考点7 圆周运动的临界极值问题 重点考点解读 重点考点解读讲义 -2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

高中物理人教版必修二重点考点解读 考点7 圆周运动的临界极值问题 知识网络 考点解读 考点一　水平面内圆周运动的临界问题 1.运动特点 （1）运动轨迹是水平面内的圆. （2）合力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动. 2.临界问题分析 （1）如果只是摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力.静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 （3）与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是：物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等. 考点二　竖直面内圆周运动的临界问题 1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。 2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。 3.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m 临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= ①恰好过最高点，v=0，F弹=mg ②恰好无弹力，F弹=0，v= 过最高点的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 考点三　斜面上圆周运动的临界问题 1.特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等)，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2 .与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题.物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直于斜面的分力与斜面对物体的支持力相平衡，解决此类问题时，可以按以下操作（如图），把问题简化. 3 .物体在斜面上做圆周运动，根据受力情况的不同，可分为以下三类： （1）物体在静摩擦力作用下做圆周运动. （2）物体在绳的拉力作用下做圆周运动. （3）物体在杆的作用下做圆周运动. 4 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 物体在转动过程中，转动越快，越容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 能力素养提升 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 针对性训练 1. （2027安徽皖南八校联考）游乐园的飞椅项目可以简化成如图(a)所示的模型：长为的轻质连接杆，一端铰接在水平转轴上，另一端拴着一个质量为的座椅（可视为小球），座椅随转轴在竖直平面内以角速度匀速转动．工程师用传感器测出连接杆对座椅的拉力大小随时间变化的图像如图(b)，是拉力最小值，是拉力最大值，且．重力加速度为，则以下关系正确的是 A. B. C. D. 答案 BC　 解析 由图像可知小球运动周期为，所以角速度为，A 错误，B 正确； 图中和分别为最小值和最大值，由于，故最高点轻杆对小球提供拉力．小球运动到最高点时轻杆对小球作用力最小，运动到最低点时轻杆对小球作用力最大．最高点时，最低点时=，联立解得，C 正确，D 错误．故选 BC. 2 （2026河南联考）无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管.已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是（　C　） A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上 B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同 C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力 D.管状模型转动的角速度ω最大为 答案 C 解析　铁水做圆周运动，重力与弹力的合力提供向心力，没有离心力，A错误；模型最下部受到铁水的作用力最大，最上部受到铁水的作用力最小，B错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则由重力提供向心力，有mg＝mω2R，可得ω＝，故管状模型转动的角速度ω至少为，C正确，D错误. 3. （2027太原师院附中月考）如图所示，处于竖直平面内的光滑细金属圆环半径为，A、B、C、D 为圆环上的四个点， 水平、 竖直，A、D 间固定有光滑细直杆。质量为 的带孔小球 穿于杆上，与 相同的小球 穿在环上，并通过长为 的结实细绳固定在D 点。在圆环以 为轴转动时，若小球 位于 杆的中点，圆环转动的角速度为，则（　　） A. 圆环的角速度 B. 角速度 为零时细绳的弹力不为零 C. 当圆环的角速度由 增大少许时， 球将上升到 中点偏上一点与杆相对静止 D. 若 与 的距离为，细绳的弹力为 【答案】AD 【解析】 杆与水平方向夹角为45°，对小球 进行受力分析 代入数据解得 A 正确； 由题可知， 与竖直方向夹角为60°，对小球 进行受力分析 可得绳子弹力 B 错误； 当圆环的角速度由 增大少许时，小球 所需的向心力将增加少许，因此杆对小球的弹力也会增加少 许，此时弹力的竖直分量将大于重力，小球将上滑，随着上滑，小球 转动半径逐渐增加，所需向心力逐 渐增加，杆的支持力逐渐增加，小球 将继续上滑，最终会到达A 点，C 错误。 若 与 的距离为时，圆环的角速度为，对 可得转动的角速度 此时对 进行受力分析可知 解得 ，D 正确。 4.[2026湖南长沙校考]如图所示，水平圆盘上放置一个质量为m的小物块，物块通过长为L的轻绳连接到竖直转轴上的定点O，此时轻绳恰好伸直，与转轴成37°角.现使整个装置绕转轴缓慢加速转动（轻绳不会绕到转轴上），角速度ω从零开始缓慢增加，直到物块刚好要脱离圆盘.已知物块与圆盘间动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.则轻绳的弹力大小FT和物块受到的摩擦力大小Ff随ω2变化的图像正确的是 答案 AD 解析　ω较小时，绳子无弹力，静摩擦力提供向心力，有Ff＝mω2L sin 37°，当Ff达到最大静摩擦力时有mL sin 37°＝μmg，解得＝，此时FT＝0、Ff＝mg，即绳子刚好开始产生弹力，继续增大角速度，轻绳弹力增大，静摩擦力减小，最终物块刚好要脱离圆盘，此时摩擦力为0，有FT cos 37°＝mg、FT sin 37°＝mL sin 37°，解得＝，此时FT＝mg、Ff＝0，A、D正确，B、C错误. 5. (2026洛阳联考如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用轻绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r、RB＝2r，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢增大到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（　ABC　） A.此时绳子所受拉力为T＝3μmg B.此时圆盘的角速度为ω＝ C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆盘外 D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 答案 ABC 解析　A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，B的运动半径比A的大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，当圆盘转速增大到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆盘外，根据牛顿第二定律得T－μmg＝mrω2，T＋μmg＝2mrω2，解得T＝3μmg，ω＝，A、B、C正确；此时烧断绳子，A、B的最大静摩擦力都不足以提供向心力，A、B都将做离心运动，D错误. 6 如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的最小值是(　　) A.1 rad/s B. rad/s C. rad/s D.5 rad/s 答案　C 解析　对小物体受力分析如图所示，由牛顿第二定律有mgcos 60°＋FN＝mω2r，f＝mgsin 60°≤μFN，解得ω≥ rad/s，故A、B、D错误，C正确。 7 .如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(　　) A.小球受重力、支持力、拉力和向心力 B.当ω＝2.5 rad/s时，小球对锥体的压力为零 C.当ω＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D.当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 答案　C 解析　向心力是效果力，不能说小球受向心力，A错误；转速较小时，小球紧贴锥体，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mωlsin θ，解得ω0＝ rad/s，B错误，C正确；当ω＝2 rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D错误。 8. (2026·辽宁鞍山联考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，小球在A点最小速度为(　　) A.4 m/s B.2 m/s C.2 m/s D.2 m/s 答案　B 解析　由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿第二定律有mgsin 30°＝m，解得vmin＝2 m/s，故B正确。 9 .如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑圆轨道水平相切于O点。O点在水平地面上，可视为质点的小球从O点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点A，从A点飞出后落在圆轨道上的B点，不计空气阻力，g取10 m/s2，则B点与O点的高度差为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知小球刚好能通过半圆的最高点A，则有mg＝m，得vA＝。小球从A点做平抛运动，有x＝vAt，y＝gt2，又x2＋y2＝R2，代入解得t2＝，则B点与O点的高度差为hBO＝R－y＝，故A正确。 10 .(2026·江苏南通市检测)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用水平轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA=r，RB=2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，当圆盘转速缓慢加速到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是(　　) A.绳子的张力大小为FT=3μmg B.烧断绳子，物体A、B仍将随圆盘一块转动 C.圆盘的角速度为ω= D.A所受摩擦力方向沿绳背离圆心 答案　B 解析　两物体角速度相同，由F向=mω2r，可知B做圆周运动所需向心力比A大，当圆盘转速缓慢加速到两物体刚好还未发生滑动时，B有离心运动的趋势，A有近心运动的趋势。设此时绳子的张力大小为FT，圆盘的角速度为ω，分别对A、B应用牛顿第二定律有FT-μmg=mω2r，FT+μmg=mω2·2r，联立解得FT=3μmg，ω=，故A、C正确；此时A有近心运动的趋势，所受摩擦力方向沿绳背离圆心，故D正确；A、B以角速度ω=做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为FA=mω2r=2μmg，FB=mω2·2r=4μmg，若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，故B错误。 11 . (2026·四川自贡市检测)如图所示，一半径为r的倾斜匀质圆盘可绕垂直固定于圆盘圆心的转轴转动，盘面与水平面的夹角为θ。初始时圆盘静止，在圆盘上轻放与圆盘间动摩擦因数均为μ的物块a和物块b，放上后物块均能静止于圆盘上。让转轴角速度ω从0开始缓慢增大，关于此过程， 下列说法正确的是(　　) A.物块a在其圆周轨迹的最高点最容易与圆盘发生相对滑动 B.物块a在其圆周轨迹的最低点最容易与圆盘发生相对滑动 C.物块a先于物块b与圆盘发生相对滑动 D.物块b先于物块a与圆盘发生相对滑动 答案　BC 解析　物块在圆盘所在的平面内受两个力，分别为重力沿圆盘向下的分力mgsin θ、静摩擦力Ff，这两个力的合力提供向心力(大小为mω2r)，向心力始终指向圆心，垂直圆面向下看，静摩擦力Ff的变化情况如图所示，若ω不变，则向心力大小不变，故向心力的箭头端始终落在一个圆上，由图可知，当向心力向上时(即物体通过最低点时)，物体所受静摩擦力最大，故物块a在其圆周轨迹的最低点最容易与圆盘发生相对滑动，故A错误，B正确；假设物块通过最低点时恰好与圆盘发生相对滑动，设此时的角速度为ω0，有μmgcos θ-mgsin θ=mr，解得ω0=，故r越大，ω0越小，因物块a圆周运动的半径较大，故物块a对应的ω0较小，故物块a先于物块b与圆盘发生相对滑动，故C正确，D错误。 12 .(12分)(2026·湖北荆州市检测)如图，用一根长l=1 m的细线，一端系一质量m=1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。重力加速度g取10 m/s2，cos 37°=0.8，sin 37°=0.6，结果可用根式表示。 (1)(4分)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大； (2)(4分)若小球的角速度ω1= rad/s，则细线对小球的拉力FT1及锥面对小球的弹力FN1分别为多少； (3)(4分)若小球的角速度ω2=2 rad/s，求细线对小球的拉力FT2的大小。 答案　(1) rad/s　(2)11.6 N　1.2 N　(3)20 N 解析　(1)小球刚要离开锥面时，锥面对小球支持力FN=0，此时重力和细线拉力的合力提供向心力。 由牛顿第二定律mgtan θ=mlsin θ 解得ω0= rad/s (2)因为ω1= rad/s<ω0，小球未离开锥面，对小球受力分析，受重力mg、拉力FT1、支持力FN1，水平方向FT1sin θ-FN1cos θ=mlsin θ 竖直方向FT1cos θ+FN1sin θ=mg 代入数据联立解得FT1=11.6 N，FN1=1.2 N (3)因为ω2=2 rad/s>ω0，小球已离开锥面，设细线与竖直方向夹角为α，此时只有重力和拉力提供向心力，mgtan α=mlsin α 化简得cos α= 则拉力FT2==20 N。 13.(14分)(2026·辽宁鞍山市检测)如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.9 m，A端切线水平。水平轨道BC与半径r=0.5 m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ=37°。一质量为M=1 kg的小球(视为质点)从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)(4分)若小球恰好能从A点飞出，求小球落地点与B点的水平距离； (2)(5分)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求小球在A点对圆弧轨道的压力大小； (3)(5分)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求小球在C点受到的支持力的大小。 答案　(1)1.8 m　(2) N　(3)208 N 解析　(1)小球恰好能从A点飞出，设此时速度为v1，对在A点的小球受力分析，只受重力， 根据牛顿第二定律得Mg=M 又小球落地时间t满足2R=gt2 水平位移x=v1t 联立解得x=1.8 m (2)将小球在C处的速度分解，在竖直方向上有=2g×2R 在水平方向上有v0= 联立并代入数据得v0=8 m/s 对小球在A处受力分析，由牛顿第二定律得FA'+Mg=M 解得FA'= N 根据牛顿第三定律知，小球在A点对圆弧轨道受到的压力大小FA= N (3)小球在C处速度vC==10 m/s 其受力分析如图所示 由牛顿第二定律得FC-Mgcos θ=M 解得FC=208 N。 14.（16分）（2027安徽皖南八校联考）如图所示，内壁光滑的漏斗形容器，轴线竖直，顶角为．上端开口半径为，在其圆心处用长度也为的轻质细线悬挂着一个可视为质点的小球．现给小球一个水平初速度，使其在水平面内做匀速圆周运动，已知重力加速度为，求： （1）要使小球不与漏斗内壁接触，小球的线速度不能超过多大？ （2）要使细线的拉力为零，小球的线速度应满足什么条件？ 解析：（1）小球恰好接触内壁但对内壁无作用力时，对小球受力分析如图 1. 由向心力方程得　（4 分） 解得　（1 分） 即　（1 分） （2）若小球已经挤压内壁使细线的拉力恰好为零，对小球受力分析如图 2. 由向心力方程得　（3 分） 解得　（1 分） 随着小球线速度增大，其实际受到的向心力大小保持不变，但其圆周运动半径会变大，因此小球的运动轨迹会逐渐上移．当小球运动轨迹移到上端开口处，细线恰好变直但拉力仍为零时，对小球受力分析如图 3 由向心力方程得　（3 分） 解得　（1 分） 所以，要使细线的拉力为零，小球的速度应满足 　（2 分） 15. 如图所示，餐桌中心是一个半径r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数μ2＝0.225，餐桌离地高度h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。 (1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？ (2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，餐桌半径R的最小值为多大？ (3)若餐桌半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？ 答案　(1)2 rad/s　(2)2.5 m　(3)2.1 m 解析　(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大，当静摩擦力最大时，小物体即将离开圆盘，此时圆盘的角速度达到最大，有 fm＝μ1mg＝mω2r 解得ω＝2 rad/s。 (2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，有a＝ 又f＝μ2mg 解得a＝μ2g＝2.25 m/s2 物体在餐桌上滑动的初速度v0＝ωr＝3 m/s 由运动学公式0－v＝－2as可得s＝2 m 由几何关系可得餐桌半径的最小值 R＝＝2.5 m。 (3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v 由题意可得v2－v＝－2as′ 由于餐桌半径R′＝r，所以s′＝r＝1.5 m 解得v＝1.5 m/s 设物体做平抛运动的时间为t，则h＝gt2 解得t＝＝0.4 s 物体做平抛运动的水平位移s＝vt＝0.6 m 所以，水平距离L＝s′＋s＝2.1 m。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版必修二重点考点解读 考点7 圆周运动的临界极值问题 知识网络 考点解读 考点一　水平面内圆周运动的临界问题 1.运动特点 （1）运动轨迹是水平面内的圆. （2）合力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动. 2.临界问题分析 （1）如果只是摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力.静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 （3）与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是：物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等. 考点二　竖直面内圆周运动的临界问题 1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。 2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。 3.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m 临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= ①恰好过最高点，v=0，F弹=mg ②恰好无弹力，F弹=0，v= 过最高点的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 考点三　斜面上圆周运动的临界问题 1.特点：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同(摩擦力控制、绳控制、杆控制等)，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 2 .与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题.物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直于斜面的分力与斜面对物体的支持力相平衡，解决此类问题时，可以按以下操作（如图），把问题简化. 3 .物体在斜面上做圆周运动，根据受力情况的不同，可分为以下三类： （1）物体在静摩擦力作用下做圆周运动. （2）物体在绳的拉力作用下做圆周运动. （3）物体在杆的作用下做圆周运动. 4 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 物体在转动过程中，转动越快，越容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 能力素养提升 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 针对性训练 1. （2027安徽皖南八校联考）游乐园的飞椅项目可以简化成如图(a)所示的模型：长为的轻质连接杆，一端铰接在水平转轴上，另一端拴着一个质量为的座椅（可视为小球），座椅随转轴在竖直平面内以角速度匀速转动．工程师用传感器测出连接杆对座椅的拉力大小随时间变化的图像如图(b)，是拉力最小值，是拉力最大值，且．重力加速度为，则以下关系正确的是 A. B. C. D. 2 （2026河南联考）无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管.已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是（　　） A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上 B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同 C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力 D.管状模型转动的角速度ω最大为 3. （2027太原师院附中月考）如图所示，处于竖直平面内的光滑细金属圆环半径为，A、B、C、D 为圆环上的四个点， 水平、 竖直，A、D 间固定有光滑细直杆。质量为 的带孔小球 穿于杆上，与 相同的小球 穿在环上，并通过长为 的结实细绳固定在D 点。在圆环以 为轴转动时，若小球 位于 杆的中点，圆环转动的角速度为，则（　　） A. 圆环的角速度 B. 角速度 为零时细绳的弹力不为零 C. 当圆环的角速度由 增大少许时， 球将上升到 中点偏上一点与杆相对静止 D. 若 与 的距离为，细绳的弹力为 4.[2026湖南长沙校考]如图所示，水平圆盘上放置一个质量为m的小物块，物块通过长为L的轻绳连接到竖直转轴上的定点O，此时轻绳恰好伸直，与转轴成37°角.现使整个装置绕转轴缓慢加速转动（轻绳不会绕到转轴上），角速度ω从零开始缓慢增加，直到物块刚好要脱离圆盘.已知物块与圆盘间动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.则轻绳的弹力大小FT和物块受到的摩擦力大小Ff随ω2变化的图像正确的是 5. (2026洛阳联考如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用轻绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r、RB＝2r，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢增大到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（　　） A.此时绳子所受拉力为T＝3μmg B.此时圆盘的角速度为ω＝ C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆盘外 D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动 6 如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的最小值是(　　) A.1 rad/s B. rad/s C. rad/s D.5 rad/s 7 .如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(　　) A.小球受重力、支持力、拉力和向心力 B.当ω＝2.5 rad/s时，小球对锥体的压力为零 C.当ω＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D.当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 8. (2026·辽宁鞍山联考)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，小球在A点最小速度为(　　) A.4 m/s B.2 m/s C.2 m/s D.2 m/s 9 .如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑圆轨道水平相切于O点。O点在水平地面上，可视为质点的小球从O点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点A，从A点飞出后落在圆轨道上的B点，不计空气阻力，g取10 m/s2，则B点与O点的高度差为(　　) A. B. C. D. 10 .(2026·江苏南通市检测)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用水平轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA=r，RB=2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，当圆盘转速缓慢加速到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是(　　) A.绳子的张力大小为FT=3μmg B.烧断绳子，物体A、B仍将随圆盘一块转动 C.圆盘的角速度为ω= D.A所受摩擦力方向沿绳背离圆心 11 . (2026·四川自贡市检测)如图所示，一半径为r的倾斜匀质圆盘可绕垂直固定于圆盘圆心的转轴转动，盘面与水平面的夹角为θ。初始时圆盘静止，在圆盘上轻放与圆盘间动摩擦因数均为μ的物块a和物块b，放上后物块均能静止于圆盘上。让转轴角速度ω从0开始缓慢增大，关于此过程， 下列说法正确的是(　　) A.物块a在其圆周轨迹的最高点最容易与圆盘发生相对滑动 B.物块a在其圆周轨迹的最低点最容易与圆盘发生相对滑动 C.物块a先于物块b与圆盘发生相对滑动 D.物块b先于物块a与圆盘发生相对滑动 12 .(12分)(2026·湖北荆州市检测)如图，用一根长l=1 m的细线，一端系一质量m=1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。重力加速度g取10 m/s2，cos 37°=0.8，sin 37°=0.6，结果可用根式表示。 (1)(4分)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大； (2)(4分)若小球的角速度ω1= rad/s，则细线对小球的拉力FT1及锥面对小球的弹力FN1分别为多少； (3)(4分)若小球的角速度ω2=2 rad/s，求细线对小球的拉力FT2的大小。 13.(14分)(2026·辽宁鞍山市检测)如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R=0.9 m，A端切线水平。水平轨道BC与半径r=0.5 m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角θ=37°。一质量为M=1 kg的小球(视为质点)从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)(4分)若小球恰好能从A点飞出，求小球落地点与B点的水平距离； (2)(5分)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求小球在A点对圆弧轨道的压力大小； (3)(5分)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求小球在C点受到的支持力的大小。 14.（16分）（2027安徽皖南八校联考）如图所示，内壁光滑的漏斗形容器，轴线竖直，顶角为．上端开口半径为，在其圆心处用长度也为的轻质细线悬挂着一个可视为质点的小球．现给小球一个水平初速度，使其在水平面内做匀速圆周运动，已知重力加速度为，求： （1）要使小球不与漏斗内壁接触，小球的线速度不能超过多大？ （2）要使细线的拉力为零，小球的线速度应满足什么条件？ 15. 如图所示，餐桌中心是一个半径r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数μ2＝0.225，餐桌离地高度h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。 (1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？ (2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，餐桌半径R的最小值为多大？ (3)若餐桌半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $