6.3.3 余角和补角 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

6.3 角 6.3.3 余角和补角 R·七年级上册 学习目标 1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质. 2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 新课学习 余角的概念 一般地，如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角( 简称这两个角互余 )，即其中一个角是另一个角的余角. 1 2 如图，∠1 和 ∠2 互为余角，∠1 是 ∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角. 新课学习 补角的概念 类似地，如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 )，即其中一个角是另一个角的补角. 4 3 如图，∠3 和 ∠4 互为补角，∠3 是 ∠4 的补角，∠4 是 ∠3 的补角. 新课学习 补角与余角的一些注意事项： 1.余角（补角）是成对出现的，单独的一个或者两个以上的角不能称为余角（补角）; 2.一个角的余角（补角）可以有很多，但是度数都相等; 3.若两个角互余，则这两个角一定是锐角，若这两个角互补，则这两个角可以为两个直角，也可以为一个锐角，一个钝角; 4.互余或者互补，只与度数有关，与位置无关. 新课学习 练一练：图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 120° 150° 170° 100° 10° 30° 60° 80° 新课学习 思考一下：∠1 与∠2，∠3都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角， 所以∠1+∠2 =90°，∠1+∠3=90° 即∠2 =90° -∠1，∠3 = 90°-∠1. 所以∠2 =∠3 . 新课学习 思考一下：∠1 与∠2，∠3与∠4都互为余角，并且∠1=∠3，那么∠2 与∠4的大小有什么关系？ ∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3， 则∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3， 所以“等角的余角相等” 所以∠2=∠4 知识点二 余角、补角的性质 思考1：如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠1与∠3互为余角， 所以∠3＝ 90°-∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 同角的余角相等 思考2：已知：∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 解：因为∠1与∠2互为余角， 所以∠2＝ 90°-∠1， 又∠3与∠4互为余角， 所以∠4＝ 90°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4. 等角的余角相等 思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠1与∠3互为补角， 所以∠3＝ 180°-∠1， 根据等式的性质，∠2=∠3. 同角的补角相等 2 解：因为∠1与∠2互为补角， 所以∠2＝ 180°-∠1， 又∠3与∠4互为补角， 所以∠4＝ 180°-∠3， 因为∠1=∠3 根据等式的性质，∠2=∠4. 思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 等角的补角相等 归纳： 类型 性质 数学语言 余角 补角 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 ①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 ①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 那么∠2＝∠3； ②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4 例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析： 找90° 点A，O，B在同一直线上 平角180° 角平分线 两个角互为余角 解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OC分别平分∠AOC和∠BOC，所以 所以，∠COD和∠COE互为余角. 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角. 随堂演练 1.∠1与∠2互为补角，且∠1>∠2，则∠2 的余角是（ ） A.∠1+∠2 B.∠1-∠2 C.∠1-90° D.90°-∠1 C 2.如图，O为直线 AB 上一点，OD 平分∠AOC，∠DOE=90°. （1）图中共有_____对互补的角； （2）若∠AOD=50°，求∠BOC 的度数. 5 （2）解：因为OD平分∠AOC，∠AOD=50° 所以∠AOC=2∠AOD=100°， 所以∠BOC=180-∠AOC=80°. 3.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 【选自教材P177 练习 第1题】 解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°. 【选自教材P177 练习 第2题】 4. 一个角是70°39'，求它的余角和补角. 解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′. 5. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？ 解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°.所以∠α是 45° 【选自教材P177 练习 第3题】 6.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数，而∠AOB与∠BOC互为补角，故∠AOB=180°-∠BOC C 【选自教材P177 练习 第4题】 D 当堂检测 C A A B 70° 互为余角 互为补角 两角间的关系 性质 课堂小结 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° Lavf58.20.100 $