辽宁省2026-2027学年高二上学期十二月份考试数学模拟卷01

▣▣ 辽宁省2026-2027学年度上学期十二月份考 试模拟卷01 高二数学答题卡 准考证号 注意事项： 1、请注意客观题填涂需清 晰，完整覆盖选项。 2、保持卡面清洁，不要折 叠，不要弄破。 正确填涂 缺考填涂标记 ■ 口 装订线 客观题(11分) 1 D 6 2 4 9 5 A B D 10A D 11ABCD 三、填空题(3分) 12 13 14 四、解答题(5分) 密封线 15.(1分) : 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第1页（共6页） ■ 16.(1分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第2页（共6页） 17.(1分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第3页（共6页） 请使用2B铅笔填涂选择题答案选项及考号 18.(1分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第4页（共6页） ■ 19.(1分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第5页（共6页） 0 0 锂合所（步合床 ■ 笨些均 游 保密★启用前 辽宁省2026-2027学年度上学期十二月份考试模拟卷01 高二数学 本卷满分xxx分，考试时间xxx分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 2．如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．记，，，，，每次从中有放回地随机选取一个空间向量，则将两次选取得到的空间向量相加后与垂直的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆的半径为3，圆心和点关于直线对称，则圆被直线截得的弦长等于（   ） A． B． C．4 D． 6．从（包含甲）人中选派人参加这三项不同的活动，且每项活动有且仅有人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．点M是棱长为6的正方体的内切球O球面上的动点，点N为上一点，，，则动点M运动路线的长度为 A． B． C． D． 8．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（    ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 11．已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．点P不可能在直线上 C．曲线E与圆有4个公共点 D．记曲线E所围成的区域的面积为S，则 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．以为圆心，1为半径的圆的标准方程为__________. 13．双曲线的顶点坐标为_________. 14．如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有_____ 种不同的种植方法． 四、解答题 15．已知圆C过曲线与坐标轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程. 16．已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于，两点，. (1)求抛物线方程； (2)点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程. 17．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，，平面平面. (1)证明：； (2)三棱锥的外接球的表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．已知为圆C：上任意一点，且点． （1）求的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． （3）求的最大值和最小值． 19．已知，分别为椭圆：和双曲线：的离心率． (1)若，求的渐近线方程； (2)过上的动点作的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《辽宁省2026-2027学年度上学期十二月份考试模拟卷01》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B C B A AC AC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】由斜率与倾斜角关系结合倾斜角范围可得答案. 【详解】设直线倾斜角为，则， ，故或. 故选：D 2．B 【分析】根据空间向量加减运算，结合长方体的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：B 3．B 【分析】由椭圆上的点到焦点的最大距离为及离心率可得椭圆方程，结合三角换元代入计算即可得. 【详解】由题意知，， 所以，，所以， 故C的方程为，设， 又， 故，， 所以 . 故选：B. 4．C 【分析】本题综合考查空间向量垂直与古典概型，枚举两次取向量相加的所有情况，筛选满足垂直条件的基本事件，代入古典概型公式计算概率. 【详解】两次选取得到的空间向量相加进行列表可得：   （1,0,0） （0,1,0） （0,0,1） （1,1,1） （1,0,0） （2,0,0） （1,1,0） （1,0,1） （2,1,1） （0,1,0） （1,1,0） （0,2,0） （0,1,1） （1,2,1） （0,0,1） （1,0,1） （0,1,1） （0,0,2） （1,1,2） （1,1,1） （2,1,1） （1,2,1） （1,1,2） （2,2,2） 设，由，得，即， 由表可知，满足要求的空间向量共6个，故所求概率. 5．B 【分析】设圆心，根据题意，列出方程组，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】设圆心，因为圆心和点关于直线对称， 可得，解得，即圆心， 则圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故选：B. 6．C 【分析】分甲被选中和甲未被选中两类情况计算，再由分类加法计数原理可得. 【详解】根据题意，分两类完成： 第一类：甲被选派参加活动：由于甲不参加和活动，故甲仅能参加活动， 剩余两项活动需从其余人中选人参加，方案数为种； 第二类：甲未被选派参加活动：需从其余人中选人分别参加三项不同活动， 方案数为种. 根据分类加法计数原理，总方案数为种. 7．B 【分析】由题意画出图形，在上取点，使，连接，由线面垂直的判定和性质可得点的轨迹为平面与球的截面圆周，求出圆的半径可得答案. 【详解】解：如图，在上取点，使，连接， 因为，所以, 因为平面，所以，则平面， 则点的轨迹为平面与球的截面圆周, 此时球心到平面的距离即为到的距离, 由题意可知，则， 所以,, 所以                               所以, 所以截面圆的半径， 所以所求轨迹的长度为 故选：B 【点睛】此题考查轨迹方程，考查空间想象能力，利用等体积法求多面体的体积，属于难题 8．A 【分析】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，设出的坐标，代入，利用模的坐标表示出，进而求得的最大值. 【详解】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示，，设，则有得，化简得，故向量对应的点在以为圆心，半径为的圆上.由于圆过原点，故圆上的点到原点的距离的最大值为直径，也即的最大值为.故选A. 【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 10．AC 【分析】利用分步乘法计数原理求解可判断A；先把5人分为4个组再安排到4项工作求解可判断B；利用分类加法计数原理求解可判断C；利用分类加法计数原理求解可判断D. 【详解】对于A，若每人都安排一项工作，则每人选择一项工件有4种选法， 所以不同的方法数为种，故A正确； 对于B，若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余3项工作各1人， 先将5人分成4个组种分法，再安排这4个组的人各负责一项工作有种， 由分步计数原理有，故B错误； 对于C，因为每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作， 故需从丙、丁、戊中选1人或2人从事司机工作， 若安排丙、丁、戊中1人从事司机工作有，若安排丙、丁、戊中2人从事司机工作有， 故不同安排方案的种数是，故C正确； 对于D，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人， 把5名同学分按3，1，1分组安排有种安排方法， 把5名同学分按2，2，1分组安排有种安排方法， 故这5名同学全部被安排的不同方法数为种，故D错误. 故选：AC. 11．BCD 【分析】首先将互换，判断两个方程是否相等，判断A，直线方程与曲线方程联立，判断是否有实根，判断B，两个曲线方程联立，判断C，首先判断曲线的范围，判断D. 【详解】将曲线E的方程中x，y互换得，与原方程不同， 所以曲线E不关于直线对称，A错误； 将代入曲线E的方程得， 因为，所以方程无实数解， 所以曲线E与直线无公共点，故点P不可能在直线上，B正确； 由得，因为， 所以，设（，）， ，设，则， 单调递增，由，得在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故，同理可得，， 将代入曲线E的方程得，即， 即，因为所以或， 故或，当时，得，当时，得或， 所以曲线E与圆有4个公共点，，，，C正确； ，因为，且， 所以，又，，所以， 故，可得曲线E在圆和之间， 所以，D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据圆的标准方程直接可得结果. 【详解】由题意可得：圆的标准方程为. 故答案为：. 13． 【分析】化为双曲线标准方程，写出顶点坐标. 【详解】因为为双曲线方程， 所以，即， 所以双曲线的顶点坐标为. 故答案为： 14．84 【分析】方法一：设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为，利用间接法，先求出排成一行的4个区域种植且相邻区域种植4种不同的种子的方法数，减去首尾区域种植相同种子的方法数，即可得；方法二：分种相同的花或不同的花两种情况，根据相邻的2块种不同的花，由分步计数原理求不同的种植方法. 【详解】方法一：设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为， 若先考虑排成一行的区域种植且相邻区域种植不同种子，则方法数应为， 若首尾区域种植不同种子时，把首尾区域粘在一起成一个环状时满足条件： 若首尾区域种植相同种子时，把首尾区域粘在一起成一个环状时不满足条件， 此方法数需从种方法中被减掉，所以， 依题意，易得，则， 即． 方法二：① 相同的花，则有种； ②不同的花，则有种， ∴共有种. 15．(1) (2)或 【分析】（1）先求出曲线与坐标轴的交点，再用待定系数法求出圆的方程； （2）分斜率不存在和存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线方程. 【详解】（1）令，则，令，则，解得或， 所以圆C过点， 设圆C的方程为， 所以，解得， 所以圆C的方程为，即； （2）由（1）可知圆C的圆心坐标为，半径， 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为， 此时圆心到直线的距离为，不符合条件； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即 此时圆心到直线的距离为， 解得或， 所以直线l的方程为或. 16．(1)；(2)答案见解析. 【详解】试题分析： （1）依题意，分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得抛物线方程. （2）设，，则，，直线联立直线方程与抛物线方程可得，点到直线的距离，则，当且仅当时等号成立，直线方程为或. 试题解析： （1）依题意， 当直线的斜率不存在时， 当直线的斜率存在时，设 由，化简得 由得，，所以抛物线方程. （2）设，，则，又由，可得 因为，，所以，故直线 由，化简得，所以. 所以 设点到直线的距离为，则 所以，当且仅当，即 ,.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 17．(1) 证明：如图，取的中点，连接，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 依题意平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，再由面面垂直的性质定理得到平面，即可得到，再由直三棱柱的性质得到，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设，设棱锥的外接球的球心为，即可得到方程组，从而求出球心坐标，再由半径求出，最后利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，如图建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 因为棱锥的外接球的表面积为，设外接球的半径为，则，解得， 设棱锥的外接球的球心为， 则，即， 解得，所以球心， 因为，所以，解得，所以， 所以，，又， 所以，，， 设平面的法向量为，则，不妨取， 设平面的法向量为，则，不妨取， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 18．【小问1】最大值为，最小值为     【小问2】最大值为，最小值为     【小问3】最大值为9，最小值为1 【分析】（1）利用图形及点与圆的关系即可得结果； （2）利用图形将问题转化为斜率最值即可； （3）利用图形将问题转化为直线与圆的位置关系； 【详解】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值， 即， 与B重合时取得最大值即，故最大值为，最小值为； （2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示. 可设，则C到其距离为，解得， 故最大值为，最小值为 （3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1. 19．(1) (2)是，定值为 【分析】（1）根据椭圆和双曲线离心率公式可求出，进而可求出双曲线渐近线方程； （2）先证明过点的椭圆的切线方程为，进而求出两切点所在直线方程，再联立渐近线方程求出两切点所在直线与两条渐近线的交点，然后根据面积公式和各个量之间的关系计算整理即可. 【详解】（1）由题意得，，所以， 又，解得，故双曲线的渐近线方程为， （2）设两个切点，，由题意知，斜率存在， 下证切线的方程为， 联立，得， 因为，即，则上式可化为， 所以， 直线的方程为：， 所以切线：，同理切线方程为：， 由，过点可得，可得直线的方程为， 联立，解得； 联立，解得； 不妨设直线与双曲线两渐近线交于两点为，， 则围成三角形的面积 因P在双曲线上，，则为定值． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $