13.3.2 三角形的外角 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

13.3.2 三角形的外角 教学设计 姓名 学科段 授课班级 职称 教龄 授课时间 课题 13.3.2 三角形的外角（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十三章“三角形”第 3 节第 2 课时） 教材分析 本节在上节内角和定理的基础上研究三角形的外角。教材先由“把△ABC 的一边 BC 延长到 D”给出外角的定义，强调“一边与另一边的延长线”；再由邻补角与内角和定理推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并由此得到“外角大于任何一个与它不相邻的内角”；最后用例 4 推出三角形的三个外角的和等于 360°。本节把内角和定理用到了“角的和差”之外的新方向，也为下一章多边形的外角和作准备。 核心素养目标 1. 推理能力：能由邻补角与内角和定理推出外角的性质，说清每一步依据。 2. 几何直观：能在图中辨认外角，区分“外角”与“邻补角”。 3. 运算能力：会用外角性质求角度，能比较角的大小。 4. 应用意识：能用外角性质解释实际测量与图形中的角度关系。 教学重点 外角的定义与性质；用外角性质进行计算和说理。 教学难点 外角性质的推导（为什么“等于不相邻两内角之和”）；“外角”与“邻补角”的区别；每个顶点处有两个外角。 学情分析 学生容易把“外角”理解成“三角形外面的角”，把邻补角当成外角，也容易在图上找错“不相邻的内角”。本设计用“延长哪条边”的动作把定义做实，再用“同一条边、两种身份”的对比辨析纠正混淆。 教学方法 问题驱动、图形辨析、说理训练相结合；以“定义—性质—推论—应用”为主线。 课时安排 1 课时（40 分钟） 教学资源 教材图 13.3-3、13.3-4；本设计自制的外角图、三外角图；三角尺、多媒体课件。 教学流程设计 任务/环节 教学内容与问题设计 教师活动 学生活动 学习评价设计 环节一 情境导入 认识外角 把△ABC 的一边 BC 延长到 D，得到一个不在三角形内的角 ∠ACD。这样的角叫什么？ 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 示范“延长 BC 到 D”的动作，强调“一边加另一边的延长线”；追问：∠ACD 的两条边分别是什么？它的顶点在哪里？ 在图上指出 ∠ACD 的两条边（CA 与 CD）和顶点 C；照着画出并标出外角。 能否说出外角的定义要素；能否在图中正确标出外角。 设计意图：定义要靠动作建立：延长哪条边、得到哪个角，学生亲手做一遍才不会混淆。 环节二 辨析 外角与邻补角 每个顶点处有几个外角？∠ACD 与 ∠ACB 是什么关系？外角与邻补角是一回事吗？ 引导学生发现每个顶点处有两个外角（互为对顶角，大小相等）；强调 ∠ACD 与 ∠ACB 是邻补角，和为 180°，但邻补角不一定在三角形外。 画出顶点 C 处的两个外角；说出“外角是位置，邻补角是关系”。 能否说出每顶点有两个外角；能否区分外角与邻补角。 设计意图：概念混淆是本节的第一个障碍，必须用“位置”与“关系”两个词把它分开。 环节三 推导性质 外角定理 ∠ACD 与 ∠A、∠B 有什么关系？为什么？ 引导两条线索：①∠ACD+∠ACB = 180°（邻补角）；②∠A+∠B+∠ACB = 180°（内角和定理）；两式相减得 ∠ACD = ∠A+∠B；板书完整推理并强调“可作推理依据”。 独立写出两式，比较后得出结论；说明“不相邻”的含义。 能否独立完成推导；能否指出“不相邻”的两个内角。 设计意图：性质不是背出来的，是由两条已有的等式“减”出来的；这一步要写出算式。 环节四 推论 外角大于内角 由 ∠ACD=∠A+∠B，能比较 ∠ACD 与 ∠A、∠B 的大小吗？ 由“和大于任一个加数”推出 ∠ACD>∠A、∠ACD>∠B；说明这就是“外角大于任何一个与它不相邻的内角”。 用 130° = 70°+60° 的实例验证；尝试用自己的话表述推论。 能否说出推论并给出理由；能否用实例支持判断。 设计意图：推论是性质的自然结果，讲清“为什么大于”比记住结论更重要。 环节五 例 4 三外角的和 例 4 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是△ABC 的三个外角，求 ∠BAE+∠CBF+∠ACD 的度数。 引导分别写出三个外角与内角的关系式，相加后利用内角和定理求值；板书：∠BAE = ∠2+∠3，∠CBF = ∠1+∠3，∠ACD = ∠1+∠2，三式相加得 2(∠1+∠2+∠3) = 360°。 按“一个外角等于不相邻两内角之和”逐条写出关系式；相加并算出 360°。 能否把三个外角都表示成内角的和；能否正确求和。 设计意图：例 4 把外角性质用到了“整体求和”，是本节方法上的一次提升。 环节六 应用 求角度与比较 （1）∠A=50°、∠B=70°，求 ∠ACD。（2）∠ACD=120°、∠A=45°，求 ∠B。（3）∠ACD=100°，∠A 与 ∠B 哪个大？ 组织三道小题的口答与板演；强调“已知外角求内角”“已知两内角求外角”两个方向的用法。 口答并用式子表示：∠ACD = 50°+70° = 120°；∠B = 120°−45° = 75°；第（3）题需补充条件才能判断。 能否双向使用外角性质；能否发现第（3）题条件不足。 设计意图：第（3）题故意留“坑”，训练学生判断条件是否充分。 环节七 对比 内角与外角 内角和定理与外角性质有什么区别和联系？什么时候用内角和，什么时候用外角？ 组织表格对比：内角和研究三个角的和；外角性质把一个外角换成两个内角的和；给出选择策略（求外角、比较角的大小优先用外角性质）。 填表并说出选择依据；举例说明各自的适用情形。 能否说清两者的联系与适用条件。 设计意图：把新知识挂到旧知识上，学生才不会“见题就套内角和”。 环节八 课堂小结 布置作业 1. 什么是三角形的外角？每个顶点有几个外角？2. 外角性质与推论各是什么？怎样推导出来的？3. 三角形的三个外角的和是多少度？ 组织学生用结构图小结“定义—性质—推论—三外角和”；板书知识结构；布置分层作业（A 组必做、B 组选做、C 组拓展）。 复述外角性质并说明推导思路；记录分层作业。 能否完整说出定义、性质与推论；能否说出推导的关键两步。 设计意图：小结落在“性质是怎么来的”，为后续多边形的外角和留好接口。 板书设计 13.3.2 三角形的外角 一、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角 　　每个顶点处有两个外角，它们互为对顶角、大小相等 二、性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 　　推导：∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180° ⟹ ∠ACD=∠A+∠B 三、推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 四、三个外角的和：∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360° 五、易错：把邻补角当成外角；找错“不相邻的内角” 作业设计 《13.3.2 三角形的外角》课后作业 A 组（必做，基础） 1. 在△ABC 中，∠A=40°，∠B=60°，则 ∠C 的一个外角是____。 答案：100°（=∠A+∠B）。 2. 三角形的一个外角是 125°，与它不相邻的一个内角是 45°，另一个不相邻的内角是____。 答案：80°。 3. 判断题：（1）三角形的外角就是三角形外面的角；（2）三角形的一个外角等于两个内角的和；（3）三角形的外角一定大于任何一个内角。 答案：（1）×，必须是“一边与另一边的延长线”组成的角；（2）×，等于与它不相邻的两个内角的和；（3）×，只大于与它不相邻的内角，与相邻的内角互为邻补角。 B 组（选做，中档） 4. 如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠A=55°，∠ACD=110°，求 ∠B 的度数。 答案：∠B=∠ACD−∠A=110°−55°=55°。 5. 在△ABC 中，∠B=∠C，∠A 的一个外角是 140°，求三个内角的度数。 答案：∠A=180°−140°=40°，∠B=∠C=(180°−40°)÷2=70°。 6. 一个三角形的三个外角中，最多有几个钝角？为什么？ 答案：最多 3 个。因为每个外角与相邻内角互补，若某外角是钝角，则相邻内角是锐角；三角形可以三个内角都是锐角。 C 组（拓展，综合） 7. 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是△ABC 的三个外角，若 ∠BAE∶∠CBF∶∠ACD=3∶4∶5，求三个内角的度数。 答案：设三个外角为 3x、4x、5x，由 12x=360° 得 x=30°，所以外角为 90°、120°、150°，对应内角为 90°、60°、30°。 8. 在△ABC 中，∠ABC 的平分线与 ∠ACB 的外角平分线交于点 P，若 ∠A=60°，求 ∠P 的度数。 答案：设 ∠ABC=2x，则 ∠ACB 的外角 ∠ACD=∠A+∠ABC=60°+2x，CP 平分 ∠ACD，所以 ∠PCD=30°+x。因为 CD 与 CB 互为反向延长线，所以 ∠PCB=180°−(30°+x)=150°−x。在△PBC 中，∠P=180°−x−(150°−x)=30°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $