四川省成都市成华区某校2025-2026学年高三上学期阶段性考试（一）数学试题

2025-2026学年度（上）阶段性考试（一） 高2023级 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知为虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．若，，则M.∪N=（    ） A． .B． C． D． 3．“”是“a > b > 0”的一个（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量、满足，，，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 5.函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）   A． B． C． D． 6.某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 7. 已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的最大值为 8．设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（    ） A．该组数据的极差为26 B．该组数据的众数为18 C．该组数据的分位数为19 D．若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 10．下列命题正确的是（    ） A．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 B．不等式的解集为 C．函数的单调递增区间是 D．若，且，则的最小值等于8 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有极大值为 B．对于恒成立，则实数a的取值范围是 C．当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D．若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前n项和为，若S2 = 6，，则 . 13. 已知函数，则_________. 14．已知函数的定义域为，在上单调递减，且对任意的，都有，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 15．已知点在抛物线上. (1)求抛物线C的方程； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求的值. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 17. 交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． (1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ (2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站（即车站编号增加1），有的概率改为当前终到站的东侧一站（即车站编号减少1），每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． (1)证明：； (2)若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数的 零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，在点处 作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在点处的 切线与x轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近r，较接近r，……，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把 作为函数的近似零点.现令. (1)当时，求的近似解，； (2)在（1）的条件下，求数列的前n项和； (3)当时，令， 若时，有两个不同实数根，.求证：. 高三数学试题 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）阶段性考试（一）参考答案 1、 单选题：每小题5分，共40分. 1-8. DDBA ACBC 二、多选题:每小题6分，共18分. 9．BD 10．AD 11．ABD 三、填空题:每小题5分，共15分. 12．16; 13．24; 14． 四、解答题: 15．【详解】（1）∵点在抛物线C上， ∴，解得， ∴抛物线C的方程为. ……………………5分 （2）证明：由题意得，直线l存在斜率，设直线，，， 联立，消去y可得，， ，由韦达定理得，， ……………………9分 ∴ ……………………13分 16．【详解】（1）根据正弦定理，得 ∵，∴，……………………4分 即 ∵，∴. ……………………7分 （2） ……………………13分 ……………………15分 17．【详解】（1））补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则， ………3分 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联. ………5分 （2）由题的可能取值为8，10，12，14， …………………6分 则；； ；， …………………12分 所以的分布列为 8 10 12 14 所以． ……………………15分 18．【详解】（1）证明：取中点为，连接， 因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. ……………………4分 （2）（i）因为为等腰三角形，，即，所以， 因为为等边三角形，所以， 故，，因，则，即， 又因，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，     …………………5分 ，F为线段PB的中点， 则， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面ACF所成角为，则， ……………………9分 又，则，所以直线与平面所成角为， ……………………10分 （ii）设平面的法向量为， ， 则，取，得， 设，所以，所以， 则平面的法向量为，则， 取，得， 所以<>， ……………………14分< ...> 令，则，所以， 因为时，， 所以，所以. ……………………17分 19．【详解】（1）由题意可得在处的切线方程为，令，得， 同理可得在处的切线方程为，令，得， 所以对于函数，， 故，； ……………4分 （2）由（1）可知存在递推关系， 构造等比数列， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， ……………………8分 所以数列的前项和； ……………………10分 （3）由题意可得，则， 令，得，当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以， 又当时，；当时，，且， 所以当时，有两个不同实数根， 又，所以确实有两个不同实数根，， 且，， 先证明右半部分：， 考虑在处的切线方程： 当时，，因为，所以与切线的交点的横坐标大于， 即，又，故； 再证明左半部分：， 观察不等式的结构，联想到一元二次方程的两根之差， 即构造方程来描述不等式的左边，故尝试将放缩为二次函数，即将放缩成， 故令， 则，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时取等号， 所以当时，， 故当时，方程有两个不同的实数根，记为，且， ，又，故，所以， 因为，所以得到， 同理可得，所以， 综上所述，. ……………………17分 答案第4页，共4页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $