：线性递推数列，两种待定系数构造方法 法一：配常数构造等比 设，展开整理对比原式，解得； 数列}是以为首项、为公比的等比数列，求出等比通项后整理得。 法二：两式作差构造等比 写出，两式相减得； 是等比数列，先求差数列通项，再用累加法求。 （二）拓展型： 1.为一次函数（等差数列形式） 设，待定系数求出，{构成等比数列，求出通项后反解。 2.为指数函数（等比数列形式） 递推式：（为常数） 法一：配指数项待定系数 设，对比系数求，构造等比数列求解； 法二：同除指数换元 等式两边同时除以，令辅助数列，化简得，转化为基础型求解。 自主检测 5．已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 知识点4 倒数法 类型1：（常数，） 两边取倒数变形：，构造新数列（等差数列），先求，再反推。 类型2：（常数，） 两边取倒数整理，换元，化简为；使用构造法（待定系数）构造等比数列，先求，再求。 自主检测 6．已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 知识点5 二阶线性递推关系式法 递推形式： 思路：设，展开对比原式系数，列方程组：，解出后，数列}为公比的等比数列，转化为一阶递推，再结合前面方法求出。 自主检测 7．已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）∵，，∴， ∵，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，. （2）∵， ∴当时， ，又也满足上式， 所以. 题●型●破●译 题型1：已知或 例1（2025·山东青岛·模拟预测）数列的前n项和为，且，． (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n． 【答案】(1)； (2)当时，由，则， 所以两式相减得，整理得， 又，则，所以， 又，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列． 所以，即． (3)2015 【分析】 【详解】（1）当时，； 当时，， 又，所以，解得． （2）略 （3）由（2）可知，， 则， 所以 ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 【变式1-1】（2025·安徽黄山·二模）已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 【变式1-2】（2026·湖南衡阳·一模）已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，. 由，则 ， 即，所以， ，，， 累加得，又，所以， 检验，当时，符合，所以. （2）由（1）知，则， 则①， ②， ①-②得， 所以. 【变式1-3】（2025·辽宁本溪·二模）已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)由（1）得：， ， ， ， 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）略 题型2：等式含 例2（2026·海南三亚·一模）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的，，且， 当时，则有， 即，解得或（舍）； 当时，由 ①， 可得②， ①②得 ， 整理可得 ， 由题意知，所以， 又因为，可得，也满足等式， 故当时，等式也成立， 故对任意的，，故数列为常数列， 故对任意的，则， 所以，故. 【变式2-1】（2026·广西柳州·二模）已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 【答案】 【详解】设数列的前项和为，由可得，， 当时，有，两式相减，， 化简得， 则当时， 解得，当时，，符合；当时，由求得，也符合. 所以. 【变式2-2】（2025·广东中山·一模）设数列满足，则的前2026项和为_________ 【答案】 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 【变式2-3】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）， 当时，， 两式相减得， 当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）由（1）可知， 所以，， 则， 所以数列的前项和. （3）当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为偶数时，单调递增， 所以，则， 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增， 所以，则，则， 综上所述， 所以实数的取值范围为. 题型3：等式含与或与 例3（2026·湖南湘潭·一模））已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，（ ），求数列{an}的通项公式an； 【答案】an 【分析】利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），求得，验证a1的值是否满足即可求得答案. 【详解】∵an＞0，当时， ∵， ∴Sn﹣Sn﹣1， ∴2， 又∵， ∴{}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1， ∴ ， 当 时， ， 不满足该式， ∴an； 【变式3-1】（2025·山东潍坊·一模）设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式_______． 【答案】 【详解】解：时，由 可得化为 是公差为 ，首项为的等差数列，，时， ，又因为 ， 故答案为. 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式其中，将数列，判断 是公差为 ，首项为的等差数列是解题的关键. 【变式3-2】（2025·广东湛江·二模）在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为Sn满足，设，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn≥6的最小正整数n是______． 【答案】10 【详解】解：数列{an}中，a1=1，当n≥2时， 其前n项和为Sn满足， 整理得， 所以（常数）， 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以， 则， 所以…=， 所以（n+1）（n+2）≥128，所以当n≥10时，满足条件． 故答案为10． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 【变式3-3】（2025·河北承德·模拟预测）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) 在数列中，①， 又因为②，，所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （3）由（2）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即； 当时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 题型4：累加法 例4（2025·广东肇庆·模拟预测）已知数列满足，，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】解：由数列满足， 当时， ，而满足上式， 所以，设，, 当时，当时，， 则最大，则． 【变式4-1·变载体】（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的首项，，则______． 【答案】/ 【详解】由题设有， 由累加法可得，， 即，， 故，， ，， 而的周期为，故是周期为的数列， 且， 故. 故答案为：. 【变式4-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 【答案】D 【详解】由递推公式，可得. 则，，，. 将以上个式子累加得： . ，故. 【变式4-3】（2026·河北唐山·二模）若数列，…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是______． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以， 又满足上式， 所以. 故答案为： ． 题型5：累乘法 例5（2026·河北保定·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以， 因为，所以. 【分析】 【详解】（1）由题意可得. 当时，， 当时，满足， 所以. （2）略 【变式5-1·变角度】（2026·云南曲靖·一模））数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及已知，得 ， 相乘可得，故. 故选：C 【变式5-2】（2026·海南海口·一模）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【详解】当时，有，故， 则有，． 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 故答案为：. 【变式5-3】（2025·山东聊城·二模）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以时，. 当时，，符合上式.， 所以的通项公式为. （2）由（1）得. 所以. 题型6：加减常数构造或加减构造 例6（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：由递推关系式求数列通项公式的方法， 方法 适用类型 要点 累加法 变形为，利用求解.注意根据累加法求出之后，要检验时是否成立. 累乘法 变形为，利用求解.注意根据累乘法求出之后，要检验时是否成立. 构造法 （且，，） 变形为（其中，，可用待定系数法求），可得以为公比的等比数列的通项公式，进而可求得. 取倒数法 （是常数，） 变形为.①若，则是等差数列，且公差为，可用公式法求通项；②若，则转化为型，再利用构造法求解. 【变式6-1】（2025·四川乐山·二模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 【变式6-2】（2025·广东江门·三模）已知，当时，，则的通项公式为___________ 【答案】 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 【变式6-3】（2025·河北衡水·二模）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以数列的前n项和. 题型7：同除法或取倒数法 例7（2026·福建漳州·三模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 【变式7-1】（2025·湖北襄阳·二模）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式7-2】（2025·江苏淮安·一模）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 【变式7-3】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以 ， 因为 恒成立， 所以是单调递增数列， 且，， 故使得的的最大值为3. 题型8：因式分解法 例8（2025·四川宜宾·二模）已知是首项为1的正项数列，且，数列满足，且． （1）求数列，的通项公式； （2）求． 【答案】（1）； ；（2） ． 【分析】 【详解】（1）由， 可得， 又数列是首项为1的正项数列， 则，即，则有， 所以， 也满足， 所以数列的通项公式为． 数列满足即， 则有， 所以， 也满足， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 设， 则，① ，② ①-②可得， 所以． 【点睛】累加法、累乘法求通项公式的方法 （1）已知形如（已知，）的递推公式，可用累乘法求数列的通项公式，由即可得． （2）已知形如（已知）型的递推公式，可用累加法求通项公式，由即可得． 在使用这两种方法时，注意检验时的情况． 【变式8-1】（2025·河南平顶山·一模）已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________. 【答案】 【详解】由可得， 因为，所以，即， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 所以， 则的前项的和等于， 令，前项的和为，则 ， ， 两式相减可得： ， 所以， 所以前项的和为， 故答案为：. 【变式8-2】（2025·河南驻马店·二模）已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由已知， 即． 又，故，即（且）． 所以，当时， 当时，． 所以． （2）当时，． ． 法二：． . 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，在放缩时，注意的条件. 【变式8-3】（2026·陕西商洛·三模）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 题型9：已知前n项积 例9（2026·湖南邵阳·二模）记为数列的前项积，已知，则___________． 【答案】/ 【详解】当时，，； 当且时，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 【变式9-1】（2026·广东云浮·三模）记为正项数列的前项积，，则______. 【答案】2025 【详解】数列的各项均为正，当时，，解得， 由，得当时，， 即，因此， 数列是以为首项，公差为的等差数列，， 所以. 故答案为：2025 【变式9-2】（2025·黑龙江鹤岗·二模）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为_____. 【答案】 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 【变式9-3】（2025·山西长治·二模）设为数列的前项积，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为数列的前项积， 所以，， 代入得， ， 当时，，时，， 则把代入得， 所以，则， 故是以为首项，为公差的等差数列， ， , 故选：B. 题型10：形如求通项公式 例10（2025·山东枣庄·三模）已知数列满足，且. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见详解， (2) 【分析】 【详解】（1）因为 所以 又因为 所以是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以 变形得 所以是以为首项，1为公差的等差数列 所以，所以 （2）因为…① 所以…② ①-②得： 所以 【变式10-1】（2025·四川泸州·二模）（多选）在数列中，，，且（），则下列选项正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】ABD 【详解】选项A：由可得，， 又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，A正确. 选项B：由可得，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，B正确. 选项C：由可得，，所以， 所以，，， 因为，所以数列不是等比数列，C错误. 选项D：由A知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，则 所以，又， 所以数列是首项为-2，公比为2的等比数列，D正确. 故选：ABD. 【变式10-2】（2025·湖南常德·模拟预测）已知数列中， （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1） ， 数列为以为首项，公比为得等比数列， 所以. （2） 累加得 . 又满足上式， 所以 【变式10-3】（2025·江苏扬州·模拟预测）数列满足，，，，． (1)求的通项； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）因为，，所以， 又，其中，， 由此可得， 所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，解得，其中，， 检验：根据通项公式计算可得，，所以. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当时，取最小值，即，解得或； 当为偶数时，， 当时，取最小值，即，解得或； 综上：或， 故的取值范围为. 题型11：奇偶数列求通项公式 例11（2025·陕西安康·二模）已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以， 又，则，即， 所以， 所以， 所以． 【变式11-1】（2025·江西景德镇·一模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 【答案】D 【详解】在数列中，由，得， 因此，即，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， ，所以 . 【变式11-2】（2025·吉林通化·一模）中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________. 【答案】/ 【详解】由题可得当，且为正奇数时，， 则中所有奇数项，构成以为首项，公比为的等比数列， 则为奇数时，，则当为偶数时，. 从而当为奇数时，； 当为偶数时，. 因为R上减函数，则当为奇数时，，取等号时， 当为偶数时，，取等号时. 注意到，则数列的前11项中，最大值是. 【变式11-3】（2025·河南开封·二模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 【答案】AC 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 由，则， 故 ，故D错误. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式． 【答案】 【详解】当时，, 当时，， 当时，， 所以. 2．若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】，2036 【详解】，， 是首项为，公比为2的等比数列， ，即， . 3．已知数列的前n项和为，若，求． 【答案】 【详解】当时：, 当时： . 所以数列为以为首项，2为公比等比数列. 所以. 4．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 5．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 【答案】(1)证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． (2)99 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 数列的通项公式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1利用Sn与an的关系求通项 知识点2累加法、累乘法 知识点3构造法 知识点4倒数法 知识点5二阶线性递推关系式法 题型破译 (含超链接） 题型1 已知或 题型2 等式含 题型3 等式含与或与 题型4 累加法 题型5 累乘法 题型6 加减常数构造或加减构造 题型7 同除法或取倒数法 题型8 因式分解法 题型9 已知前n项积 题型10 形如求通项公式 题型11 奇偶数列求通项公式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 已知与的关系求通项公式 全国一卷T14（5分） ________ 全国甲卷（理）T18（1）（5分） 全国甲卷（文）T17（1）（5分） 考情分析 高考对数列求通项公式的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，多作为数列解答题第一小问，偶见于选择填空，分值5-6分。核心以与互化、累加法、累乘法、构造法为主。整体难度基础中档，侧重代数变形，常搭配等差等比证明、数列求和综合设问，极少出现复杂二阶递推，侧重基础方法的灵活运用。 复习目标 1.理解与的核心关系式，熟练分情况由前n项和推导数列通项，规范验证n=1的特殊情况。 2.准确区分累加法、累乘法适用题型，能根据递推形式选用对应方法，独立完成通项推导化简。 3.掌握各类构造法、倒数法的变形思路，会通过待定系数、取倒数、换元转化为等差、等比数列求解。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 利用与的关系求通项 数列前项和记作，核心关系式：________ 两式相减可消去和式，得到的递推关系。 角度1：已知与、或与关系式 思路：直接套用求出通项 角度2：已知与的关系；或与的关系 思路：用________替换式子中的，统一化为只含________的递推式 角度3：已知等式中左侧含有： 思路：相邻两式________（同作差逻辑）消去和式，得到递推关系 自主检测 1．已知，则______. 2．已知为数列的前n项和，且. (1)求该数列的通项； (2)若，求数列的前n项和. 知识点2 累加法、累乘法 1.累加法适用模型：若数列满足________，称为变差数列 求解原理：利用恒等式累加抵消中间项求通项：，逐项代入求和化简，得到。 2.累乘法适用模型：若数列满足________，称为变比数列 求解原理：利用恒等式累乘抵消中间项求通项：，逐项代入比值相乘化简，得到。 自主检测 3．若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 4．已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 知识点3 构造法 （一）基础型：（为常数，） 当：，为等差数列； 当：，为等比数列； 当且：线性递推数列，两种待定系数构造方法 法一：配常数构造等比 设，展开整理对比原式，解得________； 数列}是以________为首项、________为公比的等比数列，求出等比通项后整理得。 法二：两式作差构造等比 写出，两式相减得； 是等比数列，先求差数列通项，再用________求。 （二）拓展型： 1.为一次函数（等差数列形式） 设，________求出，{构成等比数列，求出通项后反解。 2.为指数函数（等比数列形式） 递推式：（为常数） 法一：配指数项待定系数 设，对比系数求，构造等比数列求解； 法二：同除指数换元 等式两边同时除以________，令辅助数列，化简得，转化为基础型求解。 自主检测 5．已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 知识点4 倒数法 类型1：（常数，） 两边取________变形：，构造新数列（________数列），先求，再反推。 类型2：（常数，） 两边取倒数整理，换元，化简为；使用构造法（待定系数）构造________数列，先求，再求。 自主检测 6．已知数列中，，求数列的通项公式． 知识点5 二阶线性递推关系式法 递推形式： 思路：设，展开对比原式系数，列方程组：________，解出后，数列}为公比的等比数列，转化为一阶递推，再结合前面方法求出。 自主检测 7．已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 题●型●破●译 题型1：已知或 例1（2025·山东青岛·模拟预测）数列的前n项和为，且，． (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n． 【变式1-1】（2025·安徽黄山·二模）已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式1-2】（2026·湖南衡阳·一模）已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式1-3】（2025·辽宁本溪·二模）已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 题型2：等式含 例2（2026·海南三亚·一模）已知正项数列，满足，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·广西柳州·二模）已知数列中，，对任意正整数，均有，则的值为_____. 【变式2-2】（2025·广东中山·一模）设数列满足，则的前2026项和为_________ 【变式2-3】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 题型3：等式含与或与 例3（2026·湖南湘潭·一模））已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，（ ），求数列{an}的通项公式an； 【变式3-1】（2025·山东潍坊·一模）设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式_______． 【变式3-2】（2025·广东湛江·二模）在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为Sn满足，设，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn≥6的最小正整数n是______． 【变式3-3】（2025·河北承德·模拟预测）已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； 题型4：累加法 例4（2025·广东肇庆·模拟预测）已知数列满足，，则的最大值为_______． 【变式4-1·变载体】（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的首项，，则______． 【变式4-2】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 【变式4-3】（2026·河北唐山·二模）若数列，…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是______． 题型5：累乘法 例5（2026·河北保定·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 【变式5-1·变角度】（2026·云南曲靖·一模））数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·海南海口·一模）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【变式5-3】（2025·山东聊城·二模）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型6：加减常数构造或加减构造 例6（2025·吉林长春·模拟预测）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 【变式6-1】（2025·四川乐山·二模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广东江门·三模）已知，当时，，则的通项公式为___________ 【变式6-3】（2025·河北衡水·二模）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 题型7：同除法或取倒数法 例7（2026·福建漳州·三模）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【变式7-1】（2025·湖北襄阳·二模）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【变式7-2】（2025·江苏淮安·一模）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【变式7-3】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若，求的最大值． 题型8：因式分解法 例8（2025·四川宜宾·二模）已知是首项为1的正项数列，且，数列满足，且． （1）求数列，的通项公式； （2）求． 【变式8-1】（2025·河南平顶山·一模）已知正项数列满足且，令，则数列的前项的和等于___________. 【变式8-2】（2025·河南驻马店·二模）已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【变式8-3】（2026·陕西商洛·三模）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 题型9：已知前n项积 例9（2026·湖南邵阳·二模）记为数列的前项积，已知，则___________． 【变式9-1】（2026·广东云浮·三模）记为正项数列的前项积，，则______. 【变式9-2】（2025·黑龙江鹤岗·二模）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为_____. 【变式9-3】（2025·山西长治·二模）设为数列的前项积，已知，则（   ） A． B． C． D． 题型10：形如求通项公式 例10（2025·山东枣庄·三模）已知数列满足，且. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式10-1】（2025·四川泸州·二模）（多选）在数列中，，，且（），则下列选项正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【变式10-2】（2025·湖南常德·模拟预测）已知数列中， （1）设，求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式． 【变式10-3】（2025·江苏扬州·模拟预测）数列满足，，，，． (1)求的通项； (2)若，恒成立，求的取值范围． 题型11：奇偶数列求通项公式 例11（2025·陕西安康·二模）已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·江西景德镇·一模）已知数列的前n项和为，且，，则的值为（    ） A．300 B．270 C．207 D．171 【变式11-2】（2025·吉林通化·一模）中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________. 【变式11-3】（2025·河南开封·二模）（多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知数列的前n项和．求这个数列的通项公式． 2．若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和． 3．已知数列的前n项和为，若，求． 4．已知数列的首项为，且满足. (1)求证：是等比数列. (2)求数列的前项和. 5．已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $