30.3正多边形与圆 同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

第2课时　正多边形的画法 课后·知能演练 基础巩固 1.请你用等分圆周的方法画出下面的图案. 能力提升 2.如图,已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务: (1)作☉O的内接正六边形ABCDEF; (2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加以证明. 思维拓展 3.如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题: 作法如图2. ①作直径AF. ②以F为圆心,FO的长为半径作圆弧,与☉O交于点M,N. ③连接AM,MN,NA. (1)求∠ABC的度数; (2)△AMN是正三角形吗?请说明理由; (3)从点A开始,以DN的长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些点,得到正n边形,求n的值. 图1 图2 参考答案 1.解:先把圆周六等分,连接各等分点以及各等分点和圆心,再在各个小三角形内作内角平分线,最后涂色即可得到此图案. 2.解:(1)略 (2)四边形BCEF是矩形. 证明:如图,连接OE,AD. ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴AB=AF=DE=DC=FE=BC, ∴, ∴,∴BF=CE, ∴四边形BCEF是平行四边形. ∵六边形ABCDEF为正六边形, ∴∠EDC=∠FED=120°. ∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°, ∴∠CEF=∠DEF-∠CED=90°, ∴四边形BCEF是矩形. 3.解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形, ∴∠ABC==108°,即∠ABC=108°. (2)△AMN是正三角形.理由:如图,连接ON,NF,由题意可得FN=ON=OF, ∴△FON是等边三角形, ∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°, 同理可得∠ANM=60°, ∴∠MAN=60°, ∴△MAN是正三角形. (3)连接OD. ∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°. ∵∠AOD=×2=144°, ∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°. ∵360°÷24°=15,∴n的值是15. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1课时　正多边形的相关概念及计算 课后·知能演练 基础巩固 1.以下图形中,是正多边形的是(　　). A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 2.给出下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各边相等的圆外切多边形是正多边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各角相等的圆外切多边形是正多边形.其中正确的是(　　). A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 3.如果一个正多边形的中心角等于72°,那么这个多边形是(　　). A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 4.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,CP与☉O相切于点C,则∠BCP的度数为(　　). A.120° B.108° C.144° D.162° 5.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入,发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面内,且所有碳碳键的键长都相等(如图1),组成了一个完美的六边形(正六边形),其平面示意图如图2所示,则∠1的度数为(　　). 图1 图2 A.130° B.120° C.110° D.60° 6.如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=2 cm,则边长a为___________cm.  7.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM. (1)求证:△MBC是等腰三角形; (2)若AB=2,求点M到BC的距离. 能力提升 8.如图,在正五边形ABCDE中,作AF⊥CD于点F,连接BE与AF交于点G.下列结论中,错误的是 (　　). A.∠1=∠2 B.∠4=2∠3 C.AF⊥BE D.BG=CD 9.如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O,且有公共顶点A,则∠BOH的度数为____________.  10.如图,正六边形ABCDEF的顶点A,F分别在正方形BMGH的边BH,GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为____________.  11.如图,A,B,C,D,E,F是正n边形的六个连续顶点,AE与CF交于点G,若∠EGF=30°,则n=____________.  思维拓展 12.如图,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE……正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON. (1)求图1中∠MON的度数; (2)图2中∠MON的度数是____________,图3中∠MON的度数是____________;  (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.(直接写出答案) 参考答案 1.D　2.A　3.C　4.C　5.B　6.2 7.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CD,∴. ∵M为的中点, ∴,∴, ∴BM=CM,∴△MBC是等腰三角形. (2)解:如图,连接OB,OC,连接MO并延长交BC于点F. ∵BM=CM,OB=OC, ∴MF是线段BC的垂直平分线. ∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=AB=2,∠BOC=90°. ∵OB=OC, ∴BC=OB,OF=BC, ∴2=OB,则OB=, ∴OF=BC=1,∴OM=OB=OC=, ∴MF=OM+OF=+1, 即点M到BC的距离为+1. 8.D　解析:∵五边形ABCDE是正五边形, ∴AB=AE=BC=CD=DE,∠ABC=∠BAE=∠AED=108°, ∴∠ABE=∠AEB==36°,即∠3=36°, ∴∠4=108°-∠3=72°, ∴∠4=2∠3,因此B不符合题意; ∵∠4=72°,∠D=108°, ∴∠4+∠D=180°,∴BE∥CD. ∵AF⊥CD, ∴AF⊥BE,因此C不符合题意; ∵AB=AE,AF⊥BE, ∴∠1=∠2,因此A不符合题意; 在Rt△ABG中,∠ABG=36°,∠1=54°,∠AGB=90°,∴BG≠AB,即BG≠CD, 因此D符合题意.故选D. 9.12° 10.4　解析:设AF=x,则AB=x,AH=6-x. ∵六边形ABCDEF是正六边形, ∴∠BAF=120°,∴∠HAF=60°. ∵∠AHF=90°, ∴∠AFH=30°, ∴AF=2AH, ∴x=2(6-x),解得x=4, ∴AB=4,即正六边形ABCDEF的边长为4. 11.18　解析:如图,连接CE.正n边形的中心角的度数为, 则∠ECF=,∠AEC=. ∵∠EGF=30°,∴∠ECF+∠AEC=30°, ∴=30°,解得n=18. 12.解:(1)如图,连接OB,OC. ∵△ABC为正三角形, ∴∠ABC=60°,∠BOC=120°. ∵OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB=30°, ∴∠OBM=60°-30°=30°, ∴∠OBM=∠OCN. ∵BM=CN,OB=OC, ∴△OMB≌△ONC,∴∠BOM=∠CON, ∴∠MON=∠BOC=120°. (2)90°　72° (3)∠MON=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $