易错易混08 空间向量与立体几何（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

易错易混08 空间向量与立体几何 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 6 易错归纳01 忘记斜二测画法规则（★★★★） 6 易错归纳02 不能确定外接球、内切球的球心（★★★★★） 8 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉（★★★★★） 9 易错归纳04 忽略异面直线夹角的范围（★★★★） 13 易错归纳05 混淆线面角、二面角的概念（★★★★★） 14 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置）（★★★★★） 16 易错归纳07 建系时等分点的坐标不会表达（★★★★★） 19 03 实战检测・易错通关验成效 21 错点扫描・易错建模夯基石 一、斜二测画法 1、水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 2、空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 3、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 二、线面、面面平行的判定和证明 1、线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那 么该直线与此平面平行 符号表述： （2）利用面面平行性质定理：面面平行，面内的一条线与另一个面平行 符号语言： 2、面面平行判定定理：如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： 三、线面、面面性质定理 1、线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 符号表述：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 2、面面平行性质定理：两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 四、线面、面面垂直的判定和证明 1、线线垂直： ①等腰/边三角形：取中点出垂直 ②特殊四边形：菱形对角线互相垂直；正方形；长方形；直角梯形 ③勾股定理 2、线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， 3、面面垂直判定定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， 五、线面、面面垂直垂直性质定理： 1、线面垂直性质定理： ①如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 2、面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 六、空间中的角 1、异面直线所成角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 1）平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2）向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 2、线面角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 1)常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2)向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 3、二面角 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）求法：传统法5个+向量法 ①定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． ②向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 七、外接球与内切球的技巧 1、球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2. 2、外接球球心确定的技巧 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可. 3、“切”的处理 解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面. 4、与内切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)一个棱锥的表面积为S，如果这个棱锥有半径为r的内切球，则此棱锥的体积V满足V＝Sr. 易错归纳・查漏补缺避陷阱 易错归纳01 忘记斜二测画法规则 【易错陷阱·避错攻略】 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半. 1．（26-27高三上·广东·期中）如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积（    ） A． B． C． D． 2．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（    ） A． B．2 C． D．4 3．已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 5．已知的平面直观图是边长为的正三角形，则原的面积为________． 易错归纳02 不能确定外接球、内切球的球心 【易错陷阱·避错攻略】 1、空间几何体（椎体，柱体，台体）的内切球问题半径，一般思路是利用等体积法。即 2、对于空间旋转体(圆台，圆柱，圆锥)一般是采用将几何体内切球问题转化成对应轴截面的内接圆问题，如图，圆锥，圆柱，圆台的内切球一般转化成轴面的内切圆 1．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积是（     ） A． B． C． D． 2．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知某正三棱台的上、下底边长分别为3和6，若其存在内切球，则正三棱台的高为（       ） A． B．2 C． D．3 5．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 6．（25-26高三上·河北·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 7．在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉 1、线面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2、面面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 3、线面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 4、面面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【易错陷阱·避错攻略】 1．三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，． (1)求证：； 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 3．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 4．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 5．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.求证：； 6．如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE，求证：平面PBC； 7．如图，在五面体中，⊥平面，，，，点为中点．求证：平面平面； 8．如图三棱锥中，，平面平面，平面平面．证明：平面． 9．（2026·山东·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：直线平面； (2)点在线段上，直线平面，求三棱锥的体积． 易错归纳04 忽略异面直线夹角的范围 【易错陷阱·避错攻略】 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 1．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．在空间四边形中，，且与所成角为，，分别为，的中点，则与所成角的大小为（    ） A． B．或 C． D． 3．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（   ） A．60° B． C． D． 4．（2026·河北·模拟预测）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，P是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为________． 6．在三棱锥P­ABC中，和均为等边三角形，且二面角的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为________． 易错归纳05 混淆线面角、二面角的概念 【易错陷阱·避错攻略】 若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|. 注：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. 1．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点，分别为棱，的中点，且 (1)求的长度； (2)求二面角的正弦值； 2．（2026·广西南宁·一模）如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E，F在棱上，且．    (1)证明：平面． (2)求直线CB与平面所成角的正切值． 3．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 4．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且，G是线段上一动点. (1)求证：平面平面； (2)当A，E，F，G四点共面时，求直线与平面所成角的余弦值. 5．如图（1），平面五边形中，，，.，将沿翻折，使得平面平面，如图（2）. (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成的角为，若，求的长. 6．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置） 【易错陷阱·避错攻略】 一、直线和平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影， 图中斜线PA在平面α上的射影为AO 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 3、取值范围：[0°，90°] 二、二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 1．如图，已知内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，F是CD的中点， （1）证明：平面ADE； （2）若四边形DBCE为矩形，且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，，AE与圆O所在的平面的线面角为60°.求二面角的平面角的余弦值. 2．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． (1)当时，求证：平面； (2)已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 3．如图，四边形关于直线对称，，，，把沿折起. （1）若二面角的余弦值为，求证：平面； （2）若与面所成的线面角为时，求的长. 4．如图，在平面四边形中，过点作，垂足为，且，，，，将沿折起，使得点到达点处，得到四棱锥． (1)若平面平面，证明：． (2)已知二面角的大小为． （ⅰ）求异面直线与所成角的正切值； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 易错归纳07 建系时等分点的坐标不会表达 1．（2026·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． (1)证明：平面； (2)已知是棱上一点，且，求平面与平面所成角的正弦值． 2．如图，平面平面BCD，，且，为正三角形，点E是线段AD上靠近点D的四等分点． (1)证明：； (2)求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值． 3．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 4．如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值： (3)是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 实战检测・易错通关验成效 1．（2025高三上·广东深圳·专题练习）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．在中，，，D为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 11．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是__________. 12．（2026·四川自贡·三模）三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 13．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 14．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________ 15．直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4，求证：平面. 16．如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 17．如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点. 18．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 19．如图所示，平面四边形中，，，，，，点满足.将沿翻折至，使得.证明：. 20．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：平面； (2)证明：； 21．如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知．    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 22．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点.    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 23．在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，是圆台的一条母线． (1)已知G，H分别为，的中点．求证：平面； (2)已知，求： ①直线与直线所成角的余弦值； ②二面角的余弦值． 24．（2025·青海海南·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，二面角的大小为分别为的中点．    (1)求证：． (2)已知，二面角的大小为． （i）求和所成角的余弦值； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 25．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． (1)证明：； (2)若平面与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 26．（24-25高三下·江西·开学考试）如图，在直角梯形中，.以为折痕将折起，使到达的位置且. (1)试在线段上确定一点，使平面，并说明理由； (2)求二面角的正切值. 27．（25-26高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形中，，，，，，现将沿折起得四棱锥，在四棱锥中，点，分别在，上，且. (1)求证：平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值. 28．如图，在四棱锥中，，，，平面平面． (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使平面与平面所成角大小为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错易混08 空间向量与立体几何 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 6 易错归纳01 忘记斜二测画法规则（★★★★） 6 易错归纳02 不能确定外接球、内切球的球心（★★★★★） 10 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉（★★★★★） 16 易错归纳04 忽略异面直线夹角的范围（★★★★） 24 易错归纳05 混淆线面角、二面角的概念（★★★★★） 29 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置）（★★★★★） 39 易错归纳07 建系时等分点的坐标不会表达（★★★★★） 47 03 实战检测・易错通关验成效 54 错点扫描・易错建模夯基石 一、斜二测画法 1、水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 2、空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 3、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 二、线面、面面平行的判定和证明 1、线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那 么该直线与此平面平行 符号表述： （2）利用面面平行性质定理：面面平行，面内的一条线与另一个面平行 符号语言： 2、面面平行判定定理：如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： 三、线面、面面性质定理 1、线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 符号表述：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 2、面面平行性质定理：两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 四、线面、面面垂直的判定和证明 1、线线垂直： ①等腰/边三角形：取中点出垂直 ②特殊四边形：菱形对角线互相垂直；正方形；长方形；直角梯形 ③勾股定理 2、线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， 3、面面垂直判定定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， 五、线面、面面垂直垂直性质定理： 1、线面垂直性质定理： ①如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 2、面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 六、空间中的角 1、异面直线所成角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 1）平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2）向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 2、线面角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 1)常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2)向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． 3、二面角 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）求法：传统法5个+向量法 ①定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． ②向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 七、外接球与内切球的技巧 1、球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面. (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为r2＝R2－d2. 2、外接球球心确定的技巧 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可. 3、“切”的处理 解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面. 4、与内切球有关的常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的内切球，则2R＝a； ②若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)一个棱锥的表面积为S，如果这个棱锥有半径为r的内切球，则此棱锥的体积V满足V＝Sr. 易错归纳・查漏补缺避陷阱 易错归纳01 忘记斜二测画法规则 【易错陷阱·避错攻略】 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法要注意： ①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半. 1．（26-27高三上·广东·期中）如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为四边形是平行四边形，且， 所以平行四边形面积， 根据直观图与原图面积关系， 所以. 故选： 2．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可． 【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示， 其中，，， 原平面图形的面积为． 故选：D． 3．已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴交轴于点，由三角形的面积公式求出正三角形的边长，利用正弦定理求出的长，即可得出顶点对应的点到轴的距离是，即可得解. 【详解】过点作轴交轴于点，如下图所示： 设正三角形的边长为，则，解得， 在中，，， ， 由正弦定理，即， 可得， 因此，顶点对应的点到轴的距离是. 故选：D. 4．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【答案】6 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图，进而求出原四边形各边的长度，从而找出最长的长度． 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，， 将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，， 所以 因为， 所以原四边形中最长边的长度为6． 5．已知的平面直观图是边长为的正三角形，则原的面积为________． 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系，先求出直观图相关线段长度，再据此确定原三角形的高，继而求出原三角形的面积. 【详解】建立如图所示的坐标系，的顶点在轴上，边在轴上，为的高， 把轴绕原点逆时针旋转得轴，则点变为点，且，点即为点，长度不变． 已知，在中， 由正弦定理得，所以， 所以原的高，所以． 易错归纳02 不能确定外接球、内切球的球心 【易错陷阱·避错攻略】 1、空间几何体（椎体，柱体，台体）的内切球问题半径，一般思路是利用等体积法。即 2、对于空间旋转体(圆台，圆柱，圆锥)一般是采用将几何体内切球问题转化成对应轴截面的内接圆问题，如图，圆锥，圆柱，圆台的内切球一般转化成轴面的内切圆 1．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理判断和均为直角三角形，公共斜边即为外接球直径，代入球的体积公式计算即可. 【详解】在中，，，，则， 故为直角三角形，且为斜边. 同理可得，为直角三角形，且为斜边. 取中点，连接，. 在中，；在中，， 所以，即为外接球球心，外接球半径. 故三棱锥的外接球的体积为 . 2．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，若该圆台内部存在一个与上下底面和侧面都相切的球，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆台有内切球， 母线长， 求圆台的高， 圆台的体积公式， 代入，，， 即. 4．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知某正三棱台的上、下底边长分别为3和6，若其存在内切球，则正三棱台的高为（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】正三棱台结构特征结合内切球的要求，确定球心位置，以及与上、下底面和侧面的切点位置，再利用已知的上、下底边长，构造关于内切球半径的方程，即可求出正三棱台的高． 【详解】由正三棱台结构特征结合题意，可知内切球与上、下底面切点为上、下底面的重心． 如图，取、的中点分别为、，上、下底面的中心分别为、， 球心为的中点． 正三棱台的上、下底面均为正三角形，且边长分别为3和6，则，． 在等腰梯形中，． 取截面，同时面截内切球为圆， 其与、、分别相切于、、． 由圆的切线长定理，可得，，即． 令，则在直角梯形中， 由勾股定理，可得，即． 由正三棱台结构特征结合题意，可知即为正三棱台的高，则高长为． 5．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【答案】或 【分析】由棱台的结构特征结合多面体的外接球问题求解即可. 【详解】如图所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即． 因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（图1）或（图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 6．（25-26高三上·河北·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 【答案】 【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圆半径，利用圆心与球心的连线垂直于底面构成直角三角形即可求出外接球的半径，进而可得其表面积. 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 7．在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接，利用正弦定理求得，结合勾股定理定理，，，设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于，由，即可求出外接球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接， 由正弦定理得，则， 为的中点，， ，所以， 因为， 所以， 所以，， 因为平面平面，于，平面平面，则平面，故， 设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于， 则平面，于是，从而是矩形， 所以外接球半径满足， 解得， 所以外接球的表面积为． 易错归纳03 平行、垂直中的性质定理不熟悉 1、线面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2、面面平行性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 3、线面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 4、面面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【易错陷阱·避错攻略】 1．三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，，． (1)求证：； 【答案】(1)因为，，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 又四边形为菱形，所以， ，平面， 所以平面，平面， 所以. 2．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】 因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 3．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【答案】证明: 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为四边形是平行四边形， 所以O是AC的中点，又M是PC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 4．如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明： 设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 5．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点.求证：； 【答案】取中点，连接、， 因为，， 所以为等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以. 因为，所以. 因为，，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 6．如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE，求证：平面PBC； 【答案】因为 平面，平面，且平面平面， 则，又平面，平面，则平面. 7．如图，在五面体中，⊥平面，，，，点为中点．求证：平面平面； 【答案】取的中点为，连接，如图， 因为平面，平面，故， 而，为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 因为、分别为、所在棱的中点， 所以，， 又，， 所以，， 故四边形为平行四边形，则， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 8．如图三棱锥中，，平面平面，平面平面．证明：平面． 【答案】证明： 在内任取一点，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 过P作于N，同理可得， 又平面，， 所以平面． 9．（2026·山东·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：直线平面； (2)点在线段上，直线平面，求三棱锥的体积． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 由，，，， 所以，所以，在中，，即， 因为，平面 所以直线平面. (2)解：设与交于点， 因为直线平面，平面平面，平面 所以 因为，所以， 所以，即为三等分点靠近点的点， 设，点在棱上，则， 因为平面，所以平面 的面积为，， 三棱锥的体积 易错归纳04 忽略异面直线夹角的范围 【易错陷阱·避错攻略】 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是， 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 1．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，因为，分别为，的中点，所以， 正方体中，上、下底面互相平行，所以面对角线， 由平行线的传递性，得，因此异面直线与所成的角等于与所成的锐角或直角，即. 设正方体的棱长为，则，所以为正三角形， 因此，即所求异面直线所成的角为. 2．在空间四边形中，，且与所成角为，，分别为，的中点，则与所成角的大小为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】首先作图取的中点，利用中位线的平行关系，结合异面直线所成角的定义，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连结， 因为分别是的中点，所以，， 且与所成角为，所以或， 所以与所成角为或其补角， 且，则，所以或， 所以与所成角的大小为或. 故选：B 3．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（   ） A．60° B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出可得,根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、，   矩形中，， ，可得，因此； 正三棱柱中，平面平面， 平面平面，，平面， 平面，平面，可得. ，平面， 平面，又平面， 所以，即与所成角的大小为， 故选：C． 4．（2026·河北·模拟预测）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，P是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量夹角公式求解. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，分别为轴，过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是弧的中点，所以，又， 则，，，， 所以，， 所以，即， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 5．如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的角就是异面直线所成的角或补角，再利用解三角形的知识求出此角即可； 【详解】令，取中点分别为， 连结，则， 就是直线与所成角或其补角. 又因为在中，， 连结，得， ， 则， ∴直线与所成角为. 故答案为：. 6．在三棱锥P­ABC中，和均为等边三角形，且二面角的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为________． 【答案】/0.625 【分析】取BC的中点O，连接OP, OA，由题意可得AO⊥BC,PO⊥BC，从而得PAO⊥平面ABC，∠POA＝120°，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】解：如图，    取BC的中点O，连接OP, OA， 因为和均为等边三角形， 所以AO⊥BC,PO⊥BC，, 所以BC⊥平面PAO，平面ABC, 所以平面PAO⊥平面ABC， 且∠POA的大小就是二面角P-­BC­-A的大小，即∠POA＝120°， 建立空间直角坐标系如图所示， 设， 则点 ，，B(0,1,0)，，所以，， 所以， 所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.故答案为： 易错归纳05 混淆线面角、二面角的概念 【易错陷阱·避错攻略】 若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|. 注：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值. 1．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，为与的交点，点，分别为棱，的中点，且 (1)求的长度； (2)求二面角的正弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点建系，利用坐标以及计算点坐标即可； （2）分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算夹角即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，四边形为正方形，所以， 设，则， 因为点，分别为棱，的中点，所以， 则， 因为，所以，得， 则的长度为； （2）由（1）知， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 平面的法向量为， 则，令，则， 所以二面角的余弦值为， 故二面角的正弦值为. 2．（2026·广西南宁·一模）如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E，F在棱上，且．    (1)证明：平面． (2)求直线CB与平面所成角的正切值． 【答案】(1) 取的中点，连接， 因为正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点， 所以，， 又，故，所以， 又，故，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，所以平面，    (2)取的中点，的中点，连接，， 则⊥平面， 因为为等边三角形，所以⊥， 且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 设直线CB与平面所成角的大小为， 则 ， 故，. 3．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1) ∵，平面平面， 又二面角为直二面角，则平面平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，，则，，， 则， 由勾股定理得， ∵平面，平面，， ∴平面. (2)解法一：设交于F点，连接， 由（1）得平面， 平面， ， ∵平面， ∴，， 设平面与平面夹角为，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴二面角的正切值为. 解法二：由（1）知， 以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题设及（1）得，，，，， 平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 由得，令，得， 设二面角的大小为，则， ∴二面角的正弦值为， ∴二面角的正切值为. 4．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且，G是线段上一动点. (1)求证：平面平面； (2)当A，E，F，G四点共面时，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) 证明：因为平面，平面， 所以，因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. (2)在上取点使得，则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设，则， 所以，因为A，E，F，G四点共面， 所以存在实数使得，则. 解得，所以，所以. 设平面的法向量为，则. 所以有，令，则，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 5．如图（1），平面五边形中，，，.，将沿翻折，使得平面平面，如图（2）. (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成的角为，若，求的长. 【答案】(1)因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为平面， 所以平面. (2)因为.，所以. 所以过点作直线的垂线，垂足为， 所以，. 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则. 所以， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或. 即或. 6．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，为的中点， ． 又∵平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． (2)分别取、的中点为、，连结、， 为的中点，是边长为的等边三角形，故， 是直角三角形，，，． 、的中点为、，，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ，． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为，，轴， 如图建立空间直角坐标系 则，，，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于． （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为， 设， 由（2）知，，， ，， ， 面的法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， 由平面和平面夹角余弦值， ， 即， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的余弦值为，此时． 易错归纳06 已知线面角、二面角求其他量（找不到夹角的位置） 【易错陷阱·避错攻略】 一、直线和平面所成的角 1、有关概念： （1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA （2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A （3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影， 图中斜线PA在平面α上的射影为AO 2、直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角. （2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 3、取值范围：[0°，90°] 二、二面角 1、二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． （2）图形语言： （3）符号语言：二面角或或或. 2、二面角的平面角 若有①；②，；③，，则二面角的平面角是． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 1．如图，已知内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，F是CD的中点， （1）证明：平面ADE； （2）若四边形DBCE为矩形，且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，，AE与圆O所在的平面的线面角为60°.求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连结BE，证出，再利用线面平行的判定定理即证. （2）利用面面垂直的性质定理证出平面ABC，以C点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量与平面AEB的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）连结BE，∵DBCE平行四边形且F为CD中点 ∴F为BE中点，又∵O为AB的中点∴ ∵平面ADE，平面ADE ∴平面ADE. （2）∵矩形平面ABC，平面平面， ，平面DBCE，∴平面ABC 又∵AB为圆O的直径，∴ ∴以C点为原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系 ∵，∴， 由平面ABC得，就是AE与平面ABC所成的角 由得， ∴，，， ∴，， 设平面AED的一个法向量， 由，，得，， 即，令，则，所以 同理可得，平面AEB的一个法向量 ∴ ∴二面角的平面角的余弦值为. 2．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． (1)当时，求证：平面； (2)已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 【答案】(1) 由条件得，是的中点，取的中点，连接，，（如图1）， 则， 在菱形中，为的中点，所以， 所以，且，所以四边形是平行四边形，     则，而平面平面， 所以平面. (2)由为的中点，则， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面.    （方法一）底面是菱形，，所以为正三角形，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图2）， 则，     设，其中，则， ，     设平面的法向量为，所以， 即，取，可得， 又平面即平面的法向量为，     由二面角的大小为，则， 即，化简得， 又，所以，即. （方法二）作于点于点，连（如图3）， 依题意，平面， 故平面，从而，故，     设，则，     而，故，     又，故，解得，即. 3．如图，四边形关于直线对称，，，，把沿折起. （1）若二面角的余弦值为，求证：平面； （2）若与面所成的线面角为时，求的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【分析】（1）取的中点，连接、，可得，，，为等腰直角三角形，为等边三角形，求出可证明，由面，可证明，由线面垂直的判定定理即可求证； （2）以为原点，建系如图，求出所需各点坐标，设，由的长可列的关于、的方程，求出平面的法向量，根据空间向量夹角公式列关于、的方程，解方程求得、的值，即可求得点、的坐标，由模长公式即可求的长. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为四边形关于直线对称， 所以，， 所以，， 所以即为二面角的夹角，即， 因为，，，所以，， 因为，，所以是等边三角形，所以， 可得， 在中，由余弦定理知：， 所以，可得，即， 又因为，，，所以面， 因为面，所以 ， 因为，所以、平面， 所以平面； （2）以为原点，、所在的直线分别为、轴，过点垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设，且，则①， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，，所以 因为与面所成的线面角为，所以② 由①②可得：，所以， 即，解得：或 所以或， 所以，，， 或，， 所以或. 4．如图，在平面四边形中，过点作，垂足为，且，，，，将沿折起，使得点到达点处，得到四棱锥． (1)若平面平面，证明：． (2)已知二面角的大小为． （ⅰ）求异面直线与所成角的正切值； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：过点作，垂足为， 因为，，所以，． 因为平面平面，平面平面，，所以平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 所以，． 因为，所以，即． (2)（ⅰ）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 过点作，垂足为． 根据题意可得，则，，，，， 所以，． 设异面直线与所成的角为， 则， 所以， 则，即异面直线与所成角的正切值为． （ⅱ）由（ⅰ）可得，，． 设平面的法向量为， 则，令，则． 设与平面所成的角为， 则． 故与平面所成角的正弦值为． 易错归纳07 建系时等分点的坐标不会表达 1．（2026·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． (1)证明：平面； (2)已知是棱上一点，且，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为，所以，． 因为四边形是菱形，所以． 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，，，，平面， 所以平面． (2)记，过点作，所以平面， 因为，平面， 所以，，即，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示． 设，因为底面是菱形，，所以，，，，，，． 由，得，即． ，，设平面的法向量为， 则即 令，得，， 所以是平面的一个法向量． ，，设平面的法向量为，则即令，得，， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成角为，则， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 2．如图，平面平面BCD，，且，为正三角形，点E是线段AD上靠近点D的四等分点． (1)证明：； (2)求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值． 【答案】(1)方法一：几何法 取BD中点F，取AD中点G，由题意有，     ∵平面平面BCD，且平面平面，，平面BCD 则平面ABD     又平面     又E为AD四等分点，则，则     又，且平面CEF，平面平面CEF     又平面CEF，则     方法二：建系 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，               故 (2)设平面ACD的法向量为 ， ，令，则， 故平面ACD的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为 ，令，则， 故平面ABC的一个法向量为， 则平面ABC与平面ACD的夹角的余弦值. 3．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在线段上（不包括端点）是否存在点，使平面和平面夹角余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，为的中点， ． 又∵平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面， ． (2)分别取、的中点为、，连结、， 为的中点，是边长为的等边三角形，故， 是直角三角形，，，． 、的中点为、，，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ，． 以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为，，轴， 如图建立空间直角坐标系 则，，，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于． （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为， 设， 由（2）知，，， ，， ， 面的法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， 由平面和平面夹角余弦值， ， 即， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的余弦值为，此时． 4．如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值： (3)是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接交于，连接，，              因为，，所以与相似，所以， 即，又，所以， 又平面，平面，所以平面； (2)取中点，连接，因为平面平面，且， 平面平面，平面， 所以平面，由于，所以， 又，，由余弦定理得， 所以，所以，则， 如图以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由得，则， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； （3）设，因为，， 所以， 所以， 则点到平面的距离， 整理得，解得或（舍去）， 所以时使得点到平面的距离为. 实战检测・易错通关验成效 1．（2025高三上·广东深圳·专题练习）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图的画法，还原实际图形. 【详解】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为. 故选：A 2．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直观图还原，然后去求即可. 【详解】由题意，在直观图中，与轴平行且，所以在还原图中，与轴平行且. 直观图中，与轴重合且，所以在还原图中，与轴重合且. 由题意可知，在还原图中，. . 3．在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    4．已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 5．在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 6．正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答. 【详解】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，即， 而，则， 在中，，解得，， 所以它的内切球与外接球的表面积之比为. 故选：D 7．（24-25高三上·重庆·期末）在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面的中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 8．已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接， 则平面. 因为平面，所以， 作，连接，又， 所以四边形是矩形，所以，又， 则，即. 设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为. 因为，所以是正三角形， 由正弦定理得，可得， 所以， 则外接球的表面积为. 9．在中，，，D为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知：，平面.解法一：利用正弦定理可得的外接圆半径，结合直棱柱的外接球特征求外接球半径和表面积；解法二：建立空间直角坐标系，根据球的定义求球心和半径，即可得表面积. 【详解】在原中，，，则， 且点为中点，则，， 在四面体中，可得，， 且平面，，则平面. 解法一：因为，则， 可得的外接圆半径， 外接球的半径， 所以外接球的表面积为； 解法二：以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 由，得. 设外接球球心为，满足， 则， 解得，，，即， 则，所以外接球的表面积为. 10．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取的中点，构造三角形的中位线，将异面直线与所成的角转化为三角形的内角，结合余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 11．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是__________. 【答案】 【分析】利用斜二测画法推导出原图形，根据边角关系求解. 【详解】如图①中，过作平行轴，交轴于点， 如图②，在平面直角坐标系中，在轴上取， 过点作平行轴，取，连接，则即原图形. 故为到轴距离，设则. 在①中过作垂直轴，且交轴于， 则， ，即，解得. 故答案为：. 12．（2026·四川自贡·三模）三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 【答案】 【分析】由线面垂直关系证明平面，求底面的外接圆半径，进而根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积. 【详解】如图所示， 在中：，因此，即. 在中：，因此，即. 因为，且平面， 根据线面垂直判定定理可得：平面. 是边长为的等边三角形，由正弦定理， 其外接圆半径满足：，解得，即. 外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于， 设球心到平面的距离为，由，得：， 即，已知，故，， 外接球半径满足： 由球的表面积公式，代入得：. 13．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置并求出球半径即可. 【详解】在三棱锥中，取的中点，连接， 和均为边长为的等边三角形，得， 由二面角的平面角为，得，即， 平面，则平面，同理平面， 令和的中心分别为，三棱锥的外接球球心为， 则平面，平面，于是，四边形为矩形， ，而，， 所以三棱锥外接球半径，表面积. 14．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________ 【答案】 【分析】方法1分别过点E作平面的垂线，过的中点作平面的垂线,则两垂线交点为球心，再在中利用正弦定理可得外接球半径，即可得表面积；方法2建立以为坐标原点，以所在直线分别为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴的空间直角坐标系，设，球的半径为，由题可建立关于及R的方程，据此可得表面积. 【详解】方法1：如图，分别取，的中点，连接， 因为是等腰直角三角形，且斜边，所以，， 因为四边形是边长为2的正方形，所以，， 因为，所以，， 则，得. 过点作平面的垂线，过的中点作平面的垂线， 则两垂线的交点就是球心，在中，，所以， 所以球的半径，所以球的表面积， 方法2：如图，分别取的中点，，连接， 因为是等腰直角三角形，且斜边，所以，， 因为四边形是边长为2的正方形，所以，， 因为，所以，所以， 所以，. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 以过点且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，球的半径为，则， 解得，，，，所以球的表面积， 15．直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4，求证：平面. 【答案】证明如下： 由题意得，， 平面，平面， 平面，平面 而，平面，平面平面， 又平面平面 16．如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在线段上取一点（不取端点），过和作平面交平面于．求证：平面． 【答案】证明:如图所示，连接交于点，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴是的中点． 又是的中点，∴． 而平面，平面， ∴平面． 又平面，平面平面， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 17．如图，在多面体中，四边形，均为矩形，点为线段上一点，且平面.若平面，求证：点是的中点. 【答案】连接，交于点，连接， 由平面，平面，平面平面，得， 在矩形中，点为线段的中点，所以点是的中点. 18．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明：因为在梯形中，， 又面，面， ∴面，因为面，面面，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2)为中点时，平面． 证明：连接，，因为，分别为，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面，，、平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，平面，所以平面. 19．如图所示，平面四边形中，，，，，，点满足.将沿翻折至，使得.证明：. 【答案】证明：由题意可知，，又， 所以由余弦定理得，故. 又，所以. 由及翻折的性质知， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以. 20．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：平面； (2)证明：； 【答案】(1)因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. (2)取中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以． 21．如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知．    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) 平面平面，且平面平面平面， 则平面，而平面， 所以． (2)由（1）知，而，平面，则平面， 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    过作于点，则四边形是矩形，则， ，由，得， 又四棱台的底面为正方形，，则， 则，， ， 设是平面的一个法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，有， 则，， 所以直线与平面所成角的正切值为2． 22．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点.    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) 因为，且是的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 可得：平面，且平面，所以. (2)在底面内作，以点E为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系.    则， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 又因为， 设直线EF与平面所成角为， 可得， 可得，所以直线与平面所成角的余弦值为. 23．在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，是圆台的一条母线． (1)已知G，H分别为，的中点．求证：平面； (2)已知，求： ①直线与直线所成角的余弦值； ②二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：设的中点为，连接，， 在中，因为点是的中点，所以， 又是圆台的一条母线，则，所以， 又平面，平面，所以平面， 在中，因为是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； (2)①连接，则平面．又， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由题意得，，，， ．由，， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以，直线与直线所成角的余弦值为； ②由，， 设是平面的法向量， 由，可得，即， 令可得平面的一个法向量， 因为平面的一个法向量，设二面角的夹角为， 则， 所以二面角的余弦值为． 24．（2025·青海海南·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，二面角的大小为分别为的中点．    (1)求证：． (2)已知，二面角的大小为． （i）求和所成角的余弦值； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图，连接，由平面，平面，得， ∴二面角的平面角是，即． ∵四边形为菱形，∴，，故为等边三角形， ∵为的中点，∴，故， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴． (2)（i）由平面，平面，得． 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ∵为正三角形，且，∴． 设，则， ∴， 由题意得，平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则 取，可得． ∴，解得， ∴， ∴，即和所成角的余弦值为． （ii）设直线与平面所成的角为． 由（i）知，平面的法向量为， ∵， ∴，即直线与平面所成角的正弦值为. 25．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，． (1)证明：； (2)若平面与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以； (2)方法一：取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以两两垂直， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，， 设，因为，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又，， 所以由，得，令，则，，故， 因为二面角的大小为，所以， 解得， 所以，又，所以， 故三棱锥的体积． 方法二：过点作，垂足为．由平面，得， 故平面． 过作于，连接． 因为平面，平面，所以．又，，平面，所以平面，故． 因此就是平面与平面所成二面角的平面角，． 在中，． 是边长为1的等边三角形，是中点， 所以，，，． 在中，由余弦定理： 得，． 因为，，所以， 又，故，所以． 在中，，所以． 底面的面积： 由等体积法：，是点到平面的高： 所以. 26．（24-25高三下·江西·开学考试）如图，在直角梯形中，.以为折痕将折起，使到达的位置且. (1)试在线段上确定一点，使平面，并说明理由； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)是线段的中点时，平面，理由如下： 取为线段的中点，连接， 所以，，又，所以， 又，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2)在直角梯形中，取的中点，易得是矩形，且， 所以，所以是等边三角形， 取中点，连接， 可得，所以是等边三角形.又为等边三角形. 所以，又易得，又， 所以，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，又显然二面角为锐二面角， 所以， 所以，所以. 所以二面角的正切值为. 27．（25-26高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形中，，，，，，现将沿折起得四棱锥，在四棱锥中，点，分别在，上，且. (1)求证：平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)在上取一点，使得， 因为分别在和上，且， 在中，可得，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，可得，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以 平面. (2)解：因为，且，平面， 所以平面，则即为二面角的平面角，所以， 以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设，可得， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 又由，可得， 设， 可得且， 解得，，所以， 设与平面所成的角为，其中， 则， 所以， 所以与平面所成的角的余弦值为. 28．如图，在四棱锥中，，，，平面平面． (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使平面与平面所成角大小为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在平面中，过作于． ∵平面平面，平面平面，平面， 平面． 平面， ． ， ，， ， ，即． ，平面，， 平面． 平面． ． (2)法1：以为原点，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系． 由（1）得：，， ，，，，． 取中点，连接，，则，． ，， ，． 平面，平面， ． ，平面，且， 平面． ， ，． 设， 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 取，，则，则． 易知为平面的其中一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 解得（舍去）或， ∴存在这样的点，此时点为靠近点的三等分点． 法2：同法1可得平面，． 平面， ， ． 同样设，（） ，， ， ， 过作平面于，过作于， 则为平面与平面的夹角． 由体积相等得：， ，， ，，① ，② ∴由①②得：（舍去）或， ∴存在这样的点，此时点为靠近点的三等分点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $