第3章 09-3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，系统涵盖顶点、焦点、准线等核心概念及焦半径、焦点弦应用，通过对比椭圆、双曲线性质搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是精选各地期中真题分题组训练，解析注重定义转化与逻辑推理，如焦点弦长度计算实例，培养数学思维与模型观念，助力学生提升解题能力，也为教师提供分层教学优质素材。

第三章 圆锥曲线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　抛物线的简单几何性质 1.[2026北京海淀期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(x0,3),点M到抛物线C的焦点F的距离为3,则抛 物线C的准线方程为 ( ) A.x=- 　    B.x=-3　     C.x=-1　    D.x=-2     A     解析　由已知得 所以x0= ,p=3, 故抛物线C的准线方程为x=- =- . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026辽宁名校联考]已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10 和6,则p的值可取为 ( ) A.1　    B.2　    C.9　    D.18     BD     解析　由抛物线y2=2px(p>0)可得准线方程为x=- . 设点M(x1,y1),∴ =2px1. ∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,∴x1+ =10,y1=±6,结合 =2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即 p的值可取为18,2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026陕西咸阳段考]若等腰直角三角形AOB的三个顶点均在抛物线y2=2px(p>0)上,O为抛物线的顶点, 且OA⊥OB,则△AOB的面积是( ) A.8p2　    B.4p2　    C.2p2　    D.p2     B     解析　不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及题意可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B (2p,-2p),故S△AOB= ×2p×4p=4p2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖南湘一名校联盟期中]已知P是抛物线C:y2=4x上的动点,点A(4,3 ),则点P到点A的距离与点P 到直线x=-2 025的距离之和的最小值为 ( ) A.2 029　    B.2 030　    C.2 031　    D.2 032     B     解析　由已知得抛物线C的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,记F(1,0). 设d1为点P到直线x=-1的距离,d2为点P到直线x=-2 025的距离, 则d2=d1+(-1)-(-2 025)=d1+2 024, 由抛物线的定义得d1=|PF|,故所求距离之和为|PA|+d2=|PA|+d1+2 024=|PA|+|PF|+2 024, 当A,P,F三点共线,且P在A,F之间时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|,又A(4,3 ),F(1,0),∴|AF|=  =6, ∴|PA|+|PF|+2 024≥|AF|+2 024=6+2 024=2 030,即所求最小值为2 030. 第1讲　描述运动的基本概念 知识积累　利用抛物线的不同性质可以解决不同问题,具体如下: (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖南岳阳一中开学考试]已知O为坐标原点,P(a,0)(a>0),Q为抛物线y2=x上任意一点,且|PQ|≥|PO| 恒成立,则实数a的取值范围是_________. 解析　设Q(x0,y0),则 =x0. 因为|PQ|≥|PO|恒成立,所以 = ≥a,即 -2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0, 因为x0≥0,所以有x0-2a+1≥0, 故a≤ 恒成立,故a≤ = , 又a>0,所以a的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026广东广州番禺阶段测试]已知O为坐标原点,抛物线M:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l与x轴相 交于点B,A为M上的一点,AO所在直线与直线l相交于C点,若∠BOC=∠BCF,|AF|=6,求抛物线M的标准方 程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,因为∠BOC=∠BCF,∠OBC=∠CBF=90°,所以△OBC∽△CBF,则 = , 因为|OB|= ,|BF|=p, 所以 = ,解得|CB|= p(负值舍去), 所以tan∠AOF=tan∠COB= = ,即直线OA的斜率为 ,故直线OA的方程为y= x,与抛物线方程 联立,得 解得 或 故A(p, p), 所以|AF|=xA+ = =6,故p=4,则抛物线的标准方程为y2=8x. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[教材习题改编]已知抛物线y2=8x. (1)写出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程,以及x的取值范围; (2)设O为坐标原点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB 的周长. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)顶点坐标为(0,0),焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,对称轴方程为y=0,x的取值范围为[0,+∞). (2)由|OA|=|OB|可知点A,B关于x轴对称,不妨设A(x1,y1),y1>0,则B(x1,-y1), =8x1. 若焦点(2,0)是△OAB的重心,则 =2,所以x1=3,代入 =8x1,解得y1=2 (舍负), 所以|OA|=|OB|= ,|AB|=4 ,所以△OAB的周长为2 +4 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　抛物线的焦半径与焦点弦 8.[2026陕西汉中期中]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=  ( ) A.7　    B.6　    C.5　    D.4     D     解析　易得抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因为点M在C上,所以M到准线x=-2的距离等 于|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以M到准线x=-2的距离为5-1=4,所以|MF|=4. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026吉林长春期中]已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,A为C上一点且在第一象限内,以F为圆心,FA为半 径的圆交C的准线于B,D两点,且A,F,B三点共线,则|AF|=( ) A.16　    B.12　    C.10　    D.8     B     解析　因为A,F,B三点共线,且A,B,D均在圆F上,所以AB为圆F的一条直径,AD⊥BD. 结合抛物线的定义知|AD|=|AF|= |AB|,所以∠ABD=30°. 易知F到准线x=-3的距离为6,所以|AF|=|BF|=2×6=12.   第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山东枣庄三中月考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k的直线l经过点F,并且与抛物 线C交于A,B两点,与y轴交于点M,与抛物线的准线交于点N,若 =2 ,则k= ( ) A. 　    B. 　    C.± 　    D.±      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当A在第一象限内时,设准线x=- 与x轴的交点为P,坐标原点为O,过A作准线的垂线,垂足为A',如 图,因为OM∥PN,且O为PF的中点, 所以OM为三角形PFN的中位线, 则|FM|=|MN|, 所以 =2 = , 又根据抛物线的定义知|AF|=|AA'|, 所以|AN|=2|AF|=2|AA'|, 所以在直角三角形AA'N中,∠A'AN=60°,所以∠AFx=60°,此时k=tan∠AFx= ; 根据对称性,可知当A在第四象限内时,k=- . 综上,k=± . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　抛物线中与焦点弦有关的问题 1.[2026山东菏泽一中月考]如图,直线l经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|, 则|AB|= ( )   A. 　    B.6　    C. 　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =8x1, =8x2, 由|AF|=3|BF|,得 则  解得x1=6,x2= ,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4= . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026四川成都石室中学月考]如图,设抛物线C:x2=4y的焦点为F,过x轴上一点A作直线l交C于B,D两点, 若|FB|= ,|FD|=7,则 =( )   A.4　    B.3　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.如图:   过B向准线作垂线,垂足为N,且交x轴于E,根据抛物线的定义,得|BN|=|BF|= ,所以|BE|= -1= . 过D向准线作垂线,垂足为G,且交x轴于T,根据抛物线的定义,得|DG|=|DF|=7,所以|DT|=7-1=6. 易知△AEB∽△ATD,所以 = = = ,所以 = =3. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广东梅州期中]已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,且F为△ABC的 重心.若|FA|+|FB|的最大值为10,则p= ( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     D     解析　易知抛物线的准线方程为y=- ,焦点为F .分别过点A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,图略, 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=y1+ +y2+ =y1+y2+p(*), 因为点F 为△ABC的重心,所以 = ,即y1+y2= -y3,代入(*),可得|FA|+|FB|= -y3+p= -y3, 由点C(x3,y3)在抛物线E:x2=2py(p>0)上,知y3≥0,故|FA|+|FB|≤ ,依题意得 =10,解得p=4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026重庆巴蜀中学期中]已知抛物线y2=4x的焦点为F,A,B是抛物线上异于原点O的两点,且OA⊥OB, 则4|FA|+|FB|的最小值为 ( ) A.21　    B.13　    C.10　    D.9     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=- x, 联立 得k2x2-4x=0,解得x= 或x=0,可得A . 联立 得 -4x=0,解得x=4k2或x=0,可得B(4k2,-4k). 根据抛物线的定义可得4|FA|+|FB|=4· +(4k2+1)=4k2+ +5≥2 +5=21,当且仅当4k2= ,即k =± 时等号成立, 所以4|FA|+|FB|的最小值为21. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026广东茂名模拟]已知斜率为 的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交 于A,B两点(点A在第一象限内),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 ( ) A.p= 　    B.|AF|=6　     C.|BD|=2|BF|　    D.F为AD的中点     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　过点A,B作抛物线C的准线(记为m)的垂线,垂足分别为点E,M,如图. 设抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p, ∵直线l的斜率为 ,∴其倾斜角为60°,∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,连接EF,由抛物线的定义可知,|AE|=| AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=∠AFE=60°,则∠PEF=30°,∵∠EAF=60°,∴∠EDA=30°, 设|BD|=x,可得|BM|= ,∴|BF|=|BM|= ,易得Rt△DBM∽Rt△DAE,则 = ,∴|AE|=4+ ,∴|AF|=|AE |=4+ ,则|AB|=|AF|+|BF|=4+ + =4+x=8,解得x=4,∴|BF|=2,|AF|=6,∴B正确. 由|AF|=|EF|=2|PF|=2p=6,得p=3,∴A错误. |BD|=x=4,|BF|=2,故|BD|=2|BF|,∴C正确. |DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,∴D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026浙江杭州期中]定长为3的线段AB的端点A,B均在抛物线y2=x上移动,则AB的中点M到y轴的距离 的最小值为_________,此时M的坐标为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设F是抛物线y2=x的焦点,l为其准线,过A,B,M分别作准线的垂线,C,D,N为垂足,连接AF,BF,如图,   则|MN|= (|AC|+|BD|),根据抛物线的定义得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|, ∴|MN|= (|AF|+|BF|)≥ = , 设M点的横坐标为x,则|MN|=x+ , ∴x=|MN|- ≥ - = ,当且仅当弦AB过点F时取等号, 由于|AB|>2p=1,∴弦AB可能过焦点,即上述取等号的条件可以满足, 第1讲　描述运动的基本概念 此时M点到y轴的距离取得最小值,是 ,即AB的中点M的横坐标为 . 当F在弦AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=- ,从而(y1+y2)2= + +2y1y2=x1+x2+2y1y2=2× - = 2,∴y1+y2=± , ∴此时M点的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　抛物线的几何性质的综合应用 7.[多选题][2025江西部分高中期中联考]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-2)(k>0)与y轴交 于点D,与x轴交于点E,与C在第一、四象限内的交点分别为A,B,坐标原点为O,则下列结论正确的是  ( ) A.若BF⊥x轴,则|BF|=2　     B.若BF⊥x轴,则 =1 C. = 　     D. =  ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　过A,B分别作AM⊥y轴,BN⊥y轴,垂足为点M,N,如图所示, 由题意得,F(1,0),E(2,0), 若BF⊥x轴,则xB=1,代入抛物线方程y2=4x,可得yB=-2,则|BF|=2,因此A正确; 若BF⊥x轴,则BF∥y轴,由三角形相似可知, = = =1,因此B正确; 由BN∥AM可知 = ,由抛物线的定义知 = ≠ , 所以 = ≠ ,因此C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026江苏连云港期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线过点N(-1,0),直线l与C交 于A,B两点,弦AB的中点为M,过A,B,M分别作准线的垂线,垂足为A',B',M',则( ) A.p=2 B.若点Q(1,y)在抛物线C上,则点Q到准线的距离为3 C.若直线l过焦点F,则2|M'F|=|A'B'| D.若△A'B'F的面积是△ABF的面积的2倍,则点M的轨迹方程为y2=2x-4     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为准线过N(-1,0),所以 =1,故p=2,故A正确. 对于B,由A可得抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1, 若Q(1,y)在抛物线上,则点Q到准线x=-1的距离d=1+1=2,故B错误. 对于C,不妨设A位于第一象限,连接A'F,B'F,如图,   由抛物线的定义可得|AA'|=|AF|,故∠A'AF=π-2∠AFA', 同理得∠B'BF=π-2∠BFB',故∠A'AF+∠B'BF=π=2π-2∠BFB'-2∠AFA', 故∠BFB'+∠AFA'= ,则∠A'FB'= ,易知M'为A'B'的中点,则|A'M'|=|M'B'|=|M'F|,故2|M'F|=|A'B'|,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,由题可得弦AB不过焦点F,设A ,B , 则A'(-1,y1),B'(-1,y2),△A'B'F的面积为 ×|y1-y2|×|FN|=|y1-y2|, 当y1+y2≠0时,直线AB:y= · +y1= x+ , 令y=0,则x=- ,故△ABF的面积为 × |y1-y2|, 故|y1-y2|=2× × |y1-y2|, 由A,B为相异两点,知y2≠y1, 故1= ,即1+ =±1,故y1y2=-8或y1y2=0, 第1讲　描述运动的基本概念 易得M ,且 = - , 若y1y2=-8,则xM=  +2,即点M的轨迹方程为y2=2x-4, 又因为y1+y2≠0,所以yM≠0,即xM≠2,故点M的轨迹方程为y2=2x-4(x≠2); 若y1y2=0,同理可得点M的轨迹方程为y2=2x, 因为y1+y2≠0,所以yM≠0,即xM≠0,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0). 当y1+y2=0时,直线AB:x= ,其中y1≠0,y1≠±2,则△ABF的面积为 × ·|2y1|, 故|y1-y2|=2|y1|=2× × ·|2y1|,故y1=±2 , 故 或  第1讲　描述运动的基本概念 故A(2,2 ),B(2,-2 )或B(2,2 ),A(2,-2 ), 此时M(2,0),该点在曲线y2=2x-4上. 综上,点M的轨迹方程为y2=2x-4或y2=2x(x≠0),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026黑龙江哈尔滨期中]已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的 一个交点,若 =4 ,则|PF|=_________.     8     第1讲　描述运动的基本概念 解析　抛物线x2=4y的准线l的方程为y=-1,焦点为F(0,1). 设点P(t,-1),Q(x,y), 由 =4 ,得(x-t,y+1)=4(x,y-1), 可得 即  即Q . 由Q在抛物线x2=4y上, 可得 =4× ,即t2=60, 由两点间的距离公式可得|PF|= = = =8. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026河南焦作期中]已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,过 点P且斜率为 的直线l与x轴交于M点,与y轴交于N点,则∠MNF=___________.     90°     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,可得 =2px0(x0>0,y0≠0), 由题意知,直线l的方程为y-y0= (x-x0),即y-y0=  ,即y= x+ , 令y=0,得x=- ,令x=0,得y= , 所以M ,N , 则 = , 又F ,所以 = , 则 · = × + × =0,所以 ⊥ ,即∠MNF=90°. 第1讲　描述运动的基本概念 $