30.3 正多边形与圆 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 ▌课时目标 1. 理解正多边形与圆的关系，掌握中心、半径、边心距、中心角等概念。 2. 掌握正三角形、正方形、正六边形基本量的计算方法，会进行边长、周长、面积的计算。 3. 会用等分圆周的方法尺规作圆内接正多边形，体会正多边形与圆的对称性并应用于实际问题。 ▌课时目录 知识点01：正多边形与圆的关系 知识点02：正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念 知识点03：正多边形的基本量计算（中心角、边长、边心距、周长、面积） 知识点04：正三角形、正方形、正六边形与半径的关系 知识点05：用尺规作圆内接正多边形（等分圆周） 知识点06：正多边形与圆的对称性 知识点07：正多边形与圆在图案设计与实际问题中的应用 ▌知识点01：正多边形与圆的关系 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。 把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 因此正多边形的问题常转化为圆的问题，利用等分圆周的弧、圆心角来研究。 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接圆心与正方形相邻顶点，得到等腰直角三角形，利用圆半径和勾股定理求出正方形边长；再借助三角形面积的两种表达形式，通过等面积法，求出边心距． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则为边心距， ∵正方形内接于，的半径为， ∴，， 在中， ， ∵， ∴ 解得． 2．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 4．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 【答案】 【分析】连接、、、、、、、，从而计算出各段弧所对应的圆心角，再结合弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， ∵正五边形和正方形内接于， ∴，， ∴，，，，，， ∴最长劣弧所对的圆心角为， 则最长劣弧的弧长为． ▌知识点02：正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念 中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心。 半径R：外接圆的半径，即中心到各顶点的距离。 边心距r：内切圆的半径，即中心到各边的距离（垂线段长）。 中心角：正多边形每一边所对的外接圆圆心角，正n边形的每个中心角等于。 易错提醒：半径R与边心距r是两个不同的量，不要混用符号。 5．（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】 36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 6．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 7．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 8．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； ▌知识点03：正多边形的基本量计算（中心角、边长、边心距、周长、面积） 中心角：；每个内角：，也可由求得。 基本直角三角形：半径R、边心距r、半边长构成直角三角形，满足，其中半边所对的中心角的一半为。 周长＝na；面积＝n个小三角形面积之和＝×周长×边心距。 已知R、r、a中任一个，结合勾股定理可求其余量。 9．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 10．（2026·河北沧州·三模）如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再利用30°直角的三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 11．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，将一个正n边形绕其中心O旋转或都能与其自身重合，则n的值可以是______．（写出一个符合题意的值即可） 【答案】 12 【分析】根据正边形的性质，其最小旋转角为中心角，若图形绕中心旋转一定角度能与自身重合，则该角度必为最小旋转角的整数倍，据此分别求出满足的条件，取公倍数即可； 【详解】解：正边形的中心角为， ∵正边形绕其中心旋转能与自身重合， ∴是的整数倍， 即存在正整数，使得，解得，即是的倍数， ∵正边形绕其中心旋转能与自身重合， ∴是的整数倍，即存在正整数，使得，解得，即是的倍数； 综上所述，既是的倍数又是的倍数，即是的倍数， 所以的值可以是（或，等）． 12．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． ▌知识点04：正三角形、正方形、正六边形与半径的关系 设外接圆半径为R。 正三角形：边长a＝R，边心距r＝R，面积S＝R²。 正方形：边长a＝R，边心距r＝R，面积S＝2R²。 正六边形：边长a＝R，边心距r＝R，面积S＝R²。 记忆要点：正六边形边长等于半径，这使它最易作图与计算。 13．（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 14．（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 【答案】 【分析】利用正六边形的性质得出是等边三角形，得出，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 15．（2026·江苏盐城·三模）如图，将两个全等的边长为的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】连接、、、，根据正六边形的性质可知和是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、， 根据正六边形的性质可知，和是等边三角形， ， 是的垂直平分线， ，， ， 同理可得：， ． 16．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． ▌知识点05：用尺规作圆内接正多边形（等分圆周） 基本思想：用量角器或计算把360°等分，或直接用尺规等分圆周，再顺次连接分点。 正六边形：以半径长在圆周上依次截取，恰六等分圆周。 正方形：作两条互相垂直的直径，四等分圆周；正八边形在此基础上再作角平分线。 正三角形：在正六边形分点中隔点相连。 可尺规作出的常见正多边形：3、4、6、8、12边形等。 17．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． (1)请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； (2)若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． 【答案】(1)所求图形如下： (2) 【分析】（1）根据正八边形的性质即可求解； （2）连接，得到等腰直角三角形，求出即可求出，根据正八边形的性质，可得，从而求出，再根据，可以求出，最后即可求出，进而求出． 【详解】（1）略． （2）解：连接， 是正方形对角线的交点 在正八边形中，， 同理 ． 18．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．在一次数学活动课上，老师给出正方形（如图1），让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正八边形． 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： 甲组方案 乙组方案 ①确定正方形的中心； ②分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与各边相交于点，，，，，，，； ③顺次连接点，，，，，，，，得八边形（如图2） ①连接、交于点； ②作的平分线交于点，延长交于点； ③作的平分线交于点，延长交于点； ④以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，，，于点，，，； ⑤顺次连接点，，，，，，，，得八边形 (1)请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图． (2)【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么称这个菱形是该矩形的内接菱形．如图3，在矩形中，是边上的一点．用直尺和圆规作矩形的内接菱形，使点，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提示画图即可； （2）连接、交于点，连接并延长交于点G，作的垂直平分线，分别交，于点H，F，顺次连接，，，，则四边形是菱形；根据矩形的性质可得，根据作图可得可得四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 19．（2026·山西长治·三模）阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 20．（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】解：略 ▌知识点06：正多边形与圆的对称性 正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时还是中心对称图形，对称中心即其中心。 正n边形绕中心旋转的整数倍后与自身重合，即具有旋转对称性。 圆既是轴对称图形（任意直径所在直线都是对称轴）又是中心对称图形。 应用：利用对称性可说明对应线段、对应角相等，简化计算与证明。 21．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 22．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 23．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】/ 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答； 【详解】解：∵正六边形的边长为1， ∴，, ∴． 24．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设含的直角三角形中所对直角边长为，则另一个直角边，， ∴，且， ∴是等边三角形，则， 同理，， 是等边三角形，， ∴， ∴大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为 ． ▌知识点07：正多边形与圆在图案设计与实际问题中的应用 图案设计：利用正多边形的旋转对称与轴对称，可构造匀称、美观的几何图案，如正六边形密铺（蜂窝结构）。 实际问题：螺母（正六边形）、地砖拼铺、圆桌中的正多边形桌面等，常求用料面积或空隙面积。 解题思路：把实物抽象为正多边形与圆的组合图形，面积差问题转化为“圆面积－正多边形面积”或反之。 注意计算时保留π或根号，按题目要求取近似值。 25．（2026·河南平顶山·三模）风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】(1)扇叶最外端P与地面的距离为 (2)点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 26．（24-25九年级上·浙江金华·期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点． (1)点位于点的北偏东___________的方向上． (2)求的长． (3)连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要正多边形和圆、勾股定理、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据正八边形每条边所对的弧都是，再利用圆周角是圆心角得一半即可得解； （2）连接，易证； （3）构造直角三角形求出，连接，过G作交于点M，易得，再利用勾股定理求出进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵八个方位将圆形八等分， ∴， ∴ ∴，即点P位于点D的北偏东； （2）解：连接，则为直径， ∴， 由（1）知 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，连接，过G作交于点M， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵ ∴，即． 27．（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． (1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． (2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． (3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 【答案】(1) (2) 不能，理由：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． (3)．取得最小值 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）略 （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 28．（2026·山西晋中·二模）下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 已知：如图2，正方形． 求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点． 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为_°； ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得_°，_°． 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接，相交于点； ②作的角平分线交于点； 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为_，_，_，于是得到了新的作图方案． 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为_°； ②=_°，=_°； ③设正八边形的边长为，则正方形的边长为_，_，_；（用含的代数式表示） (2)在图2正方形的边上作出正八边形的边． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)①；②，；③，， (2)如图所示，边即为所求． 【分析】（）①根据正多边形单个内角度数公式，进而得出正八边形的内角度数． ②根据题意得出，，，，作出辅助线得出，，从而得出． ③利用②的结论得出，，进而得出，再得出，进而得出，进而得出，，再利用勾股定理得出． （）利用（）得出的画图． 【详解】（1）①∵正边形单个内角度数公式为：（其中）， ∴代入可得，正八边形每个内角为． ②∵正方形和正八边形的中心重合为点， ∴，， ，． 如图，过点作于 ∴， ， ∴． ③由②知，，，． ∴，， ∴， ∴， ∵八边形是正八边形，内角为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴正方形的边长为， ∵（勾股定理）， ∴， ∴， ∴． 综上，正方形的边长为，． （2）利用（）得出的画图． 如图，连接，相交于点．以点为圆心，为半径画弧交于点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，则为正八边形的边． 【点睛】本题考查正多边形内角与中心角公式、正方形几何性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、尺规作图原理等知识点；解题用到数形结合、中心对称思想，关键是依托共中心的图形关系推导边角等量、利用等腰直角三角形边长比例代换线段． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·河南周口·二模）我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用正六边形中心角的特点，结合等边三角形的判定，即可得到边长与外接圆半径的关系． 【详解】解：如图所示， ∴ 正六边形的中心角为 ，， ∴是等边三角形， ∴ 正六边形的边长等于外接圆半径， ∵ 外接圆半径为， ∴ 正六边形的边长为． 2．（2026·广东广州·二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 3．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 4．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3， ∴正方形边长为6， 根据勾股定理，正方形对角线长度为： ， ∴正方形的外接圆半径为：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键． 二、填空题 5．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 6．（2026·河北邯郸·一模）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 【答案】12 【分析】先求出的度数，即可得出的值． 【详解】解：如图，标注顶点，连接， ∴由正六边形与正方形的性质可得，， ∴， ∵恰好等于一个正n边形的一个外角， ∴． 7．（2026·陕西咸阳·二模）如图，正方形为的内接四边形．若点E是上的任一点，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】连接，，由正方形的性质得出，然后由圆周角定理得出． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形为的内接四边形．点E是上的任一点，且， ∴． 8．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在正六边形中，，将一个含的直角三角板的直角放入正六边形内，保证点B，D同时在三角板的边，上，转动三角板，连接FH，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】利用正六边形性质，得出对顶连线为外接圆直径，求出；作，由等腰三角形三线合一得是中点，结合轴对称确定在上；由，判定点在以为直径的圆弧上，为圆心；借助角度关系和勾股定理，求出、圆半径及线段的长；根据共线时线段最短，算出的最小值． 【详解】解：六边形是正六边形，边长为， ，正六边形外接圆半径等于边长， 是正六边形一组对顶点， 为外接圆直径， ， 过点作，垂足为， ， 是中点， 正六边形关于直线对称， 点在上， ， 点在以为直径的圆弧上， 点为该圆弧所在圆的圆心， ，， 平分， ，， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 点在圆弧上， 当F、H、O三点共线时，最短， ∴线段的最小值为． 三、解答题 9．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1) 是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 10．（2025·山西长治·三模）阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务． 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中外比，按此比例设计出的图案十分美丽． 如图1，是线段的黄金分割点，或就是黄金比，其比值为．   黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种：①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为；②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为，顶角为． 任务： (1)如图2，在中，，．用尺规在边上求作一点，连接，使为黄金三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）    (2)如图3，在的内接正十边形中，是正十边形的一条边，平分．若，求的长．      【答案】(1) 如图所示，作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；    (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，黄金分割，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于P，连接，则即为所求；由等边对等角可得，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，则可得到； （2）求出，由角平分线的定义可得，则，则可证明和是黄金三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的两个底角为，顶角为 ∴为黄金三角形； （2）∵正十边形的中心角，， ． ∵平分， ， ∴． 和是黄金三角形． ，． ， ． ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第三十章直线与圆的位置关系 30.3正多边形与圆 课时目标 理解正多边形与圆的关系，掌握中心、半径、边心距、中心角等概念。 2. 掌握正三角形、正方形、正六边形基本量的计算方法，会进行边长、周长、面积的计 算。 3. 会用等分圆周的方法尺规作圆内接正多边形，体会正多边形与圆的对称性并应用于实 际问题。 课时目录 知识点01：正多边形与圆的关系 知识点02：正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念 知识点03：正多边形的基本量计算（中心角、边长、边心距、周长、面积） 知识点04：正三角形、正方形、正六边形与半径的关系 知识点05：用尺规作圆内接正多边形（等分圆周) 知识点06：正多边形与圆的对称性 知识点07：正多边形与圆在图案设计与实际问题中的应用 1/19 知识点01：正多边形与圆的送系 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。 把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 因此正多边形的问题常转化为圆的问题，利用等分圆周的弧、圆心角来研究。 1.(25-26九年级上·福建福州阶段检测)正方形ABCD内接于⊙0，若⊙0的半径为V2,则该正方形边 心距的长是() A.1 B.2 C② D.2V2 2（②627九年级上浙红宁装阶受松测)如图。正五边形C0内接于O0,点P是孤 ⊙0 的中点，连接 BF,BD BF AE 交1 于点G,则<BGE 度数为() A.108° B.117° C.126° D.144° 。（2627九年级上清江杭州阶段检测)如网，正五边形15C06肉核于O0.点'在 ⊙0 ∠CPE 上，则 的度数为() B O D A.50° B.60° C.64° D.72° 4.(25-26九年级下·河北衡水·阶段检测)新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧.如图，已知⊙0的半径 2/19 为2，正五边形ABCDE和正方形EFGH内接于⊙O,在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧 长为 E 知识点02：正多边形的中心半径、边心距。中心角的概念 中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心。 半径R:外接圆的半径，即中心到各项点的距离。 边心距r:内切圆的半径，即中心到各边的距离（垂线段长）。 360° 中心角：正多边形每一边所对的外接圆圆心角，正边形的每个中心角等于n。 易错提醒：半径R与边心距r是两个不同的量，不要混用符号。 5.(2026山东青岛中考真题）》如图，点0是正五边形1BCDE DFOE EFOD OF 的中心， ，连接 则∠OFD的度数为 B 6.(2026黑龙江绥化中考真题)如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个正六边 形地基的面积是 m(计算结果保留根号)· 3/19 7.(25-26七年级下·江苏苏州期末)拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名，天泉 亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O 按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为 8.(2026山西长治三模)如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNQP的顶点恰 好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC与BD相交于点O,正 八边形的另外四个顶点H,L,J,K分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI分别交PM和QN于点 AB E,F,则EF的值为 D B 知识点03：正多边形的基本量计算（中心鱼。边长边心距周长、面积） 360° 80°、360° 中心角：n;每个内角： (n-2)180 n,也可由 n求得。 4/19 a 基本直角三角形：半径R、边心距八、半边长2构成直角三角形，满足 =+2 其 180° 中半边所对的中心角的一半为n。 周长=a;面积=n个小三角形面积之和=2×周长×边心距。 己知R、ra中任一个，结合勾股定理可求其余量。 9.(2026辽宁盘锦模拟预测)若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度 可以是() A.36° B.72° C.90° D.180° 10.(2026河北沧州三模)如图，用单位长度为lcm的数轴测量正十二边形的对角线CD的长时，顶点C, D恰好分别与数轴上的-1和2对齐，则对角线AB的长为() B A.22cm B.2V3cm C.3em D.6cm 11.(2026陕西咸阳·模拟预测)如图，将一个正边形绕其中心O旋转60°或90°都能与其自身重合，则 的值可以是一·（写出一个符合题意的值即可） 0 12.(25-26八年级下·甘肃张掖阶段检测)如图，多边形ABCDEFGH是正八边形，点M是DE延长线上 一点，连接AE,则∠AEM的度数为 5/19 M 知识点04：正三鱼形、正方形正六边形与半径的送系 设外接圆半径为R。 3V5 正三角形：边长a=V3R,边心距r=2R,面积S=4R。 √2 正方形：边长a=V2R,边心距=2R,面积S=2R。 √3 35 正六边形：边长a=R,边心距r=2R,面积S=2。 记忆要点：正六边形边长等于半径，这使它最易作图与计算。 13.(2026辽宁沈阳·二模)下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心0旋转90°后，能与原 图形完全重合的是() B 0 C D 0 14.(2026宁夏银川二模)如图，边长为 2v3cm 的正六边形螺帽，中心为点0,0以重直平分边CD, ,垂 足为B,AB=15cm,用扳手拧动螺帽旋转l20°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm 15.(2026江苏盐城三模)如图，将两个全等的边长为4的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为 6/19 0.0:,连接 0,02 、 0,则00的长为 02 16.(2026:陕西咸阳·二模)如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接OD、OF,则∠DOF的 度数为 A 知识点05：用尺规作圆内接正多边形（等分圆周） 基本思想：用量角器或计算把360°等分，或直接用尺规等分圆周，再顺次连接分点。 正六边形：以半径长在圆周上依次截取，恰六等分圆周。 正方形：作两条互相垂直的直径，四等分圆周；正八边形在此基础上再作角平分线。 正三角形：在正六边形分点中隔点相连。 可尺规作出的常见正多边形：3、4、6、8、12边形等。 17.(26-27九年级上福建三明阶段检测)如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有 四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形， 已知，点O为正方形ABCD的对角线交点，正八边形EFGHMNK.J内嵌于正方形ABCD,点E,M分 别在AD,BC上，且EM过点O. M 图1 图2 (I)请你在图(I)中补全正八边形EFGHMNK.J(画图工具不限)； 7/19 (2)若改变正八边形EFGHMNKJ的大小和位置，使得正八边形EFGHMNKJ的所有顶点都恰好落在正 方形ABCD边上，如图(2)所示，若此时AE=2,求A0的长. 18.(26-27九年级上：广东深圳开学考试)【问题背景】如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正 八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形.在一 次数学活动课上，老师给出正方形ABCD(如图1)，让同学们分组讨论用尺规作内嵌于正方形的正 八边形 【问题解决】甲、乙两个小组给出了各自的尺规作图方案： D 图1 图2 图3 甲组方案 乙组方案 ①连接AC、BD交于点O: ②作∠AOD的平分线交AD于点E,延 ①确定正方形ABCD的中心O: 长EO交BC于点I: ②分别以点A,B,C,D为圆心，AO的 ③作∠AOB的平分线交AB于点G,延长 长为半径画弧，与各边相交于点E,H,G GO交CD于点K; J,I,L,K,F; ④以点O为圆心，OE的长为半径画弧， ③顺次连接点E,F,G,H,I,J,K 分别交OA,OB,OC,OD于点F, ,L,得八边形EFGHIJKL(如图2) H,J,L; ⑤顺次连接点E,F,G,H,I,J K,L,得八边形EFGHIJKL (1)请根据乙组的方案在图1中按步骤完成尺规作图. (②)【课后思考】如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上（不与矩形的顶点重合），那么 称这个菱形是该矩形的内接菱形.如图3，在矩形ABCD中，E是边AB上的一点.用直尺和圆规作 矩形ABCD的内接菱形EFGH,使点F,G,H分别在BC,CD,DA上.（保留作图痕迹，不写 画法) 19 ,(2026山西长治三模)阅读与思考 尺规作图 把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅.五种基本尺规作图，是构建万 8/19 千图形的“钥匙”.不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几 何图案， 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案.如果一个正方形里面嵌 套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称 这个正八边形内嵌于这个正方形.你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形 吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个 图1 图2 角度回顾正八边形的性质， (1)整体特征：具有轴对称性和旋转对称性， (2)元素特征：各边相等，各角相等且都等于135° 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接AC,EG,EF,FG,发 现的结论如下： E H (1) 分别是正方形 各边的中点： G 图3 ABCD (2)△1EF是顶角为135°，底角为22.5°的等腰三角形： (3)△OEl中，OE=O1: (4) 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 (1)如图4，作边AD,DC的垂直平分线，分别交AD,BC,AB,CD于点E,G F,H: 9/19 (2)分别作 和 的角平分线，交于点；利用旋转 B G 图4 ∠AFE∠AEF 对称性作出点J,K,L: (3)顺次连接这八个点 “八边形EIFJGKHL为正方形ABCD的内嵌正八边形. 任务： ()请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论 (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接AC,BD,交于点O.线段AK是否与线 段AO相等，请说明理由， B B 图5 图6 3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形ABCD中作出其内嵌正八边形（不写作 图步骤，保留作图痕迹)· 20.(2026甘肃武威模拟预测)用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10 的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯己 经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边 形：如图，已知AB为OO的直径. 步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙0分别交于E,F两点，垂足为D. 步骤二：以ED为半径，在OO上依次截取BG=GH=HM=MN=NP=PQ=ED 10119 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNP? 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在己知⊙0中作出正七边形BGHMNP№.要求： 不写作法，但保留作图痕迹. B 知识点06：正多边形与圆的对称性 正n边形是轴对称图形，有n条对称轴：当n为偶数时还是中心对称图形，对称中心即其 中心。 360° 正n边形绕中心旋转n的整数倍后与自身重合，即具有旋转对称性。 圆既是轴对称图形（任意直径所在直线都是对称轴）又是中心对称图形。 应用：利用对称性可说明对应线段、对应角相等，简化计算与证明。 21.(2026浙江中考真题)我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多 边形.如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为() 图1 图2 4.5 2 C.3π5 2V5 B.3π-2 D.3π-2 22.(2026云南昭通模拟预测)在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了 美好的祝愿.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若正六边形ABCDEF的周长为l8cm,则OO的 半径为() 11/19 A 1.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 23.(24-25九年级上·福建福州阶段检测)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以C,F为圆 心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的项点），则图中阴影部分的面积为， 24.(2026吉林长春·模拟预测)如图，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留 下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为 知识点07：正多边形与圆在图秦设计与实际问题中的应用 图案设计：利用正多边形的旋转对称与轴对称，可构造匀称、美观的几何图案，如正六边 形密铺（蜂窝结构）。 实际问题：螺母（正六边形）、地砖拼铺、圆桌中的正多边形桌面等，常求用料面积或空 隙面积。 解题思路：把实物抽象为正多边形与圆的组合图形，面积差问题转化为“圆面积一正多边 形面积”或反之。 注意计算时保留π或根号，按题目要求取近似值。 25.(2026河南平顶山三模)风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械.古代的风车是从船 帆发展起来的，它具有6一8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕 轴转动，叫走马灯式的风车.如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为6m,该风 12119 车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆OC垂直于地面AB,且圆周最低点D距离地 面AB为3m. B 图1 图2 (1)若扇叶OE与立杆夹角∠COE=15°，求扇叶OP最外端P与地面AB的距离. (②)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段OP的垂线，当点P运行到OC的左侧且该垂线经过点 C时，求PD的长度， 26.(24-25九年级上浙江金华期末)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明， 是现在所用指南针的始祖（如图1）.司南中心为一圆形，圆心为点O,直径为20m,根据八个方位 将圆形八等分（图2中的点A~H),连接DG,BH并延长交于点P. 北 A 西北B H东北 C 西 0° G东 西南D F东南 南 图1 图2 (I)点P位于点D的北偏东 的方向上 (2)求PH的长. 3)连接BG,比较线段BG与PH大小（写出你作出判断的理由） 27.(2025江苏苏州模拟预测)在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪. 某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又 尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案。 k 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为m的圆面，喷洒覆盖率P=;,3为特喷洒区域面积， k为待喷洒区域中的实际喷洒面积. 13119 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题. 图1 图2 图3 图4 图5 图6 (I)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率P= 9 (②)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为2m的自动喷洒装置：如图4，设计安装9个喷洒半 9 径均为3m的自动喷洒装置…以此类推，如图5，设计安装2个喷洒半径均为m的自动喷洒装置， 与(1)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判 断并给出理由 ③)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率P=1 已知正方形1BC 各边上依次取点R,G,H,B,使得4E=BF=CG=DH,设AE=m,O0 的面 积为 ,求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值. 28 (2026山西晋中·二模)下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务. 正多边形的嵌套 我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案.如图1所示的建筑图案就是一个正 方形里面嵌套了一个正八边形.我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的 每条边上有两个正八边形的顶点， 己知：如图2，正方形ABCD 14119 求作：正八边形EFGHKLMN,使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点. 【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下： ①正八边形的每个内角为_°： ②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点O.连接 OA,OF,OG,OB,可得∠FOG=°，∠AOF=. 【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案： ①连接AC,BD相交于点O: ②作∠AOB的角平分线交AB于点P; 【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐.继续深入分析图 3,设正八边形的边长为Q,则正方形的边长为-，A0=,AG=-,于是得到了新的作 图方案。 图1 图2 图3 任务： (1)补全材料： ①正八边形的每个内角为_°： ②∠FOG=°，∠A0F=°： ③设正八边形的边长为a,则正方形的边长为_，AO=_,AG=一：（用含a的代数式表示） (②)在图2正方形的AB边上作出正八边形的边FG, (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 课时训练 一、选择题 1.(2026河南周口二模)我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为 2,则该正六边形的边长为() 15119 A.1 B.2 C.v5 D 2V3 2.(2026广东广州二模)如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，顶点C,F在x轴 上，将正六边形绕点0顺时针旋转，每次旋转45°，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为() A.(4,0) B.(23,2 c.(2,25 D.（-23-2 3.(2026山东济宁·二模)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆 的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙0的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近 似估计⊙0的面积，可求得π的估计值是() B A3 B.35 C.3.14 D.3.142 4.(2026宁夏石嘴山模拟预测)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修 身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半 径是3，则图中阴影部分的面积是()· 16119 A.3π B.5π C.7π D.9π 二、填空题 5.(25-26七年级下山西长治期末)大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍 摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动36°才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形 的边数为. 6.(2026河北邯郸·一模)如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O,若由点0和项点 连成的∠AOB恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为 7.(2026陕西咸阳二模)如图，正方形 为的内接四边形.若点E是CD BCD⊙O 上的任一点，则 ∠BEC的度数为 D 0. B 8.(2026河北保定·模拟预测)如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4,将一个含30°的直角三角板 HPO HP HO 的直角放入正六边形内，保证点B,D同时在三角板的边“， 上，转动三角板，连接H, 则线段FH的最小值为一 17119 三、解答题 9.(25-26九年级上·甘肃庆阳期末)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙0，阅读以下作图过程，并回答 下列问题： 图1 图2 作法：如图2. 1.作直径AF. 2.以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与OO交于点M,N. 3.连接AM,MN,NA」 (1)△AMN是正三角形吗？请说明理由. (2)从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求 n的值 10.(2025山西长治三模)阅读与思考 请阅读以下材料并完成相应的任务· 如果一个点把一条线段分割成两部分，其中较长线段与整条线段之比，等于较短线段与 较长线段之比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例叫做黄金比，也叫做中 外比，按此比例设计出的图案十分美丽. AC BC √5-1 如图1，C是线段AB的黄金分割点，AB或AC就是黄金比，其比值为2· 18119 C B 黄金三角形是一个等腰三角形，常见的黄金三角形有两种： 图1 ①它的底之长与一腰之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为72°，顶角为36° ;②它的一腰之长与底之长的比为黄金比，此时等腰三角形的两个底角为36°，顶角为 108° 任务： I)如图2，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°.用尺规在AC边上求作一点P,连接BP,使△BCP为 黄金三角形.（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） A 图2 (2)如图3，在OO的内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，BM平分∠ABO.若OA=2,求 BM的长. M B A 图3 19/19