2.1.2 抽象函数与量词讲义-2027届高三数学一轮复习

错因诊断 第 2 模块 · 函数 · 审题 2.1.2·审题 —— 抽象函数与量词的读法 1 先定位 这一篇只处理一件事：你在纸上落下第一行算式之前，有没有把符号和量词读准。函数这一章有两类题，模样全是代数，其实全错在“读”上：一类是 后面括号里塞着别的东西，一类是句子里藏着“任意”和“存在”。它们的共同点很讨厌——算式一行没算错，答案却是另一道题的答案。 先认领环节。 · 第一问：题目上的每个词，你把它的全部含义解出来了吗？卡在这里——你看到 ，心里想的是“把 换成 ”，却没问过这个 与右边的 是不是同一个东西；你看到“定义域”，没问过这是谁的取值范围。这是审题。 · 第二问：条件都解出来了，你知道它们该往哪走吗？卡在这里——你知道要比两段值域的包含关系，却不知道怎么求最值、要不要分离参数。这是思维，本篇不展开。 · 第三问：知道往哪走，你把它写成别人能复现的过程了吗？卡在这里——交集算出 ，你写成 [1,1]，或者干脆把这一步漏掉。这是表达，本篇不展开。 第一关内部还能再切四刀：括号里的整体是谁、定义域的主语是谁、量词管到哪里、有解与恒成立各看哪一端。四个读词动作，一个比一个隐蔽——最后一个连“读错”都不像，它像“算错”。 表 1: 五问速查：判据与信号 元错因 一句话判据 你身上有没有这种做法 本篇 ① 量词读反 条件是“所有”还是“有一个”，你分清了吗 看到“存在”就写值域有交集；看到“有解”就去求最小值 涉及 ② 分类遗漏 该分的情况，你想全了吗 含参二次项系数没讨论 ，端点漏验 — ③ 转化不等价 这一步改写，反过来还成立吗 两边平方、去分母、开偶次方时没留条件 涉及 ④ 特例当证明 你是用一组数验证就收笔吗 代两个点就断言“对所有 都成立” — ⑤ 范围失守 你算出的值，都在题目允许的范围内吗 换元之后定义域没跟着迁移，答案多出一截 涉及 表现清单 表现一　□　看到 ，第一反应是“把 换成 ”，从未想过这两个 各自在管什么。 表现二　□　由 的表达式求 ，代换只做一半：左边换、右边不换，或者左边退一步、右边进一步。 表现三　□　题目说“定义域是 [0,2]”，你把这四个字符端端正正抄进答案栏，没问过它是谁的刻度。 表现四　□　两个 同时出现，你把两个范围拼成一个更长的区间，而不是取交集。 表现五　□　“任意”“存在”“有解”“恒成立”在你眼里都是“成立”，一整句读完，说不出谁在管谁。 怎么用这份清单。勾中 1–2 条：问题集中在“括号整体”这一层，把第 4 节的动作一、动作二各做五遍就够。勾中 3–4 条：读词的习惯整体缺位，三条动作从第一条开始走，不要跳。勾中 5 条：先把第 7 节的备忘卡抄在草稿纸角上，之后每道函数题动笔前对一遍，连着十道再回头看本篇。 2 典型错误 三个典型错误，每个只错一处：第一个错在“代换了哪个式子”，第二个错在“两段范围怎么合”，第三个错在“哪句话被翻成了包含”。除了那一处，其余每一步都是对的——这正是它们难以自查的原因。 典型错误一：代换的方向反了 题目 已知 ，求 的解析式。 典型错解 在 中，把左边的 换成 ，右边的 也照样换成 ： 错在哪一行。错在“照样”两个字。把 里的 整体换成 ，等价于把原式里的 全部换成 ；而他把右边的 换成了 。左边退一步、右边进一步，自变量被推远了 2。 底下的原因只有一句话： 里的 与 里的 ，不是同一个 。在同一个式子里，各个位置的 指同一个数；但两个不同式子里的 各管各的。 的完整意思是：送进 的是 ，出来的是 ——注意右边这个 ，它是“送进去的那个数减 1”，只是把输入记下来的一种写法，不是 认的那个变量。 当场正解 设 ，则 。 所以 。 回代检验：，与原式一致。 错解的迷惑性。 是一个完全正常的二次函数，展开对、合并对、系数也对，卷面上找不出破绽。更麻烦的是它并不乱来：它恰好满足 。也就是说，他求出来的其实是 ，只是贴了 的标签。这种错误检查不住，因为每一步都合法，错的只是“这一步代表什么”。 还有一句顺口的话在帮倒忙：“ 是把 的图象向左移一个单位。”这话本身没错，但要用它必须反过来推：图象已经左移了，想把 取回来，得把 换成 。方向一错，正好落进这个错解。 换个样子还会遇到。 · ，求 ：错解把左边 换成 、右边 换成 ，得 ；正解令 ，，得 。 · ，求 ：除了代换方向，还要把“括号里只能填非负数”一并带走，答案是 ，且必须注明 。 · 反方向的题不考代换：已知 ，求 ，这时才真的是“把 换成 ”。两个方向写出来几乎一样，题目问的是哪一个，要看清。 · 两步代换更容易乱：已知 ，求 。先按动作一求出 ，再把 换成 ，得 。中间那一步若还是“两边同时换”，误差会翻倍。 典型错误二：两个范围该交不该并 题目 已知函数 的定义域为 [0,2]，求函数 的定义域。 典型错解 由 的定义域为 [0,2]，得 ，即 ； 再由 ，得 。 取并集，得 的定义域为 ，即 [−1,3]。 错在哪一行。最后一步。 要有意义，两个 必须同时有意义，两段范围只能取交集： 当场正解 有意义 ； 有意义 。 有意义 ⟺ 两式同时成立，取交集得 。所以 的定义域为 {1}。 抽查： 时 ，两项都在定义域内； 时 ， 没有意义。所以定义域确实只有 1 这一个数。 错解的迷惑性。两个不等式都解对了，[−1,1] 与 [1,3] 也没算错，错的只是最后一步“合并”的方式。而 这个结果太整齐——学生一看“合成了一个干净区间”，反而觉得是自己做对了。 真正让人不敢写的是正确答案本身：{1} 只有一个数。定义域怎么会只有一个数？很多人算到交集是 ，第一反应是“肯定哪里错了”，回头把 改回来。这里要认死理：题目允许的 只有这一个，那定义域就是这一个数。 换个样子还会遇到。 · ， 的定义域仍是 [0,2]：由 与 得 。 · 同样的道理你在初中就做对过：求 的定义域，你会解 且 得 [1,2]，绝不会写成 。同一件事，换成 你就改了口。 · 交出来的范围可以是一整段： 的定义域为 [0,4]，求 的定义域。两个条件分别是 与 ，取交得 [1,2]——交不是交不出来，是你的手先去拿了并集。 典型错误三：任意被读成了存在 题目 设 ，；，。若对任意 ，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 典型错解 在 [1,2] 上的值域为 [1,4]， 在 [0,4] 上的值域为 。 要使 成立，只需两段值域有公共元素，即 由 且 ，得 。 错在哪一行。“只需两段值域有公共元素”这一句。题目说的不是“方程有解”，而是“每一个 都能找到一个 与它相等”。 被“任意”管着，你无权挑一个好说话的 去和 那边对上。所以正确的条件是整段值域装进另一段：。 当场正解 的值域为 [1,4]， 的值域为 。 “对任意 ，存在 ，使 ”的意思是： 取到的每一个值， 都取得到。即 所以 且 ，得 。 校验： 时 的值域为 [0,4]，包含 [1,4]； 时 的值域为 [1,5]，也包含 [1,4]； 时 的值域为 [−0.5,3.5]，而 找不到对应的 ，不合要求。 错解的迷惑性。三步都算对了：值域算对了，“有公共元素”这个条件在他脑子里也没列错，不等式更没解错。错的只是“有公共元素”这四个字对应的那句话。而“方程有解 ⟺ 两段值域有交集”是所有老师讲过、所有教辅写过的一句，学生早已形成条件反射——看见两个函数、看见等号，就往“有交集”上想。 换个样子还会遇到。 · 把“对任意”改成“存在”，条件立刻从“整段装进去”退成“擦到边就行”，答案从 [0,1] 变成 [−3,4]——长度从 1 变成 7。 · 两个函数换个位置，“对任意 、存在 ”就是 的值域装进 的值域，包含方向整个翻过来。 · 概率里的“至少有一个”与“每一个都”，集合里的 与 ，都是同一件事的两种说法。会读一种，另一种就不该再错。 · 同一个条件常换三种说法：“ 的值域含于 的值域”“ 能取遍 的所有值”“对 的每一个函数值，在 那边都有解”。三句是同一句，读题时要能在心里译成同一句。 把三段值域画在同一根数轴上，差别一眼就出来。 图 1: 包含与相交是两件事 上一条与中一条是包含关系， 的每一个值 都接得住；上一条与下一条只是相交， 那个值就掉在了 的值域外面。同一个题目，只差“任意”两个字，图就是这两种样子。 3 错误解剖 三个典型错误、三处随堂纠错，六次都栽在同一个动作上：动笔之前，没有先问一句“这个符号在管谁”。下面这张表把六处位置摊开。 六个位置分两组。一组藏在符号里： 后面括号里那一整串、定义域这个词的主语、两个 之间那个没写出来的“且”。这一组靠盯符号解决。另一组藏在句子里：量词管的是谁、“有解”还是“恒成立”、偶函数的主语是谁。这一组靠把整句改写一遍解决。两组都不难，难在没人提醒你——所以表先摊开，再一条条说。 两组的分界不在难度，在动作：前一组靠盯，后一组靠念。盯是拿笔圈起来，念是把整句出声改成一句人话。这两件事都不能在脑子里默默做——脑子里的改写查不出来，纸上留下的才作数。 表 2: 错因在题目上的位置 题目位置 要盯住的词或符号 读错的后果 对照 记号 括号里的那一整串 把 当成自变量，求 时代换方向反 错误一 定义域那句话 主语是函数，还是括号里的式子 直接抄成答案，或答成括号整体的范围 错误二 两个 并存时 中间省略的那个“且”字 该取交集却取了并集 错误二 “对任意”“存在” 量词管的是哪个字母 子集条件被读成相交条件 错误三 “有解”“恒成立” 存在，还是所有 该看最大值却去看最小值 纠错一 偶函数那句话 变号的是 还是 误判 为偶函数，对称轴找错 纠错三 （一）括号里的整体才是输入 把 当成一台机器：写 ，括号里塞什么，机器就加工什么。 是送 进去， 是送 进去。同一台机器，喂的东西不一样。 所以 这句话在说什么？说的是“送进 ，出来 ”。这里的 不是 认的变量，它只是“送进去的那个数”的记法。要求 ，就必须把记法换成“送进去 ”：原来那个 要让位给 。这一步看是看不出来的，只能设 。 学生之所以在这里出错，是因为字母 太顺手了。同一个等式里，左边的 和右边的 确实指同一个数，这让人形成一种错觉： 是一个固定的、走到哪都一样的名字。可一旦要写 ， 就换了身份——它从“原来的输入减 1”变成了“新输入本身”。两个 同名不同身，这是抽象函数最别扭、也最必须过的一关。 （二）“定义域”的主语是函数 函数的定义域，指的是“括号里允许填的范围”。 的定义域是 [0,2]，意思是往 的括号里填的数必须落在 [0,2] 内。 现在写 。括号里填的是 ，所以约束落在 上；而答案那一栏要的，是 的范围。这是两套刻度：题目给的是“括号里的刻度”，答案要的是“ 的刻度”。定义域迁移，就是在这两套刻度之间走一趟。 学生常把它们当成一套：题目说“定义域是 [0,2]”，他就把 [0,2] 端端正正抄进答案栏。抄的时候他没意识到，自己把“括号里的刻度”贴到了“ 的刻度”的位置上。换算方向只有一个，做两遍就顺手：先把给的刻度换成括号整体的刻度，再从括号整体的刻度换到新的 。 （三）量词是管辖范围的标记 “任意”和“存在”不是语气词，它们决定这句话里谁有挑选权。 · “对任意 ，存在 ”： 先被随机点名，你没得挑；然后才去找 。找得到的 可以随 变，但每一个 都必须配得上一个。 · “存在 ，对任意 ”： 由你挑，一旦挑定，它要顶住所有的 。 两句话只差一个逗号的位置，含义差得很远。判断的口诀很短：谁在前面，谁先被固定。前面是“任意”，就是最坏情况也要扛住；前面是“存在”，就是可以先挑一个最好的。 “有解”是“存在 使不等式成立”的缩写，对应“挑一个最好的”，所以看最大值；“恒成立”是“对任意 不等式都成立”的缩写，对应“最坏情况也要扛住”，所以看最小值。题目里这两个词只差两个字，算的时候差一个“最大/最小”——而这个差别，能差掉半个答案区间。 再记两个常被当成口语的说法。“至少有一个”就是“存在”，只要不是“一个都没有”就算成立。“至多有一个”则相反，它说的是“不可能同时出现两个”，读的时候要把它改写成“若有两个，则这两个相等”——一句话变两句，条件常常就在这一步丢掉。 4 修复动作 不要记“读题要仔细”。记三个动作，每个动作都能在卷面上留下痕迹，做完别人看得见。 动作一：先框住整个括号 做法。读题时用笔把 的括号连同里面那一整串整个框住。凡是要“由 求 ”，一律走三步：设 框里那一整串 → 用 把原来的 反解出来 → 把右边每一个 都换成 的式子，算完再改名。最后补一步回代。 示范。已知 ，求 。 ①框住 ，在旁边写“输入 ”。 ②设 ，则 。 ③代换： 所以 。 ④回代： 回到原题。来不及验算也不要紧，把 代进去对一下数就行。 动作二：给定义域标刻度 做法。见到“定义域”三个字，先问“这是谁的刻度”，在题目给的数字上方标一个小字“整体”，在答案栏上方标“”，中间画一个双向箭头。箭头只许在“ 的刻度”和“整体刻度”之间走，不许一步跳到答案。 示范。已知 的定义域是 [0,2]，求 的定义域。 ①“ 的定义域是 [0,2]”——主语是 这个函数，它的自变量是 ，所以这句给的是 。在 [0,2] 上方标“”。 ②换成整体刻度：。这是 的输入范围，标“整体”。 ③换成新题的自变量：，得 。 ④答案 。抽两个端点验： 时算的是 ，3∈[1,3]，可以； 时算的是 ，也可以。 动作三：把量词连到变量上 做法。在“任意”“存在”“有解”“恒成立”下面画一道线，线的末端连到它管的那个字母上；然后把整句改写成一句不带数学符号的话，写在题目旁边。改写完成之前不许动笔算。 示范。“对任意 ，都存在 ，使 ”。 连线：任意 ，存在 。 改写： 在 [1,2] 上取到的每一个值， 都能取到。 再压缩一句： 的值域整段装进 的值域。 到这一步才写 。改写出来若是“每一个……都能……”，就用包含；若是“有一个……就行”，就去看最大值；“每一个都不能……”就看最小值。 5 随堂纠错 下面三处只给错解那一句。拿张纸遮住指要，先自己判断错在哪一行，再往下看——判断对了，说明你已经在用本篇讲的那套读法。 纠错一：有解被读成了恒成立 题干。若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围。 错解片段。由 得 ，即 。要使不等式在 [1,2] 上恒成立，只需 小于 的最小值。设 ，它在 上递减、在 上递增，故最小值 。所以 。 错因指要。原题写的是“有解”，他嘴里念的却是“恒成立”。“有解”等于“存在一个 让不等式成立”：只要有一段 能用，就够。 的最大值是 2（在 处取到，而 、 都比它小），所以只要 ，取 就能让不等式成立。他求了最小值，把一整片能用的 砍掉了。 错解的迷惑性。 求对了，单调性分对了，最小值也算对了（），只有“最大/最小”四个字错。而他给出的 恰好落在正确答案 里面——这是最危险的一种错：范围偏小，平时练习很难撞上，撞上了也只会觉得“这题答案怎么这么怪”，不会怀疑自己的读法。 纠错二：量词的顺序被跳过了 题干。设 ，；，。若存在 ，使得对任意 都有 ，求 的取值范围。 错解片段。要使 对任意 成立，只需 不小于 的最大值，即 。再对 取最小值，得 ，所以 。 错因指要。前半段是对的： 在 [0,2] 上递增，最大值为 ，所以要有 。错在最后一句“再对 取最小值”。题目是“存在 ”—— 由你挑，挑定之后才去顶所有的 。既然是挑，当然挑最高的那个：，。于是 ，得 。他把“可以先挑一个最好的”读成了“每一个都要保险”，挑选权就这么丢了。 错解的迷惑性。“要保证对所有情况都成立，所以取最保险的值”——这句话本身完全正确，可惜它属于“对任意 ”，不属于“存在 ”。两句话挨在一起，学生读的时候一口气滑过去，前半句的谨慎被顺手套到了后半句上。这类错误查不出来，因为每一步都是“更保险一点”，没有一个动作显得可疑。 纠错三：偶函数的主语是谁 题干。已知 是偶函数，且 在 [1,+∞) 上单调递增，比较 与 的大小。 错解片段。 是偶函数，故 ，即 是偶函数，所以 。又 1<2，且 在 [1,+∞) 上递增，所以 。故 。 错因指要。变号的是自变量 ，不是 。 是偶函数，说的是 满足 ，即 它说的是 的图象关于直线 对称，跟 自己是不是偶函数毫无关系—— 为偶函数要的是 ，对称轴在 轴。−1 与 3 关于 1 对称，故 ；又 1<2<3， 在 [1,+∞) 上递增，故 ，即 。 错解的迷惑性。“偶函数”三个字太熟，一看见它，手就自动写出 ，根本没看这个偶函数的主语是谁。而 这个结论顺得让人不想怀疑。想验也不难：取 ，它满足“ 是偶函数”，也满足在 [1,+∞) 上递增；此时 ，，两个数一摆，错解立刻塌。 6 练习 题 1 已知 ，求 的解析式。 题 2 已知函数 的定义域为 [−1,3]，求函数 的定义域。 题 3 设 ，；，。若对任意 ，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 题 4 若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围。 题 5 设 ，；，。若存在 ，使得对任意 都有 ，求实数 的取值范围。 题 6 已知 是偶函数，且 在 [1,+∞) 上单调递减，比较 、、 的大小。 7 错因备忘卡 剪下来贴在错题本第一页。每一条都是一个能看见的动作，不是一句提醒。 抽象函数：动笔前的六道关 1．圈。 的括号连同里面那一整串，整个圈住——那才是 的输入。 2．设。设 圈里那一整串，把原来的 反解成 的式子。 3．代。右边每一个 都换成 的式子，算完再改名成 。 4．回。把括号里的式子代回去，能回到原式才算完。 5．找主语。“定义域”问“谁的刻度”，“偶函数”问“谁在变号”；两个 同时出现，范围取交集，只剩一个数也照写。 6．量词。先连线再动笔：“每一个都能”写包含，“有一个就行”看最大值，“谁在前谁先固定”。 附 参考答案与解析 练习 题 1答案：。 设 ，则 。代入得 所以 。 回代检验：，与原式一致。 题 2答案：[0,1]。 有意义，要求 ： 有意义，要求 ： 两项必须同时有意义，取交集： 两个条件各管一端：右端 1 来自第一个，左端 0 来自第二个。抽查： 时原式为 ，两项都在定义域内； 时为 ，也可以； 时出现 ， 不行； 时出现 ，也不行。 题 3答案：。 先求两段值域。，顶点 落在 [0,3] 内，故 值域为 [−1,3]。 在 [0,5] 上递增，值域为 。 “对任意 ，存在 使 ”要求 取到的每个值 都取得到，即 于是 且 ，即 且 ，所以 。 校验： 时 的值域为 [−1.5,3.5]，包含 [−1,3]； 时值域为 [−2.5,2.5]， 落在外头，不合。 题 4答案：。 不等式即 。记 ，它在 [1,3] 上递减，故 φ(1)=1,  φ(3)=−3, 值域为 [−3,1]，最小值为 −3。 “在 [1,3] 上有解”指的是存在一个 使 。只要 比 φ 的最小值大，取使 φ 最小的那个 就能成立；若 ，则对一切 都有 ，无解。所以 。 校验： 时原式为 ，在 [1,3] 上不超过 0，只有 处等于 0，不满足“大于 0”； 时取 得 9−6−2.9=0.1>0，有解。 题 5答案：。 在 [0,2] 上递增，最大值 ； 在 [0,2] 上递增，最大值 。 题目先说“存在 ”： 由我们挑，挑定之后要顶住所有 。要顶住所有 ，就得顶住其中最大的 。故只需存在 使 ，即 得 。 校验： 时 的值域为 [2,4]，取 得 恒成立； 时 的值域为 [2.5,4.5]， 的最大值 4<4.5，无论怎么挑 都顶不住。 题 6答案：。 是偶函数，即 满足 ，故 取 ，得 ；这说明 的图象关于直线 对称。 又 1<4，且 1,4 都在 [1,+∞) 内， 在此区间上单调递减，故 。 综上，。 （若取 验证：，，与结论一致。） 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $