精品解析：安徽合肥市第四十二中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学卷

九年级练习 数学 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列函数中属于二次函数的是( ) A. y＝x B. y＝2x2-1 C. y＝ D. y＝x2＋＋1 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（ ） A. B. C. D. 5. （多选题）下列各组四边形中是相似多边形的是（ ） A. 邻边长为和的矩形与邻边长为和的矩形 B. 有一个内角为的两个菱形 C. 边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D. 两个高相等的平行四边形 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系（　　） A. B. C. D. 7. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8. 已知抛物线．当时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和，且抛物线还经过点和，则下列关于的大小关系判断正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，直线，都与直线垂直，垂足分别为，，．正方形的边长为，对角线在直线上，且点位于点处．将正方形沿向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，正方形的边位于，之间部分的长度和为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知线段，点P是线段的黄金分割点（），则线段的长为 _____． 12. 二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 13. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 14. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 15. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 三．解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 17. 已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的其中一个交点坐标为，求抛物线解析式． 18. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数解析式． 20. 对于函数，若存在实数，使成立，则称为的“黎点”． （1）当，时，求的“黎点”； （2）若对于任意实数b，函数恒有两个不相同的“黎点”，求a的取值范围． 21. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． （1）求、、的值； （2）求的面积； （3）若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 22. 已知抛物线与直线交于，两点，无论取何值抛物线总经过定点． （1）当抛物线的顶点恰好是定点时，求的值； （2）记的面积为，点，的横坐标分别为和． ①用含的代数式表示； ②求的最小值． 23. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元） （1）用含x的代数式分别表示W1，W2； （2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？ 24. 已知抛物线：（，是常数）经过点． （1）若抛物线的对称轴为直线，求，的值． （2）若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级练习 数学 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列函数中属于二次函数的是( ) A. y＝x B. y＝2x2-1 C. y＝ D. y＝x2＋＋1 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. y＝x是正比例函数，不符合题意； B. y＝2x2-1是二次函数，符合题意； C. y＝不是二次函数，不符合题意； D. y＝x2＋＋1不是二次函数，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的顶点坐标为． 3. 已知，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质可得，然后逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A. ，则即，成立，故该选项不符合题意； B. ，成立，故该选项不符合题意； C. ，则，即，不成立，符合题意； D. ，即，成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 4. 若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已反比例函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点. 通过已知条件求出，即函数解析式为，然后将选项逐个代入验证即可得. 【详解】解：由题意将代入得，解得， 故反比例函数解析式为， 将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A的符合， 故选：A. 5. （多选题）下列各组四边形中是相似多边形的是（ ） A. 邻边长为和的矩形与邻边长为和的矩形 B. 有一个内角为的两个菱形 C. 边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D. 两个高相等的平行四边形 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义解答即可． 【详解】解：相似多边形需满足对应角相等，对应边成比例． A选项：两个矩形的内角均为直角，对应角相等， ∵第一个矩形邻边长为和，且， ∴第一个矩形是正方形， 第二个矩形邻边长为和，由可得， ∴第二个矩形也是正方形， 所有正方形对应角相等，对应边成比例，故这两个矩形是相似多边形，符合题意； B选项：菱形的四条边都相等，因此两个菱形的对应边成比例， ∵两个菱形都有一个内角为，根据菱形对角相等、邻角互补，可得两个菱形的四个内角对应相等， 故这两个菱形是相似多边形，符合题意； C选项：两个菱形的边长分别为厘米和厘米，对应边成比例，但内角不一定对应相等，故不一定是相似多边形，不符合题意； D选项：两个高相等的平行四边形，内角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，故不一定是相似多边形，不符合题意． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数中k＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∵，且第一象限的函数值和自变量均为正值，第三象限的函数值和自变量均为负值， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8. 已知抛物线．当时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案． 【详解】解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 9. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和，且抛物线还经过点和，则下列关于的大小关系判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由点和求得二次函数的对称轴，然后根据函数开口向上，离对称轴越远函数值越大即可判断的大小． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和， ∴对称轴为直线， ∵抛物线经过点和， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向上， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数的对称轴是解题的关键． 10. 如图，直线，都与直线垂直，垂足分别为，，．正方形的边长为，对角线在直线上，且点位于点处．将正方形沿向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，正方形的边位于，之间部分的长度和为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形平移过程，分，，三段讨论与的函数关系． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴，， ∴， 当时，点在之间，设边与的交点为点 此时， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴，同理 ∴； 当时，点在之间，设直线交于点，直线交于点，则， 过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形均为矩形， ∴设，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由题意得， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∵， ∴； 当时，点在之间，设直线交于点，连接交于点， ∴， 此时 由题意得，， ∴ ∴ 同理为等腰直角三角形， ∴，同理 ∴，即， 综上： 综上所述，关于的函数图象由三条线段组成，呈梯形． 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知线段，点P是线段的黄金分割点（），则线段的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度，进而可求出BP的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点， 且，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的 ． 12. 二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出二次函数，当时x的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 或， ， 线段长为． 13. 如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可． 【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E， ∴CD∥BE， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴ ，即，OC=AB， ∴四边形CDEB为平行四边形， ∵CD⊥OA， ∴四边形CDEB为矩形， ∴CD=BE， ∴在Rt△COD和Rt△BAE中， ， ∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL）， ∴S△OCD=S△ABE， ∵OC=AC，CD⊥OA， ∴OD=AD， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴S△OCD=S△CAD=， ∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2， ∴S△OBA=， ∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 14. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 15. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 三．解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知线段，，满足，且． （1）求，，的值； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】（1），， （2）线段的长为 【解析】 【分析】（1）设连等式的比值为，用含的代数式表示，代入求解即可； （2）根据比例中项的定义列出等式，结合线段的长度为正数求解即可． 【小问1详解】 解：设， 则， 代入得：， 解得：， ． 【小问2详解】 解：线段是线段，的比例中项， ，即， ， ， 线段的长度为正数， ． 17. 已知二次函数的图象经过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的其中一个交点坐标为，求抛物线解析式． 【答案】 抛物线的解析式为． 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，设交点式解析式，代入已知点求解系数． 【详解】解： ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称， 设另一个交点坐标为， 则， 解得，即另一个交点为， 设抛物线的解析式为（）， 将点代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 整理得． 18. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 【答案】（1） 该二次函数的图象如图所示： ； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和二次函数的取值范围： （1）待定系数法求出二次函数解析式，然后列表，描点，连线，即可得到图象； （2）从图象观察在之间图象的最低点函数值和最高点函数值，由此可得y的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 【小问2详解】 由图可知，当时，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，点，点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，轴于，先证明，得到，判定四边形为正方形；设边长为，利用列方程求出，得到点坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式． 【详解】过点作轴于，轴于，则． 四边形是正方形， ，， ， ． 在和中， ， ． ，， 四边形是正方形． 设正方形的边长为． ，， ， ． 由，得 ， 解得 ． ． 设反比例函数解析式为， 把代入，得 ， 反比例函数解析式为． 20. 对于函数，若存在实数，使成立，则称为的“黎点”． （1）当，时，求的“黎点”； （2）若对于任意实数b，函数恒有两个不相同的“黎点”，求a的取值范围． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，解题的关键是理解黎点的定义。 （1）当时，，根据黎点的定义，可得，解方程即可； （2）根据黎点的定义，由，可得，根据对于任意实数，函数恒有两个不相同的黎点，可得，解不等式即可． 【小问1详解】 当时，， 由题意得， 即， 解得，， 当时， y 的黎点为和； 【小问2详解】 由题意，得，即， 由题意得， 即对于任意实数恒成立， 又因为， 所以要使恒成立， 则则． 21. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． （1）求、、的值； （2）求的面积； （3）若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】（1），，； （2）8 （3）点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【解析】 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【小问1详解】 把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． 【小问2详解】 解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． 【小问3详解】 略． 22. 已知抛物线与直线交于，两点，无论取何值抛物线总经过定点． （1）当抛物线的顶点恰好是定点时，求的值； （2）记的面积为，点，的横坐标分别为和． ①用含的代数式表示； ②求的最小值． 【答案】（1）． （2）①；②的最小值为． 【解析】 【分析】（1）将抛物线整理为，用分离参数法（令）求出定点；再由顶点横坐标与点的横坐标相同，列方程求； （2）①联立得一元二次方程，用根与系数关系把化为含的代数式并开方；②过作直线的垂线求高，把化为后配方求最小值． 【小问1详解】 解：抛物线． 无论取何值，当即时，，故抛物线总经过定点． 抛物线的顶点横坐标为． 当顶点恰好为时，，解得． 【小问2详解】 解：联立与： ， 整理得． 设其两根为、，由根与系数关系得，． ①． ． ②点、都在直线上．过点作于． 与垂直的直线解析式为，代入得，即，故所在直线为． 联立与，得，，即． ． 又，而， 故． 于是． 代入、，得． 配方得， 所以，当时取等号． 故的最小值为． 【点睛】本题综合考查抛物线与直线的相交问题：先分离参数求抛物线族恒过定点；再用顶点公式求；相交弦长借助根与系数关系化为，是解此类面积的常用转化；关键是用“过作弦所在直线的垂线求高”，把三角形面积最终化为只含的二次根式，配方即得最值． 23. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元） （1）用含x的代数式分别表示W1，W2； （2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元． 【解析】 【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式； （2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得． 【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得 W1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000， W2=19(50-x)=-19x+950； （2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950， ∵-2＜0，=10.25， 故当x=10时，W总最大， W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键． 24. 已知抛物线：（，是常数）经过点． （1）若抛物线的对称轴为直线，求，的值． （2）若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 【答案】（1），； （2）①； ②（），的最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式与点A在抛物线上的条件，联立方程求解b和c； （2）①由A、B纵坐标相同得两点关于对称轴对称，结合对称轴公式建立b与m的关系，根据m的范围推导b的范围； ②利用轴对称性质将转化为，结合最短路径结论得的最小值为的长度，结合长度得到W的解析式，再通过二次函数配方求最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． ∵抛物线经过点， ∴代入解析式得， 即． 将代入， 得． 【小问2详解】 解：①∵抛物线经过和， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． 又∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即． ∵， ∴， 即． ②∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，得， 即． 将代入抛物线解析式得， 即． 结合①中，得， ∴． ∵点P在抛物线的对称轴上，点A是点B关于对称轴的对称点， ∴， 即． ∵对称轴为直线，且， ∴，且， 即点B、C均在对称轴右侧，两点在同侧． ∴， 即最小值． 由勾股定理得， ∴． ∵、纵坐标相同， ∴线段的长度． ∴，其中． 将配方得． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线，且在内， ∴当时，取得最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $