2.1.1 函数定义域讲义-2027届高三数学一轮复习

错因诊断 第 2 模块 · 函数 · 审题 2.1.1·审题 —— 定义域的四处埋伏 1 先定位 函数题里最冤的一类丢分，是式子全部算对、答案却整段不对——不是不会算，是“哪里能取、哪里不能取”没有读出来。定义域很少被印成一个条件，它埋在分母上、根号下、对数里，也埋在题目的文字里。 本篇只处理第一关：题目上的每个词和每个符号，你把它的全部含义解出来了吗？具体到本篇：见到一个式子，你能不能立刻说出它的变量在哪里有定义；见到一句文字，你能不能把它翻译成一条取值限制。条件解出来了却不知道往哪走、想清楚了却写不成过程，那是另外两篇的事。 埋伏一共四处：前三处印在解析式的符号上，看得见；第四处藏在题目的文字和大括号旁，看不见。下面这张表把四处埋伏和对应的表现放在一起，勾中三条以上，这一篇就是给你写的。 表 1: 四处埋伏：判据与错误表现 埋伏处 一句话判据 错误表现 分母上 式子里的分母，你保证它不为零了吗 □ 约分之后直接用新式子求值域，多出取不到的值 □ 解方程时两边约去含 的因式，把 丢了 根号下 偶次根号里的式子，你保证它非负了吗 □ 换元 之后把 当成任意实数，最值取在够不到的点 □ 根号里的不等式把“≥0”解成“>0”，丢掉等号 对数里 对数的真数，你保证它大于零了吗 □ 求单调区间没先写真数大于零，区间跨进没有定义的地方 □ 解对数方程，解出的根不逐个验真数，增根留着 文字里 文字里的限制、每段旁的范围，你写进算式了吗 □ 应用题里只顾配方，最值取在围不出来的方案上 □ 分段函数里解出另一段才有的根，没有按段舍去 怎么用这份清单。勾中 1–2 条：埋伏还在，但你大体有防备，重点读第二节的三个典型错误；勾中 3–4 条：你丢的分大多不是算丢的，是读丢的，把第四节的三个动作练成习惯；勾中 5 条以上：先别急着做题，把第七节的备忘卡抄一遍再回来。 2 典型错误 三个典型错误，分别踩中根号、对数、文字三处埋伏；分母那一处最直白，放到随堂纠错里先见。每个典型错误都只错在一处，而且那一处不在计算上。读的时候先盖住“错在哪一行”，自己找一遍。 典型错误一：换元忘了新元的范围 题目 求函数 的值域。 典型错解 设 ，则 ，于是 所以函数的值域为 。 错在哪一行。最后一行。换元本身没错，配方也没错，错在把 当成了可以任意取的实数。 是一个根号，根号只吐出非负数：。而 要在 处才取得到——这个值从一开始就不存在，建立在它上面的最大值自然是空的。 你多半会说：“我检验过啊， 对应 ，在定义域 里。”确实在。但你验的是 的范围，不是 的范围——把 代回原函数，，不是 。 的意思是“根号算出了负数”，这句话本身就矛盾。 当场正解 定义域为 。设 ，则 ，且 ，代入得 该二次函数图象开口向下，对称轴 落在允许范围 的左边，所以在 上， 随 增大而减小。 （即 ）时取最大值 ； 越大 越小，且可以任意小。故值域为 (−∞, 2]。 回验： 时 ，取得到； 需要 ，无解，取不到。 图 1: 错解给出的最大值点不在曲线上 曲线一路上升，到右端点 (2,2) 就停了——再往右函数没有定义。错解声称的最大值点悬在曲线上方，那个点不属于这个函数。 错解的迷惑性。配方干净利落，“最大值在对称轴处取得”也背得滚瓜烂熟，整段解答看起来就像标准答案。它输在根号的身份上： 不是一个新变量，是 的化名；名字可以换，根号的非负性不能丢。这个错还有一个放大器—— 对应的 真的在定义域内，随手一验反而让你更信自己。 换个样子还会遇到。凡换元处皆有此坑：设 ，则 ；设 ，则 ；设 ，则 。动作统一：换元那一行，把新元的范围写在旁边，后面所有最值都只在这个范围里找。 典型错误二：真数大于零是第一行 题目 求函数 的单调递减区间。 典型错解 记 ，其图象开口向上、对称轴为 ，所以 在 (−∞,1] 上递减、在 [1,+∞) 上递增。又 单调递增， 所以 的单调递减区间为 (−∞,1]，单调递增区间为 [1,+∞)。 错在哪一行。第一行起就错了：通篇没有出现过“真数大于零”。真数必须满足 ，解得 或 。顶点 处 ，函数在那里根本没有定义——拿它当分界点，分出来的是别的函数的区间。 你多半会说：“单调区间本来就该用对称轴分。”那是内层二次函数 的分法。外层的 只在 时存在，所以复合之后的函数只活在 上，增减区间的每一个点都不许越过这条线。 当场正解 真数大于零：，即 ，解得 或 。定义域为 记 ：在 (−∞,1) 上递减，在 (1,+∞) 上递增； 在 上递增，增减与内层一致。 再与定义域取交集：递减区间为 (−∞,−1)，递增区间为 (3,+∞)。 图 2: 真数大于零，图象只剩两支 两条虚线之间（）真数非正，函数不存在；左支一路下降、右支一路上升。 处连点都没有，自然当不了分界点。 错解的迷惑性。复合单调的判断一步没错，对称轴也算对了，这是它最像正解的地方。漏掉的真数条件不产生任何计算量——它只是一行不等式——恰恰因为“不算东西”，最容易被当成可省的步骤省掉。 换个样子还会遇到。、、 都一样：真数大于零先写。它还会以别的面貌出现：求定义域、比较大小、解不等式 ——最后这种要先写 ，再解 ，两条同时成立，缺一不可。 典型错误三：墙长是条件，不是摆设 题目 用一段长为 16 米的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙。可利用的墙长最多为 6 米。问：怎样围，菜园的面积最大？ 典型错解 设垂直于墙的边长为 米，则平行于墙的边长为 米，面积 所以当垂直于墙的边长为 4 米、平行于墙的边长为 8 米时，面积最大，为 32 平方米。 错在哪一行。最后一行。配方没错，32 也确实是这个二次式的最大值——但方案本身不存在：平行于墙的边要占 8 米墙，题目只给 6 米，这个矩形围不出来。 的取值范围被整段跳过了。 你多半会说：“题目问面积最大，我求出最大值就行了。”题目问的是“怎样围”——围得出来是前提。应用题里每个名词都是条件：篱笆总长 16、墙最多 6、边长必须是正数，这三条共同决定 能取哪里。 当场正解 设垂直于墙的边长为 米，先把全部限制列成不等式： 解得 。 此时 ，图象开口向下、对称轴 ，在对称轴右侧递减，所以在 [5,8) 上递减，最大值在左端点 处取到： 即垂直于墙的两边各 5 米、平行于墙的边 6 米（恰好用满墙长），最大面积为 30 平方米。 图 3: 顶点在允许范围外，最大值取在端点上 抛物线的顶点在 处，值是 32——但允许范围是 [5,8)，顶点落在范围外。曲线在允许范围内一路下降，最大值落在左端点 上。错解不是把数算错了，是把一整条抛物线当成了答案，而题目只允许用其中一段。 错解的迷惑性。32 比 30 大，而且来自漂亮的顶点公式；30 来自“看端点”的笨办法——考场上人人倾向于相信前者。配方、顶点、最大值一气呵成，每一步都是练得最熟的动作；唯独“墙只有 6 米”这句大白话，从头到尾没进过算式。 换个样子还会遇到。应用题的文字限制五花八门：时间非负、件数为正整数、数量不超过库存、边长受材料长度限制。它们从不自己变成不等式——你不翻译，它们就永远站在算式外面。凡是求最值的应用题，动笔第一件事：把每个名词翻译成一条不等式，解出自变量的实际范围，再谈最值。 3 错误解剖 三个典型错误、三个随堂纠错，看上去是六件事，其实是同一个动作没做：把“哪里不能取”从式子和文字里解出来，写成一行明明白白的条件。 在逐条剖析之前，先把本篇六个错因在题目上的位置摊开。函数题的题目只有六处地方能埋坑。知道坑在哪，读题时才有地方盯。 表 2: 六个错因在题目上的位置 题目位置 要盯住的词或符号 读错的后果 对照 分式分母 分母整体、约分的那道横线 约分后丢 ，值域多出取不到的值 纠错一 偶次根号 根号下的整式、换元设的 新元当任意实数，最值取在够不到的点 典型错误一 对数真数 符号后的整个式子 单调区间跨进无定义区，增根留下 典型错误二、纠错三 题目文字 墙长、不超过、为正、件数 最值取在围不出来的方案上 典型错误三 分段大括号 每段旁边的范围 解出另一段才有的根，没有按段舍去 纠错二 复合括号 括号里的整体 定义域抄成 的范围 练习题 6 这张表不用背。做完一道函数题，回头对着表扫一遍：六处地方，刚才有没有哪一处没停下来过？没停过的地方，就是下次丢分的地方。 范围没有形状，计算有形状 卷面上的每一步计算都有形状：约分有一道横线，配方有一个方框，看得见、写得下，容易被当成“进度”。而定义域没有形状——它是“这个变量只能在这里活动”的一句话，不占格子、不算步骤。于是它成了整张卷面上最容易被省略的东西：不是你决定跳过它，是它看起来根本不在场。可是它管着三件事：根能不能取（对数方程的 ）、区间能不能并（ 的两支不能并成一支）、最值在哪取（篱笆的最大值落在端点 上）。这三件事，每一件都直接写在答案里。 式子变了形，范围没有跟着走 约分、换元，都是合法变形，但每一条都带着一句“在……前提下”：约去 的前提是 ；设 的前提是 。变形改变式子的外形，前提不会自动跟着走——它只写在原来的式子上，你不在新式子旁边抄一遍，它就丢了。纠错一丢的是 ，典型错误一丢的是 ，丢法一模一样：盯住了新式子的样子，忘了旧式子的身份。 没翻译的条件，进不了算式 墙长 6 米在题目里明明白白印着，可它是一个名词短语，不是不等式；分段函数每段旁边印着 、，可你解 时不回头查，它们就不起作用。条件从文字进入算式的唯一通道是你动手翻译：列一条不等式、写一次范围。四处埋伏里，这一处最值得警惕——前三处长着“危险的样子”：分母、根号、对数，见了就知道要停；第四处是一句描述情景的大白话，长得完全无害。 4 修复动作 不记“要细心”。要记三个动作，每个动作都落在卷面上，能看见、能检查。 动作一：第一行写定义域 做法。只要解析式里出现分母、偶次根号、，解答的第一行就是定义域，与题目问什么无关。写法是把三句话各写成一个不等式：分母不为零、根号里非负、真数大于零，联立解出，用区间写清楚。这一行写完，后面解出的每个根、每段区间，都要在这一行上过筛。 示范。拿典型错误二的题目走一遍。第一眼看到 ，第一行先写真数条件：真数大于零，即 ，解得 或 ，定义域为 。写完这一行，再记 、谈增减——此时每一段区间都会自动和这一行取交集，(−∞,1] 这种区间根本写不出来，因为 这一类的点早被第一行挡在了门外。 动作二：换元先写新元范围 做法。设新元的同一行，就把它的范围写上： 旁边写 ， 旁边写 。后面所有关于 的配方、对称轴、最值，都只在这个范围里找。范围写在设元处，不是等到最后再补——最后一刻才想起来的东西，多半已经用不上了。 示范。拿典型错误一：。第一行写“设 ，则 ”。代入得 ，对称轴 落在 之外，直接判：允许范围内 随 递减，最大值在 处，，值域 (−∞,2]。范围跟着设元走，错解里“最大值 ”这一步就永远写不出来。 动作三：文字条件逐条译成不等式 做法。应用题读完，先不急着设函数，先把题目里每个名词过一遍：总量多少、上限多少、什么必须为正、什么必须是整数——每条写一个不等式，联立解出自变量的实际范围。范围出来之后，才轮到列函数、求最值。求出的最值还要回头看一眼：取最值的那个方案，实际范围里装得下吗。 示范。拿典型错误三。名词逐条过：篱笆 16 米，全部用上，平行边为 ；墙最多 6 米，；边长为正， 且 。联立得 。之后列 ，在这个范围里找最值——顶点 进不了范围，答案自然落在端点 上，围法是两边各 5 米、贴墙一边 6 米。 5 随堂纠错 三个小片段，只给错解的关键一句。能一眼看出毛病，说明分母和大括号这两处埋伏你已经免疫；看不出来，回头再读第二节。 纠错一：约分约掉了限制 题干。求函数 的值域。 错解片段。，值域为 。 错因指要。约分只在 时合法，这个前提跟在分母上，不跟在新式子上。 处函数无定义， 的值 −1 取不到，值域为 。 错解的迷惑性。化简后的确“就是”——在每一点上都是，唯独缺了 (1,−1) 这个点。约分横线一画，前提就留在了横线底下，卷面上再也看不见它。 纠错二：解出来还要按段筛 题干。已知 若 ，求 的值。 错解片段。由 得 ；由 得 。所以 或 。 错因指要。每一段的解都要放回那一段的范围里验：，属于第一段，保留；2>0，不满足第二段的 ，舍去。故 。 错解的迷惑性。两个方程都解对了，分类讨论的样子也齐全——它只是少了最后那道按段筛的工序。分段函数的定义域是“每段各管各的”，两段各出的解，不能凑成一堆当答案。 纠错三：乘积为正，不等于真数为正 题干。解方程 。 错解片段。原方程化为 ，即 ，，经检验，两根都使 ，都是原方程的解。 错因指要。合并真数的前提是两个真数分别大于零： 且 ，即 。 时 ， 无意义，舍去；，保留。故原方程的解为 。 错解的迷惑性。它竟然检验了——只是验错了对象：验的是合并之后的乘积 ，而定义域管的是合并之前的每一个真数。 恰好使乘积为正，这道假检验就这样把增根放行了。 6 练习 题 1 求函数 的定义域。 题 2 求函数 的值域。 题 3 求函数 的定义域。 题 4 用一段长为 24 米的篱笆围一个矩形花圃，一边靠墙，可利用的墙长最多为 10 米。设垂直于墙的边长为 米，写出面积 关于 的关系式，并求 的最大值。 题 5 已知 求 的值。 题 6 已知函数 的定义域为 [0,2]，求函数 的定义域。 7 错因备忘卡 剪下来贴在错题本扉页。函数题动笔前三十秒看一遍这一页就够了。 函数·审题：动笔前的六道关 1. 定义域先写。见分母、根号、对数，第一行就是定义域，与题目问什么无关。 1. 约分前抄限制。约去含 的因式之前，把 抄在新式子旁边。 1. 换元带范围。 则 ；新元范围写在设元的那一行。 1. 真数逐个验。对数方程解出的根，代回每一个真数，不是只验乘积。 1. 文字要翻译。应用题里每个名词一条不等式，范围出来才谈最值。 1. 括号看整体。 的定义域，管的是括号里 整体的范围。 附 参考答案与解析 练习 题 1答案：。 分母不为零：。根号里非负：，即 。两个条件同时成立，取交集得定义域为 。 题 2答案：[−2,+∞)。 定义域为 。设 ，则 ，代入得 对称轴 落在 的左边，所以在 上该二次函数递增，最小值在 （即 ）处： 故值域为 [−2,+∞)。回验： 时 ，取得到。 题 3答案：[2,+∞)。 两层限制叠在一起。真数大于零：；根号里非负：，即 。后者解出 ，已经包含前者，故定义域为 [2,+∞)。 题 4答案：，最大值为 70 平方米。 平行于墙的边长为 米。限制逐条列：边长为正， 且 ；墙最多 10 米，。联立解得 。 在允许范围内，，图象开口向下、对称轴 ，在对称轴右侧递减，故在 [7,12) 上递减，最大值在左端点 处： 此时平行于墙的边恰为 10 米，正好用满墙长。对称轴 要占墙 24−12=12 米，超过 10 米，围不出来——这就是范围必须先解的原因。 题 5答案：。 第一次求值：，落在第一段，。 第二次求值：−2≤0，落在第二段，。 两次求值，两次都要重新判段——自变量落到哪一段，由它自己的正负决定，不由上一次的结果决定。 题 6答案：。 里的两项都要有意义。 有意义要求 ； 有意义要求括号里的整体落在定义域内：，解得 。 两个范围同时成立，取交集得 。注意： 的定义域 [0,2] 管的是括号里整体的取值范围，不是 的取值范围——这是复合函数定义域最常见的一处误读。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $