专题08知识点48 空间直线、平面的平行专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点48 空间直线、平面的平行 直线与平面平行的判定与性质 基本事实 4： 平行于同一条直线的两条直线平行. 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 平面与平面平行的判定与性质 面面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 面面平行的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 实战演练 一、单选题 1.［2025 辽宁抚顺六校协作体检测］在四棱锥 中， 分别为侧棱 上一点（不含端点），则“”是“ 平面 ”的（　） A. 充要条件　 B. 充分不必要条件　 C. 必要不充分条件　 D. 既不充分也不必要条件 2.［2026 上海金山中学模拟］在棱长为 的正方体 中，点 分别是棱 的中点，动点 在正方形 （包括边界）内运动，则 平面 的一个充分不必要条件是（　） A. 为 　 B. 为 的中点　 C. 的轨迹长度为 　 D. 为 的中点 3.［2025 高三名校联考］在正方体 中，点 是棱 上的一个动点，平面 交棱 于点 ，则下列说法中不正确的是（　） A. 存在点 ，使得 平面 B. 存在点 ，使得 平面 C. 对于任意的点 ，四边形 均为平行四边形 D. 对于任意的点 ，三棱锥 的体积均不变 4.［2026 山东济南摸底］如图所示的六面体 中，平面 平面 ，，，，若 ，则 （　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 5.［2025 江西九江检测］如图，在矩形 中，， 在 上且 。将 沿 折起到 的位置，构成四棱锥 ，点 在线段 上，若 平面 ，则 的值等于（　） A. 　 B. 　 C. 　 D. 6.［2025 陕西部分学校联考］在正方体 中， 是平面 内的一动点， 为线段 的中点，则下列说法错误的是（　） A. 平面 内任意一条直线都不与 平行 B. 平面 和平面 的交线不与平面 平行 C. 平面 内存在无数条直线与平面 平行 D. 平面 和平面 的交线不与平面 平行 二、多选题 7.如图，在下列 4 个正方体中， 为正方体的两个顶点， 分别为所在棱的中点，则在这 4 个正方体中，直线 与平面 平行的正方体是（　） 8.平面 与平面 平行的充分条件可以是（　） A. 内有无数条直线都与 平行 B. 内的任何一条直线都与 平行 C. 两条相交直线同时与 平行 D. 两条异面直线同时与 平行 三、填空题 9.如图，在三棱柱 中， 是棱 的中点， 是棱 上一点。若 平面 ，则 的值为______。 10.已知 是两个不同的平面，且 ， 是 外一点，过点 的两条直线 分别交 于 ，交 于 。若 ，，，则 ______。 11.如图，正方体 的棱长为 ， 是 的中点， 是正方形 所在平面内一动点。若 平面 ，则点 的轨迹在正方形 内的长度为______。 四、解答题 12.如图，四边形 是平行四边形，点 是平面 外一点。 (1) 求证： 平面 ； (2) 是 的中点，在 上取一点 ，过 和 作平面交平面 于 。求证：。 13.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为 上一点，且 ， 为 的中点。 (1) 证明： 平面 ； (2) 过点 作平面 平面 ，交 于点 ，交 于点 。 　(i) 证明：； 　(ii) 求 的值。 14.［2026 北京中国农业大学附属中学期中·节选］在四棱锥 中，，，，，平面 平面 ，点 在棱 上， 平面 。 (1) 求证： 是棱 的中点。 15.［2025 江西省景德镇市乐平中学考试］四棱锥 中，底面 为平行四边形， 分别为 的中点，平面 平面 。 (1) 证明：； (2) 证明： 平面 ； (3) 在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 一、单选题 1. B 若 ：因 在平面 内且 平面 ，由线面平行判定定理得 平面 ，充分性成立。反之，若 平面 ， 与平面内过 （或 ）的直线平行，但 的方向随 位置变化，不一定有 ，必要性不成立。故为充分不必要条件。 2. D 取 的中点 、 的中点 ，连接 。由 为 中点，得 ，，故平面 平面 。于是 平面 在线段 上（ 即 在正方形 内的轨迹），。 A： 不在轨迹上，不充分；B： 中点不在轨迹上，不充分；C：轨迹长为 ，不充分；D： 中点在轨迹上，充分且不必要。故选 D。 3. B 以 为原点建系，设正方体棱长为 ，。由平面 与 相交可求得 ，故四边形 恒为平行四边形，C 正确；当 时 平面 ，A 正确；三棱锥 底面与高均不变，D 正确。对 B： 与平面 的法向量 的数量积 ，故对任意 ， 都与该平面相交，不可能平行。选 B。 4. C 因平面 平面 ，四边形 、 分别为该六面体的侧面，由面面平行的性质得 ，。 设 （），（），则 ，。 于是 ，。 由 ：，得 。 故 ，。选 C。 5. C ，，，故 。以 为原点、 为 轴建系：，，，。 折叠中 不变， 在平面内的射影为 中点 ， 到 的距离为 ，故 。 平面 的法向量为 （平面即 ）。 设 ，，则 。 由 平面 ：，即 ，解得 。选 C。 6. B 设正方体棱长为 ，，，，，，。 B 项：平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，交线方向 的竖坐标分量为 ，即交线平行于底面，故“不与平面 平行”错误，B 当选。 A、D：可验证平面 与平面 的交线方向竖分量恒为 ，且 与平面 的法向量数量积恒不为 ，均正确；C：两平面相交时，平面 内与交线平行的直线有无数条且都与平面 平行，正确。 二、多选题 7. BCD 对于A：如图，取 中点 ，连接 ，则有 ，又 平面 ，所以 与平面 相交，故A错误 对于B：由 ，，所以 ，又 平面 ， 不在平面 上，所以 平面 ，故B正确； 对于C：由 ，，又 平面 ， 不在平面 上，所以 平面 ，故C正确； 对于D：由 ，，又 平面 ， 不在平面 上，所以 平面 ，故D正确. 故选：BCD。 8. BC B： 内任何一条直线都平行于 ，特别地取两条相交直线，由面面平行判定定理得 ，充分； C：即面面平行判定定理，充分； A：“无数条”直线可以都平行，不能保证是“两条相交直线”，不充分； D：两条异面直线分别平行于两平面时， 与 可能相交，不充分。故选 BC。 三、填空题 9. 设 ， 为 中点。因 平面 ， 平面 平面 的法向量。取 为原点，计算得平面 的法向量含参数 ，由 解得 ，故 。 10. ，直线 与两平面相交，由面面平行的性质定理得 ，故 （ 在 与 之间）。 ，所以 ，。 11. 建系：，，，，，。 平面 的法向量 ，平面方程为 。 （在正方形 内），由 平面 得 ，即 ，得 ，。 轨迹为从 （ 中点）到 （ 点）的线段，长度 。 四、解答题 12.证明： (1) 因为 为平行四边形，所以 。又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 (2) 连接 ，交 于 ，连接 ，如下图： 因为四边形 是平行四边形，所以 是 的中点， 又因为 是 的中点，所以 . 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 . 13.证明： (1)连 交 于 ，因为底面 为平行四边形， 所以 为 的中点，而 为 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ； 所以 平面 ； (2)(i) 因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 由面面平行的性质定理可得 ； (ii) 当 为 的三等分点且 时，有平面 平面 ，下面证明： 因为 为 上的点，且 ，所以在 中，，所以 ， 由(1)知 平面 ，因为 不在平面 内，所以 平面 ， 由①可知 ，因为 不在平面 内， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，所以平面 平面 ，所以 . 14.证明： (1)令平面 与直线 交于点 ，连接 ，， 由 ， 平面 ， 平面 ，得 平面 ， 而平面 平面 ， 平面 ，则 ， 而 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则 ， 因此四边形 为平行四边形，，又 ， 所以 是 的中位线， 是棱 的中点. 15.证明： (1) 因为 为平行四边形，则 ， 且 平面 ， 平面 ，可知 平面 ， 又因为平面 平面 ， 平面 ， 所以 . (2)取 中点 ，连接 ，， 则 ，，且 ，， 可知 ，，则四边形 为平行四边形，可得 ， 且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . (3)存在 ，使 平面 ，，理由如下： 取 中点 ，连接 ，， 则 ，且 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ，且 ， 平面 ， 所以平面 平面 ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 可得 ， 因为 为 中点，且 为 中点，可得 ， 又因为 ，所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $