精品解析：广西壮族自治区南宁市兴宁区兴园路初级中学2026年秋季学期九年级10月学情自测数学试卷

2026年秋季学期学科素质调研（10月份）九年级数学试卷 （调研时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写在答题卡相应位置． 2．答题全部在答题卡上完成，试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身重合，逐一进行判断即可． 【详解】A、笛卡尔心形线不是中心对称图形，不符合题意； B、三叶玫瑰曲线不是中心对称图形，不符合题意； C、蝴蝶形曲线不是中心对称图形，不符合题意； D、太极曲线是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，最高次数为1，不符合； B、，满足所有条件，符合； C、，含有两个未知数，不符合； D、，不是整式方程，不符合． 故选：B． 3. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式得：，结合反比例函数的图像特征即可得答案. 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，不与轴、轴相交，图象在一、三象限，故A、C、D错误，B正确. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：A． 5. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把每个选项中的坐标分别代入函数解析式，分别验证即可． 【详解】解：由得， A选项：，故A不符合题意； B选项：，故B符合题意； C选项：，故C不符合题意； D选项：，故D不符合题意． 6. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∴ k的值可能是8． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在平面内绕点旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为． 故选：C． 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，的解集为：或； 故选C． 10. 我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，第三个月进馆432人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率的增长规律表示出第三个月的进馆人次，结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆人次为300，月平均增长率为x， ∴第二个月进馆人次为， 第三个月进馆人次为， ∵题目已知第三个月进馆432人次， ∴可列方程为． 11. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 12. 如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，由题意易得，则有，然后根据旋转的性质可知，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点M是边的中点， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 抛物线的开口方向是______． 【答案】向下 【解析】 【分析】根据题意得此抛物线的二次项系数为，即可得开口方向. 【详解】解：根据抛物线的解析式得此抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的开口方向是向下. 14. 如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角最小是__________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形、正六边形的性质．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解： 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合，则最小为． 故答案为：60． 15. 设，是关于的方程的两个根，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系得到，把代入即可解决问题． 【详解】解：∵，是关于的方程的两个根， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先算括号与乘方，再算乘除，最后算加减． （2）因式分解转化为两个一次方程求解． 【小问1详解】 解：原式， ， ． 【小问2详解】 解：， ∴或， ∴，． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 如图，即为所求作； ． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图——旋转变换，掌握旋转变换作图是解题的关键． （1）关于原点O 成中心对称，横纵坐标均互为相反数，找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： （1）表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； （2）判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； （3）若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 【答案】（1）第5次实验数据明显是错误的，理由见解析 （2）反比例函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值，即可得解； （2）根据每一对值乘积为60，确定是反比例函数，可得函数关系式； （3）将代入解析式，求出对应的p值即可． 【小问1详解】 解：第5次实验数据明显是错误的，理由如下： 根据物理公式，压力F固定， ∴各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第5次实验数据的值为66，与前4次的固定值60不符， ∴第5次实验数据（，）明显是错误的； 【小问2详解】 解：p与S满足的函数关系：反比例函数； 由（1）可知，固定压力，根据公式，变形可得， ∴p关于S的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，， ∴此时接触面受到的压强为． 20. 直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出与的函数关系式； （2）根据“西方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意可得： ， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意，得： ， ，抛物线开口向下， 当时，最大，最大值4500， 答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； （2）若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； （3）矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）24 （2）9米 （3）解：矩形饲养场的面积不能达到240平方米，理由如下： 设米，则米， 假设矩形饲养场的面积能达到240平方米，则， 整理得， 此时， ∴原方程无解， ∴假设不成立， ∴矩形饲养场的面积不能达到240平方米； 【解析】 【分析】（1）的长度等于木栏总长减去长度的3倍，再加上3个门的长度，据此列式求解即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程，看方程是否有正实数根即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，（米）； 【小问2详解】 解：设米，则米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：边的长为9米； 【小问3详解】 略 22. 综合与探究 问题背景： 数学课上，老师提出如下问题： 如图，将正方形绕点A顺时针旋转（），旋转后得到正方形，与交于点E，连接，．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）“善思小组”在图1的基础上继续旋转，当旋转至A，，C三点在同一条直线上时，如图2．试判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）连接，当是等腰三角形时，若正方形的边长为2，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：由旋转的性质，得． 四边形是正方形， ． ． ． ． （2）解：． 理由如下：如图，连接， 四边形是正方形， ． 由旋转的性质，得． ． 又， ． ． ， ． 又三点在同一条直线上，且， ． ． ． ． ． （3）或1． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，得，再证明即可求解； （2）连接，先证，得到，再解三角形即可求解； （3）分、、三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或1． 分三种情况讨论： ①当时，如解图1，过点作于点N，延长交CD于点M，连接， 则． ， ． 又， ． ． ， ． 是等边三角形． ． ． ． ②当时，如解图2，过点作于点H，则． 是等边三角形． ． ． 在中，． ． ③当时，点与点B重合，此时，不符合题意． 综上所述，的面积为或1． 【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等 三角形及相似三角形的判定定理，并正确作出辅助线构造全等三角形及相似三角形是解题关键， 23. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； （2）线段的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【小问1详解】 解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． 【小问2详解】 解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． 【小问3详解】 解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期学科素质调研（10月份）九年级数学试卷 （调研时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写在答题卡相应位置． 2．答题全部在答题卡上完成，试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（　　） A. 笛卡尔心形线 B. 三叶玫瑰曲线 C. 蝴蝶形曲线 D. 太极曲线 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是 A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A. 8 B. 12 C. 9 D. 10 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，则不等式的解集是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 10. 我国北宋诗人欧阳修名言：“立身以立学为先，立学以读书为本”表达了学习和读书的重要性．为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆300人次，第三个月进馆432人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，点M是边的中点．将绕着点A逆时针旋转到的位置，点D恰好在边上，点是点M的对应点，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 抛物线的开口方向是______． 14. 如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角最小是__________度． 15. 设，是关于的方程的两个根，且，则________． 16. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标． 19. 在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： （1）表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； （2）判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； （3）若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 20. 直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 21. 某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； （2）若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； （3）矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 22. 综合与探究 问题背景： 数学课上，老师提出如下问题： 如图，将正方形绕点A顺时针旋转（），旋转后得到正方形，与交于点E，连接，．求证：． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究： （2）“善思小组”在图1的基础上继续旋转，当旋转至A，，C三点在同一条直线上时，如图2．试判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）连接，当是等腰三角形时，若正方形的边长为2，请直接写出的面积． 23. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； （2）线段的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $