精品解析：江苏省南菁高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 两圆：和：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（ ） A. 两条平行线 B. 一个矩形 C. 一个菱形 D. 一个圆 8. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 不经过原点的直线都可以用方程表示 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 D. 若点在直线上，点在圆上，，则的最小值为 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 13. 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 14. 已知动点与两定点，的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆：、点和点，为圆上的动点，则的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知向量，，． （1）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 16. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 17. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 18. 如图，在三棱台中，平面平面，，，． （1）证明：平面． （2）若平行四边形的顶点，，，分别在棱，，，上，证明：． （3）线段上是否存在点，使得二面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角． 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 故直线的倾斜角为． 故选：B． 2. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】构成空间一个基底的充要条件：三个向量不共面；若其中一个向量能表示为另外两个向量的线性组合，则三向量共面，不能作为基底. 【详解】已知、、是不共面的三个向量, 选项A：假设，整理得, 得，方程组无解，说明、、不共面，可以构成空间基底，A正确； 选项B：，可以由另外两个向量线性表示，三个向量共面，不能构成基底，B错误； 选项C：设，即，得，解得， 即，三向量共面，不能构成基底，C错误； 选项D：, 即，可以由另外两个向量线性表示，三向量共面，不能构成基底，D错误. 3. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】解析： 设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选:D. 【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题. 4. 两圆：和：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【详解】：，即， 圆的圆心坐标为，半径为1， ：，即， 圆的圆心坐标为，半径为3， ， 所以两圆和的位置关系是外切. 5. 已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直线与线段相交，求出直线过线段端点时的斜率即可得解. 【详解】由题意，点的轨迹为线段， 又直线过定点, 所以， 由题意，直线与线段相交， 所以或， 故选：C 6. 已知点，，，若点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算求出点的坐标，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】已知点，，， 设点，由，可得， 所以，，解得，即点， 所以，， 因此，. 故选：C. 7. 在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（ ） A. 两条平行线 B. 一个矩形 C. 一个菱形 D. 一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】去掉绝对值，即可判断图象形状. 【详解】当时，方程为； 当时，方程为； 当时，方程为； 当时，方程为， 因此原方程所表示的曲线是一个以，，，为顶点的菱形． 故选：C. 【点睛】本题考查直线方程截距式的理解，属于基础题. 8. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况,再用数形结合,先求出相切时的斜率,再得到有两个交点的情况. 【详解】将方程转化为:半圆与直线有两个不同交点. 当直线与半圆相切时,有，， 半圆与直线有两个不同交点时. 直线一定过, 由图象知直线过时直线的斜率k取最大值为1， . 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键是能够转化为特定的曲线，然后用数形结合求解. 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 不经过原点的直线都可以用方程表示 C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据斜率的定义，可得答案；对于B，根据截距式方程，结合反例，可得答案； 对于C，根据充分条件与必要条件的定义，结合垂直直线的性质，可得答案； 对于D，根据直线方程写出斜率，利用斜率与倾斜角的关系建立方程，可得答案. 【详解】对于A，当直线垂直于轴时，直线斜率不存在，故A错误； 对于B，当不经过原点的直线垂直于任意一条坐标轴时，其中一个不存在，故B错误； 对于C，由直线与直线互相垂直，则，解得或， 所以“直线与直线互相垂直”是“”的不充分条件； 当时，易知直线与直线互相垂直， 所以“直线与直线互相垂直”是“”的必要条件； 故C错误； 对于D，由，则其斜率为， 设其倾斜角为，则，解得，故D正确； 故选：ABC. 10. 已知圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 若点在圆上，则的最大值为 C. 若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 D. 若点在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C错误； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段上时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BD. 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算可判断A；计算平面的法向量为，根据点到平面的距离公式可判断B；确定截面为，计算面积可判断C；根据线面角的向量求法可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， ，，， 对A：，，故， 所以异面直线与BD所成角为，故A错误； 对B：设平面的法向量为，则， 取，则，，得到， 又，则点P到面的距离为，故B正确； 对C：如图所示，连接，则， 平面，平面，故平面，同理平面， ，平面，故平面平面， 故截面即为等边三角形，面积为，故C正确； 对D：设直线与面所成角为， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为， 因为在上的投影向量为：， 又因为，， 所以，， 所以， 所以在上的投影向量为：. 故答案为： 13. 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 所以 ， 故. 故答案为：. 14. 已知动点与两定点，的距离之比为（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆：、点和点，为圆上的动点，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用阿氏圆转化为，再借助三角形两边之差小于第三边求出最大值即可. 【详解】存在定点，使得对圆上任意点满足， 设，则，两边平方得 ，又，代入化简得 ，即，解得，即定点， ，当在延长线与圆的交点处时， 等号成立，，，. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 已知向量，，． （1）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】（1）实数和的值分别为和； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量坐标运算，列出方程求解即得. （2）利用共面向量定理，结合向量的坐标运算求解即得. 【小问1详解】 由，得，解得， 向量，，则， 由向量与垂直，得，则， 当时，有，矛盾；当时，有，解得， 所以实数和的值分别为和. 【小问2详解】 由向量与向量，共面，设， 则，即，解得， 所以实数的值为. 16. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 17. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. （1）当点的横坐标为2时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； （2）由题意可得，又，故求得的最小值即可. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； 【小问2详解】 为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积的最小值为. 18. 如图，在三棱台中，平面平面，，，． （1）证明：平面． （2）若平行四边形的顶点，，，分别在棱，，，上，证明：． （3）线段上是否存在点，使得二面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为，，所以，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过平面平面结合面面垂直性质可完成证明； （2）由可得平面，然后由线面平行性质可完成证明； （3）分别取，的中点，，连接，，，由题设可得，，，四点共面，然后假设存在符合题意的点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，由题设可证明即二面角的平面角，然后由题目数据可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 分别取，的中点，，连接，，． 因为，所以四边形为等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得． 因为平面平面，平面，所以平面． 根据棱台的性质可得，所以，，，四点共面． 假设存在符合题意的点，过点作，垂足为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． 因为，，所以，所以平面， 所以，所以即二面角的平面角． 由题意可得，，，，． 设，由，得，． 由.得． 若二面角为，则，解得， 则， 所以线段上存在点，且． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【小问1详解】 根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． 【小问2详解】 不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； 【小问3详解】 由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $