第25章一元二次方程 检测卷 -2026—2027学年人教版数学九年级上册

第25章一元二次方程 一、单选题 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．x2－5x＝2 C．y2－2x ＋1＝0 D．x2－2＝（x＋1）2 2．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的两根分别为和，则的值为（　　） A．3 B．4 C． D．没有实数根 4．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 5．已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．22 C．24 D．16或22 6．已知一元二次方程 的两根为x1，x2，则 的值为(　　). A．-7 B．-3 C．2 D．5 7．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都是，那么满足的方程是（　　） A．． B．． C．． D．． 8．下列方程中没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 9．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 10．若实数a，b满足a-ab+b2+2=0，则a的取值范围是（　　） A．a≤-2 B．a≥4 C．a≤-2或 a≥4 D．-2≤a≤4 11．如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　） A．1 B．5 C．7 D．3或7 12．从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 13．关于的一元二次方程的两个根为，且．下列说法正确是（　　） ①；②；③④关于x的一元二次方程的两个相头． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④ 二、填空题 14．若关于的方程有实数根，则的取值范围是　 　． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　 　． 16．某一药品，经过连续两次降价，由原价87.5元，调至56元。每次降价的百分率都为x。根据题意可以列出方程为：　 　. 17．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，那么m的值为　 　． 18．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程 的两个实数根，则△ABC的周长为　 　． 19．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为　 　． 20．已知一元二次方程 的两个实数根为 ，则代数式 的值为　 　． 21．若关于x的一元二次方程 各项系数满足 ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是　 　个． 22．如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是　 　． 23．已知二次多项式 ． （1） 当 时，该多项式的值为　 　 （2） 若关于 的方程 有两个不相等的整数根， 则正数 的值为　 　 24．已知m、n、6分别是等腰三角形的三边长，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则k的值为　 　． 三、解答题 25．解方程：． 26．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 27．如图，某农场有一道长米的围墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的长方形养鸡场，在墙的对面开了一个1米宽的门，求围成长方形养鸡场的边的长度． 28．已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． （1）求k关于n的表达式； （2）若n为正整数，求k的取值范围． 29．已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 30．解答问题： （1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围． 31． 关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根． 32．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点，若点为的中点，． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线上一动点且位于直线下方，若有，请求出点坐标； （3）如图3，将直线平移得到直线，使得直线经过点，并交轴于点，点为直线上一动点，是否存在以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 33．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______． ②已知实数a，b满足：，则______． （2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围． （3）设实数a，b分别满足，且，求的值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1，x2 ∴，x1+x2=3， ∴ 故答案为：A. 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，x1+x2=3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：设 每次降价的百分率都是x，根据题意，得 100（1-x）2=81， 故答案为：B. 【分析】基本关系：初量×(1-降低率)2=末量，据此列一元二次方程即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：A．△，则方程没有实数解，所以选项符合题意； B．△，则方程有两个相等的实数解，所以选项不符合题意； C．方程化为，△，则方程有两个不相等的实数解，所以选项不符合题意； D．方程化为，△，则方程有两个不相等的实数解，所以选项不符合题意． 故答案为：A． 【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。 9．【答案】A 【解析】【解答】解：A.化为一般式为，，则方程有两个不相等的实数根，故A选项符合题意； B.，则方程有两个相等的实数根，故B选项不符合题意； C.，则方程没有实数根，故C选项不符合题意； D.化为一般式为，，则方程没有实数根，故D选项不符合题意． 故答案为：A． 【分析】分别计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可. 10．【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到其根的判别式为非负数，据此求得a的取值范围即可． 【解答】∵b是实数， ∴关于b的一元二次方程b2-ab+a+2=0， △=（-a)2-4×1×（a+2)≥0 解得：a≤-2或a≥4； ∴a的取值范围是a≤-2或a≥4． 故选C． 11．【答案】D 【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m， 由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|=①， 5m=4a2﹣1 ②， 把①代入②得：5m=×4﹣1， 整理得：m2﹣10m+21=0， 解得：m=3或m=7， 故选：D． 【分析】设方程的另一个根为m，根据韦达定理可得关于a、m的二元一次方程组，解方程组可得m的值． 12．【答案】C 13．【答案】B 【解析】【解答】解： 一元二次方程的两个根为 、 所以 ① 、 ② 都正确； 即 所以 ③ 错误； 整理关于x的一元二次方程得： 方程的两个根分别为： 、 所以 ④ 正确. 故答案为：B. 【分析】先根据已知可判断一元二次方程的常数项的性质符号为正，则根据根与系数的关系可判断两个根的和与积的符号；另外由根的判别式可判定出；再整理关于x的一元二次方程为，再利用根与系数的关系对给出的两个根进行验证即可. 14．【答案】． 15．【答案】且 16．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可知： 故答案为： . 【分析】根据减少率问题的公式列方程即可. 17．【答案】1或-9 【解析】【解答】解：， 分解因式，得 x(x-2)=0，解得x1=0，x2=2， 当x=0时，将x=0代入，得m-1=0，解得m=1； 当x=2时，将x=2代入，得4+6+m-1=0，解得m=-9. 故答案为：1或-9. 【分析】先求出的根，再分别代入，求出m的值. 18．【答案】9或10.5 【解析】【解答】等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，若b和c是关于x的方程x2-（2k+1）x+5（k- ）=0的两个实数根， 则△=[-（2k+1）]2-4×5（k- ）=4k2+4k+1-20k+15=4k2-16k+16=0， 解得：k=2， 则b+c=2k+1=5， △ABC的周长为4+5=9； 当a为腰时，则b=4或c=4， 若b或c是关于x的方程x2-（2k+1）x+5（k- ）=0的根， 则42-4（2k+1）+5（k- ）=0， 解得：k= ， 解方程x2- x+10=0， 解得x=2.5或x=4， 则△ABC的周长为：4+4+2.5=10.5． 故答案为：9或10.5. 【分析】当a为底，b，c为腰时，b=c，然后依据方程由两个相等的实数根可求得k的值，从而可得到b+c的值，最后可求得三角形的周长；当a为腰时，则b=4或c=4. 19．【答案】12，16，17 【解析】【解答】解： ， 解得 ， ， 若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是6，因为2不能构成三角形，此时周长是17， 若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底可以是2或6，那么周长是12或16． 故答案是：12，16，17． 【分析】利用因式分解法求出求出根，，分情况讨论①若5是等腰三角形的底，则2或6是腰，②若5是等腰三角形的腰，则2或6是底，据此利用三角形的三边关系分别判断即可. 20．【答案】3 【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两个实数根为 ， ∴把 代入方程，有 ， 有根与系数的关系，得： ， ∴ ； 故答案为：3． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可。 21．【答案】3 【解析】【解答】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c， △＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根， 当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意； 当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意． 当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号实数根．故④符合题意． 故答案为：3． 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号以及根与系数的关系即可以。 22．【答案】4或6 23．【答案】（1）-4 （2）2或5 【解析】【解答】解：（1）当x=1时，x2-ax+a-5=1-a+a-5=-4； 故答案为：-4； （2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根， ∴x1+x2=a，x1x2=a-5， ∴a与a-5都是整数， ∴(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数， 设(a-2)2+16=t2（t为正整数）， 则(a-2)2-t2=-16， ∴(a-2-t)(a-2+t)=-16， 由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t， ∴或或， 解得或(舍去)或， 经检验，a=2与a=5符合要求， ∴正数a的值为2或5. 故答案为：2或5. 【分析】（1）直接把x=1代入多项式，化简即可； （2）设x1与x2是关于x的方程x2-ax+a-5=0的两个不相等的整数根，由根与系数的关系得x1+x2=a，x1x2=a-5，且a与a-5都是整数，由根的判别式可得(-a)2-4(a-5)=a2-4a+20=(a-2)2+16为完全平方数，设(a-2)2+16=t2（t为正整数），则(a-2-t)(a-2+t)=-16，由于a-2-t与a-2+t奇偶性相同，且a-2-t＜a-2+t，从而列出方程组，求解即可. 24．【答案】1 25．【答案】， 26．【答案】的值为，方程的另一个根为 27．【答案】9米 28．【答案】（1） （2），且（n为正整数） 29．【答案】解：(1)解：∵原方程有实数根， ∴， ∴， ∴. (2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系， 得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解之，得：，． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得，再求解即可. （2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，，再求解即可. 30．【答案】（1） （2）且 31．【答案】解：把x=2代入x2﹣（k+1）x﹣6=0， 得4﹣2（k+1）﹣6=0， 解得k=﹣2， 解方程x2+x﹣6=0， 解得：x1=2，x2=﹣3． 答：k=﹣2，方程的另一个根为﹣3． 【解析】【分析】将x=2代入原方程，可求出k的值，进而可通过解方程求出另一根． 32．【答案】（1） （2） （3）或或或 33．【答案】（1）①，；② （2）解：∵实数m、n、t满足：， ∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根， ∴，即， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， 且， ∴。 （3）解：∵实数a，b分别满足，且， ∴， ∴方程可变形为， ∴a，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【解析】【解答】（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为， ∴根据韦达定理，可得 ，． 故答案为：， ②∵， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为： 【分析】（1）①根据韦达定理：，，代入数据，即可求解 ②根据材料2，可知a，b是一元二次方程两个不相等的实数根，根据韦达定理可求出a+b和ab的值，然后再对进行通分，最后再将a+b和ab的值代入即可求解。 （2）由材料2可得m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，根据判别式的定义，可得，然后再根据韦达定理，求出m+n和mn的值，然后再结合，可求出t的取值范围，最后再将展开后将m+n和mn整体代入即可求解； （3）将方程进行变形：，可知a，是方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理，求出和的值，再将对进行变形：，最后再将和的值代入即可求解。 （1）解：①∵一元二次方程的两根分别为， ∴根据韦达定理，可得 ，． 故答案为：， ②∵， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为： （2）解：∵实数m、n、t满足：， ∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根， ∴，即， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， 且， ∴； （3）解：∵实数a，b分别满足，且， ∴， ∴方程可变形为， ∴a，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $