1.1 集合的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 教学设计 第一节 集合的概念 第1课时 集合的概念 一、课标要求 在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中，"主题一：预备知识"对集合的要求为："经历集合语言刻画数学对象的过程，理解集合的概念，能用集合语言表达数学对象；能在现实情境或数学情境中，概括出元素与集合之间的关系。"本课时聚焦集合的含义、元素与集合的属于关系、集合元素的特性、常用数集及其记法，以及集合的两种表示方法——列举法与描述法。 二、教材分析与教学策略 1.教材分析：本节是高中数学人教A版（2019版）必修第一册第一章第一节《集合的概念》内容，是高中数学的开篇之课。教材选取了1～20以内的所有偶数、立德中学今年入学的全体高一学生、所有正方形、地球上的四大洋等丰富的实例，既涵盖数、点、图形等数学对象，也包含贴近学生生活的实际问题，帮助学生理解元素与集合的概念，体会元素与集合的"属于"关系，学习集合的表示方法。集合语言是现代数学的基本语言，是后续学习函数、不等式等知识的必备基础。 2.教学策略：本节内容主要包括集合的含义、元素与集合的关系、常用数集、集合的表示方法。依据课程标准可将本节内容分为两个课时，本课时为第1课时，重点落实集合的概念、元素的特性与集合的表示方法。本课时从学生熟悉的生活实例出发，引导学生观察、分析、概括对象的共同特征，经历从具体到抽象的概括过程，自然生成集合的概念；再通过判断对象能否组成集合的问题串，归纳元素的三种特性；最后结合实例对比学习列举法与描述法，体会两种表示方法各自的特点与适用范围。 本课时在激活学生初中已有的数集经验（如自然数集、不等式的解集）的基础上，引导学生用集合的语言简洁、准确地表述研究对象，提升数学表达的抽象层次，帮助学生完成初高中数学学习的平稳过渡，发展数学抽象的核心素养。 三、学情分析 1.知识层面： 学生在小学和初中阶段已经接触过一些集合，如各种数集、不等式的解集、点集等，对本节内容有一定的经验基础，以此为基础，高中阶段系统安排集合的初步知识，使学生能够在现实情境或数学情境中运用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象。 2.能力层面： 学生已经具备一定的观察、比较与归纳能力，能够在小组合作、交流讨论中发现对象的共同特征，但用规范的数学符号语言进行表达的能力还比较薄弱。 3.认知障碍点： 学生对集合概念的理解容易停留在"一堆东西放在一起"的直观层面，对元素的确定性、互异性、无序性缺乏本质认识；在用描述法表示集合时，对代表元素与共同特征的结构（如{x | p(x)}）理解困难，容易将数集与点集混淆。 四、教学目标和素养目标 依据课标要求，制定集合的概念（第1课时）的教学目标和素养目标如下： （1）通过观察、分析一组具体实例，概括其共同特征，理解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系，培养"数学抽象"素养； （2）通过判断对象能否组成集合的问题串，归纳集合元素的确定性、互异性与无序性，记住常用数集的专用符号，并能正确使用，发展"逻辑推理"与"数学运算"素养； （3）通过用列举法和描述法表示具体集合，会选择恰当的方法表示简单的集合，感受集合语言的简洁性与准确性，体会数学符号化的价值，激发学习数学的兴趣，培养"直观想象"素养与"科学态度"。 五、教学重、难点 重点：集合的概念与表示方法，元素与集合的关系，常用数集及其记法； 难点：元素三特性（确定性、互异性、无序性）的理解与应用，描述法的规范使用与表示法的恰当选择。 六、教学设计思路 本课时按照"情境引入—概念生成—关系探究—表示方法—巩固应用—总结提升"的主线展开：以动物园动物、四大发明、图书馆书籍三个生活情境引入，概括共同特征生成集合概念；通过问题串判断对象能否组成集合，归纳元素三特性；借助Venn图直观呈现元素与集合的属于关系，结合数系扩充图记忆常用数集；再通过"四大洋""方程的根"两个典型问题，对比学习列举法与描述法；最后以分层练习巩固新知，引导学生总结反思。 七、教学过程 教学环节一、创设真实生活情境，引入新课 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【图片引入】展示三幅生活图片：某动物园中的动物（如图1）、中国古代四大发明（如图2）、图书馆中的数学书籍专区（如图3）。【提问】每组图片中的对象分别是什么？它们有什么共同特征？ 【观察、思考】图1中是熊猫、熊、大象、袋鼠等动物，共同特征是都是"这家动物园里的动物"；图2中是指南针、造纸术、火药、印刷术，都是"中国古代四大发明"；图3中都是图书馆数学书籍专区里的书，都是"这个专区中的数学书籍"。 通过贴近学生生活的三幅情境图，引导学生关注对象的共同特征，激发学习兴趣，为概括集合的概念做好铺垫。 图1 某动物园里的动物 图2 中国古代四大发明 图3 图书馆中的数学书籍专区 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【问题1】上述每组情境中的对象都具有什么共同特征？ 【回答】每组中的对象都是确定的——给定一个对象，能明确判断它是不是这一组中的；每组中的对象没有重复。 引导学生用"确定的、互不相同的"刻画对象的共同特征，为生成集合的概念积累直观经验。 【引导】在数学里，我们把一些确定的、互不相同的对象放在一起组成整体进行研究。这样的整体叫什么？这就是今天要学习的"集合"。 【倾听、记录】明确本节课的研究主题——集合的概念。 点明课题，自然过渡到概念生成环节。 教学环节二、抽象概括，生成集合的概念 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【出示问题串】请判断下列每组对象能否组成一个"确定的全体"：（1）1～20以内的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（5）地球上的四大洋。【追问】这些"全体"有什么共同特点？ 【思考、回答】（1）元素是2，4，6，…，20这些偶数，是确定的；（2）元素是今年入学的高一学生，是确定的；（3）元素是所有的正方形；（4）元素是满足条件的所有点；（5）元素是太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。共同特点：每组对象都是确定的，并且互不相同。 通过具体问题串的辨析，让学生经历"观察—比较—概括"的抽象过程，生成集合与元素的概念，培养数学抽象素养。 【归纳】一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。 【记录】在学案上记录集合、元素的概念及符号表示规范。 规范数学表达，落实基础知识。 教学环节三、探究元素与集合的关系，认识元素的三种特性 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【问题2】已知集合A表示本校全体学生组成的集合，a表示本校的一名学生，b表示邻校的一名学生。a与集合A是什么关系？b呢？ 【回答】a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素。 以学生身边的实例引入元素与集合的属于关系，直观自然。 【讲解】如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。强调符号"∈"的开口方向朝向集合，不能把a∈A颠倒写成A∈a。 【记录】在学案上记录属于与不属于的符号表示，并完成判断练习。 规范符号语言，体会集合符号的简洁性，培养数学抽象素养。 图4 元素与集合关系的Venn图示意 如图4，元素a、b、c、d都在椭圆内部，它们都属于集合A，记作a∈A；元素p在椭圆外部，它不属于集合A，记作p∉A。 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【问题3】判断下列每组对象能否组成集合：（1）我国现有的直辖市；（2）较小的数；（3）某个班级中身高超过175 cm的学生。【追问】"较小的数"为什么不能组成集合？ 【讨论、回答】（1）能，直辖市是确定的；（2）不能，"较小"没有明确标准，无法判断1000算不算较小的数；（3）能，"身高超过175 cm"有明确标准。 在辨析中引导学生自主发现：组成集合的对象必须是确定的，生成元素的确定性。 【引导】由问题3进一步思考：同一个集合中，元素能重复出现吗？把集合中元素的位置交换，还是同一个集合吗？ 【归纳】元素不能重复——互异性；元素与排列顺序无关——无序性。 通过追问引导学生自主归纳元素的三种特性，发展逻辑推理素养。 【总结】集合中的元素具有三种特性：确定性——给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的；互异性——同一个集合中的元素互不相同；无序性——集合中的元素没有先后顺序。此外，如果两个集合的元素完全相同，就称这两个集合相等。 【记录、理解】在学案上完成元素三特性的整理。 及时归纳落实，突破本课时第一个难点。 例1 判断下列每组对象能否组成集合？如果能组成集合，写出该集合的元素；如果不能，请说明理由。 （1）小于6的所有自然数；（2）某班级中的所有高个子同学；（3）方程x-2=0的所有实数根；（4）所有的平行四边形。 解：（1）能组成集合。因为小于6的自然数是0，1，2，3，4，5，它们是确定的对象，该集合的元素为0，1，2，3，4，5。 （2）不能组成集合。因为"高个子"没有明确的标准，无法确定某个同学算不算高个子，对象不确定，不符合元素的确定性。 （3）能组成集合。因为方程x-2=0只有一个实数根2，它是确定的对象，该集合的元素为2。 （4）能组成集合。因为平行四边形的特征是确定的，任何一个四边形是否为平行四边形可以明确判断，该集合的元素是所有的平行四边形。 教学环节四、认识常用数集，学习集合的表示方法 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【讲解】数学中一些常用的数集有专用记号：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集），记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。 【记录、记忆】在学案上填写常用数集及其记法对照表。 落实常用数集的专用符号，为后续学习打下基础。 图5 常用数集之间的关系 如图5，随着数系的不断扩充，自然数集N含于整数集Z，整数集Z含于有理数集Q，有理数集Q含于实数集R，正整数集N*（N+）是自然数集N中去掉0后所得的集合。 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【思考】地球上的四大洋组成的集合如何表示？方程x+1=0的所有根组成的集合又如何表示？ 【尝试】四大洋：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋；方程x+1=0的根是-1，只有一个根。 以两个典型问题引出两种表示方法的必要性。 【讲解·列举法】把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号"{ }"括起来表示集合的方法叫做列举法。上述两个集合分别表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}和{-1}。【注意】大括号不能缺失，元素之间用逗号隔开；元素不重复、不遗漏。 【模仿、练习】用列举法表示由"1～10以内的所有素数"组成的集合：{2，3，5，7}。 在模仿与即时练习中掌握列举法的书写规范。 例2 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x²=x的所有实数根组成的集合。 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。 （2）设方程x²=x的所有实数根组成的集合为B。由x²=x，得x²-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1，所以B={0，1}。 【方法归纳】用列举法表示集合，先要分清集合的元素是什么（是数、是点还是其他对象），再按一定顺序把元素一一列举，做到不重复、不遗漏。 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【追问】"所有大于1且小于7的实数"组成的集合能用列举法表示吗？ 【发现】不能，这个集合的元素有无穷多个，无法一一列举。 制造认知冲突，引出描述法的必要性。 【讲解·描述法】把集合中所有元素都具有的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法叫做描述法。具体形式为：在花括号内先写表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例如"所有大于1且小于7的实数"组成的集合可表示为D={x∈R | 1<x<7}。 【理解、模仿】指出{x∈R | 1<x<7}中，x是代表元素，x∈R表明元素是实数，1<x<7是元素的共同特征。 剖析描述法的结构，突破本课时第二个难点。 例3 用描述法表示下列集合： （1）由大于10且小于20的所有整数组成的集合；（2）不等式2x-6>0的解组成的集合。 解：（1）设由大于10且小于20的所有整数组成的集合为A，则A={x∈Z | 10<x<20}。用列举法表示即为A={11，12，13，14，15，16，17，18，19}。 （2）设不等式2x-6>0的解组成的集合为B。由2x-6>0，得2x>6，即x>3，所以B={x∈R | x>3}。该集合的元素有无穷多个，宜用描述法表示。 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【引导对比】自然语言、列举法、描述法各有什么特点？如何选择？ 【讨论、归纳】自然语言通俗易懂；列举法直观明了，适用于元素个数有限且不多的情况；描述法简洁概括，适用于元素有无限多个或共同特征明显的情况。 让学生在对比中体会三种表示方法的特点，学会恰当选择，发展直观想象素养。 教学环节五、课堂练习，巩固新知 练习1 判断下列每组对象能否组成集合： （1）不超过20的非负数；（2）直角坐标平面内第一象限的一些点；（3）3的近似值的全体。 答案：（1）能组成集合。因为任给一个实数x，"x不超过20且x不小于0"是否成立是明确的，即x≤20与x≥0两者可以明确判断，对象确定。（2）不能组成集合。"一些点"没有明确标准，对于某个点是否在"一些点"中无法确定。（3）不能组成集合。"近似值"不明确精确到什么程度，无法判断某个数是不是3的近似值。 练习2 用适当的方法表示下列集合： （1）方程x+3=0的实数根组成的集合；（2）1～15以内所有奇数组成的集合；（3）平面直角坐标系中第二象限内所有的点组成的集合。 答案：（1）{-3}，用列举法；（2）{1，3，5，7，9，11，13，15}，用列举法；（3）{(x，y) | x<0，y>0}，用描述法。第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正。 练习3 已知集合A={a+1，a²-1，2}，其中a+1≠2且a²-1≠2，求实数a的取值。 答案：由a+1≠2，得a≠1；由a²-1≠2，得a²≠3，即a≠√3且a≠-√3。所以实数a的取值为a≠1且a≠±√3的一切实数。（依据集合元素的互异性，集合中的元素a+1、a²-1与2互不相同。） 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【巡视指导】学生独立完成练习，教师巡视个别指导，再请学生展示，组织互评。 【独立完成、展示】三名学生分别板演三道练习，其余学生在学案上完成后对照订正。 通过练习巩固集合的概念与表示方法，及时反馈达标情况，培养学生认真严谨的学习习惯。 教学环节六、归纳总结，整合提升 教师活动 学生活动 设计意图及学科素养 【课堂总结】请同学们带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）集合中的元素具有哪些特性？你能结合例子说明吗？（2）元素与集合有哪些关系？如何表示？（3）表示集合有哪几种方法？如何选择？ 【回顾、总结】（1）确定性、互异性、无序性，如"较小的数"因不确定不能组成集合；（2）属于a∈A与不属于a∉A两种关系，必居其一；（3）自然语言、列举法、描述法，元素有限且不多时用列举法，元素无限或共同特征明显时用描述法。 通过问题引领学生自主梳理知识结构，形成知识网络，体会研究数学对象的一般方法。 【课后作业】1.教材第5页练习第1、2、3题；2.用列举法表示"15的所有正因数组成的集合"，并说明为什么用列举法比描述法更直观。 【记录作业】明确课后任务，巩固所学。 分层作业：基础题面向全体，拓展题引导学生体会表示方法的选择依据。 八、板书设计 集合的概念（第1课时） 一、集合与元素：把一些确定的、互不相同的对象组成的整体叫做集合； 二、元素与集合的关系：a∈A（属于），a∉A（不属于），两种关系必居其一； 三、元素的三种特性：确定性、互异性、无序性； 四、常用数集：N（自然数集），N*或N+（正整数集），Z（整数集），Q（有理数集），R（实数集）； 五、表示方法：列举法{a，b，c，…}；描述法{x及取值范围 | 共同特征}。 九、教学反思 1.本节课从学生熟悉的生活情境出发，通过三幅图片引导学生概括对象的共同特征，自然生成集合的概念，学生参与度高，概念生成过程顺畅，体现了从具体到抽象的认知规律，落实了数学抽象素养的培养。 2.在元素三特性的教学中，以问题串驱动学生辨析"较小的数""高个子同学"等反例，学生在辨析中自主归纳出确定性的内涵，突破了难点；但部分学生对描述法中代表元素与共同特征的结构理解仍不到位，后续教学中需结合更多数集与点集的实例进行对比辨析。 3.本节课注意引导学生用规范的符号语言表达，练习中发现的书写不规范问题（如花括号缺失、元素重复）已在课堂内及时纠正；今后还可借助课堂检测平台及时收集学情反馈，提高评价的针对性。 十、过程性评价量表 评价维度 评价指标 等级 得分 知识理解与应用 准确说出集合的概念，会用符号a∈A、a∉A表示元素与集合的关系 1.概念表述模糊，符号使用错误较多；2.在提示下能正确表述和使用；3.能准确表述并规范使用符号 知识理解与应用 能结合实例说明元素的确定性、互异性、无序性 1.只能说出特性名称；2.能结合简单例子说明；3.能自主举例并准确说明 知识理解与应用 记住常用数集N、N*、Z、Q、R的记法并能正确使用 1.记混多数数集记号；2.能记住大部分记号；3.全部记准并能熟练运用 方法掌握与迁移 会用列举法表示元素有限的简单集合，书写规范不重不漏 1.元素有重复或遗漏；2.基本规范，偶有疏漏；3.书写规范，顺序合理 方法掌握与迁移 理解描述法的结构，会用描述法表示简单集合 1.不能写出共同特征；2.在提示下完成；3.能独立规范书写 学习品质与合作 积极参与情境观察、问题讨论与课堂展示，表达清晰 1.参与度低；2.能参与讨论，表达一般；3.主动参与，表达条理清晰 学科网（北京）股份有限公司 $