精品解析：广东汕头市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次阶段检测数学试题

2026-2027学年度高三年级第二次阶段考试 高三级 数学科 试题 命题人、审题人：高三数学备课组 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为 A. B. C. D. 3. 已知等差数列不是常数列，若，且、、成等比数列，则（ ） A. 10 B. 19 C. 20 D. 21 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 6. 若直线是曲线与曲线的公切线，（ ） A. B. 1 C. e D. 7. 已知函数，若在部分的图象与直线恰有三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最小项 D. 若，则的最小值为4053 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的共轭复数 B. 是方程的一个根 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 是纯虚数 10. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11. 已知函数的极大值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的对称中心为 D. 过点有且仅有1条直线与函数的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，，则的值为__________． 13. 已知数列为等比数列，，，则__________． 14. 已知函数是上的偶函数，当时，，若有且只有一个解，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）已知平面 ①证明：； ②求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值与最小值，及其对应的x的值； （3）已知函数，若任意，恒成立时，的最小值为，解不等式． 18. 在数列中，，． （1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，⋯，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数n的值． 19. 设函数，，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，，且轴，求、两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三年级第二次阶段考试 高三级 数学科 试题 命题人、审题人：高三数学备课组 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 则. 2. 双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】双曲线中， 本题选择C选项. 3. 已知等差数列不是常数列，若，且、、成等比数列，则（ ） A. 10 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列的通项公式和等比数列的性质求解. 【详解】由题可设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等比数列，所以，即， 因为，解得或. 因为等差数列不是常数列，所以. 所以. 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，两式相除得，所以，所以，对应地形为复杂山地. 6. 若直线是曲线与曲线的公切线，（ ） A. B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求曲线上任意一点的切线方程，再结合公切线列方程求参数值，从而得到公切线为，同理求曲线的切线方程，结合公切线求参数即可. 【详解】设， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即， 由题意，即，解得， 所以两曲线的公切线为， 设，切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意，即，解得. 7. 已知函数，若在部分的图象与直线恰有三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式、诱导公式、两角和的正弦公式把原函数解析式化成余弦型函数形式，再利用换元法，结合余弦函数性质进行求解即可. 【详解】 ， 令，，，所以， 问题转化为直线与函数，当时，有三个交点， 由， 于是有. 8. 已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最小项 D. 若，则的最小值为4053 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误． 【详解】已知等比数列，，， 说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号，则，故A错误； 结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， ，故B错误； 是数列中的最大项，故C错误； ，， 又，则， 所以若，则的最小值为4053，故D正确． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的共轭复数 B. 是方程的一个根 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据除法运算化简复数，再结合选项判断. 【详解】A.，，故A正确； B.，所以不是方程的一个根，故B错误； C.复数对应的点为，位于第一象限，故C正确； D.为纯虚数，故D正确. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】由函数的图象可得，由，解得，故A正确； 又函数过点，所以，， 又，得，所以函数， 当时，，即的图象关于点对称，故B正确； 将函数的图象向左平移个单位长度得到，故C错误； 当，则， 令，解得， 此时，即， 令，解得， 此时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为方程在上有两个不相等的实数根， 即与在上有两个交点，所以，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数的极大值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的对称中心为 D. 过点有且仅有1条直线与函数的图象相切 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，求导，分，，三种情况求函数的极大值点，根据极大值为4求出的值；对于B，根据零点定义，令求解判断零点的个数即可；对于C，根据函数的对称性判断；对于D，设切点，列切线方程，代入切线上的点求出切点的个数. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，而，不合题意； 当时，，在上单调递增，没有极值，不合题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，所以，解得，故A正确； 对于B，由A选项可知， 令，则或，所以有且仅有2个零点，故B错误； 对于C，， 所以的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，，所以， 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以， 解得或，所以过点有且仅有2条直线与函数的图象相切，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以， ，若，则，， 所以，方程两边同除，即：，， 故. 13. 已知数列为等比数列，，，则__________． 【答案】121 【解析】 【详解】，由得：，则， . 14. 已知函数是上的偶函数，当时，，若有且只有一个解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合偶函数的性质可得方程无正实数解，再分离参数并构造函数，利用导数求解. 【详解】由，得，令， 由函数是上的偶函数，得， 则函数是上的偶函数，若是函数的零点，则， 即也是函数的零点，由有且只有一个解，得函数的仅有一个零点， 因此函数有唯一零点0，当时，方程无实数解， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， ，即当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而当时，，因此函数的值域为，， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角形内角和以及诱导公式化简即可求解； （2）由正弦定理以及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以，又， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）已知平面 ①证明：； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 如图所示， 因为分别为的中点，所以， 因为 平面，平面， 所以平面 ， 同理平面， 又平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）①因为平面，平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； ② 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明平面平面可得结果； （2）①通过证明线面垂直即可证得线线垂直；②以 为 轴建立空间直角坐标系，求出直线方向向量与平面法向量，再由线面角的向量求法即可得解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①略； ②由①得，结合为的中点，则， 分别以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系， 由于， 则，，，，， 所以，，， 设平面法向量为， 则 ，令，则，所以， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则. 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值与最小值，及其对应的x的值； （3）已知函数，若任意，恒成立时，的最小值为，解不等式． 【答案】（1）， （2）当时，取最大值为2；当时，取最小值为． （3） 【解析】 【小问1详解】 ， 由， 解得，， 故的单调递增区间为，． 【小问2详解】 因为，所以， 当时，即当时，取最大值为2； 当时，即当时，取最小值为． 【小问3详解】 由（1）得， 因为对任意，恒成立， 所以是最小值，是最大值， 则，解得， 则，解得， 因此函数解析式为， 由即，可得：， 则， 解得， 所以，的解集是． 18. 在数列中，，． （1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，⋯，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数n的值． 【答案】（1）证明：由可得，， 又， 故是首项为，公比为2的等比数列， . （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）根据所给的递推关系式，变形构造即可证明数列是等比数列，从而可求通项公式. （2）利用(1)的结果，求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求解. （3）利用(1)的结果，求出数列的通项公式，再写出的通项公式，利用分组求和法求的前项和，从而可以得到使得不等式成立的最大正整数n的值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设数列的前n项和为， 由（1）知，故， ，① ，② 得， ， 故． 【小问3详解】 依题意可得，， 由题意，为的第项，故， 所以， 由等比数列前n项和公式可得：， 故， 令，设，， 则， 故为递增数列， 又，， 故满足不等式的最大正整数为9． 19. 设函数，，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，，且轴，求、两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题设有且两点间的距离，将问题化为求 ()的最小值即可； （3）将问题化为对任意恒成立，并应用导数研究其最小值即可得. 【小问1详解】 当时 ， 所以，故切点为， 又 ，得切线斜率 ， 所以切线方程为，化简得； 【小问2详解】 当时，，， 由轴，可知两点的纵坐标相等，即， 所以，即， 因为，两点间的距离， 由于，， 令 ()，则，求导得， 令 ，则， 因为时 ，所以（仅在时等号成立），即在上单调递增， 因此，即在上单调递增， 所以的最小值为， 所以两点间最短距离为1； 【小问3详解】 已知时，恒成立， 且，， 所以 ，整理得对任意恒成立， 令 ()，则问题转化为对任意恒成立， 注意到，要使在时恒成立，则在右侧必须单调递增， 求导，且， 若要满足条件，必有，即， 当时， ， 令，求导得 ， 令，求导得， 所以在上单调递增，且， 因此 ，在上单调递增，且， 所以，从而， 综上，当时在上单调递增， 因此对任意恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $