8.5 空间直线、平面的平行 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以空间平行关系为主线，构建"概念辨析-线面平行-面面平行"三级递进训练体系，融合空间观念与推理能力，实现判定与性质的双向迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等角定理及其辨析|5题|方向差异分类讨论|从平面到空间角关系的拓展| |直线与平面平行的判定|9题（5解答）|中位线/平行四边形构造线线平行|定义→判定定理→多几何体应用| |直线与平面平行的性质|9题（5解答）|线面平行→线线平行转化|性质定理→交线应用→体积计算| |判断面面平行|5题（4解答）|双交线平行判定法|线面平行→面面平行的递进| |面面平行性质|8题（5解答）|面面平行→线线平行传递|性质定理→空间距离与体积综合|

8.5 空间直线、平面的平行 知识点一 等角定理及其辨析 1．若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 2．给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 4．下列命题中，真命题有（    ） ①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等； ②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行； ④，若，，则或. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则下列关系中∠EFG与∠ABC1一定成立的是(    ) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 知识点二 直线与平面平行的判定 6．在正方体中，以下直线与平面平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．无法判断 8．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（     ） A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 9．下列命题正确的个数为（    ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 11．如图，在直三棱柱中，，，，．点，分别为棱，的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直三棱柱的表面积及体积． 12．已知在正四棱柱中，，，点是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求三棱锥的体积． 13．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求棱锥的体积： (2)求证：平面． 14．如图所示，长方体中，，．E、F、G分别为棱、、的中点． (1)试在底面上找一点H，使平面； (2)求四面体的体积． 知识点三 直线与平面平行的性质 15．若直线平面，直线，则（    ） A． B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点 16．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 17．在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且平面∩平面，，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 19．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为. (1)求的长度; (2)求正四棱锥的表面积； (3)设平面平面，求证：； 20．如图，一个多面体的上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，两部分的高都是，且． (1)求该多面体的体积； (2)若平面与平面的交线为，证明：． 21．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为．证明:面；    22．如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE，求证：平面PBC； 23．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 24．已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：； 知识点四 判断面面平行 25．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则 26．在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 27．如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 28．如图，正方体的棱长为6，且分别为的中点.证明：平面平面； 29．如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 30．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)M是线段的中点． 知识点五 面面平行性质 31．如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点． (1)证明：； (2)若为的中点，证明：平面平面． 32．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 33．如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B B C B B A D 题号 15 16 17 25 26 答案 D D B C D 1．D 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 2．B 【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断. 【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B 3．C 【详解】因为，，且，根据等角定理， 可得或． 4．B 【分析】由等角定理判断①④，举反例判断②，根据空间直线位置关系判断③. 【详解】由等角定理知，①正确，④正确；对于②，如图正方体中， 对于和，显然有，， 但是，，故②错误； 当两直线没有公共点且它们位于不同的平面内，则也可以平行，也可以异面，故③错误. 故正确的只有①④. 故选：B 5．B 【分析】利用已知条件判断线段和，线段和的位置关系即可求解. 【详解】因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥,∥,∥， 所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补. 故选：. 6．C 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】对于A，，与平面相交，故与平面相交，A错误. 对于B，，与平面相交，故与平面相交，B错误. 对于C，，平面，平面，则平面，C正确. 对于D，，与平面相交，故与平面相交，D错误. 7．B 【详解】因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 8．B 【详解】根据棱柱的定义可知，在图（1）（2）中棱柱的上下底面分别为， 图（3）中，棱柱的上下底面分别为，故A正确； 在四边形中长度不变，但到直线的距离一直在变化， 所以水面四边形的面积是变化的，故B错误； 因为棱始终与，平行，故棱始终与水面所在平面平行，故C正确； 因为水的体积是不变的，有水的部分始终呈棱柱形，且高始终是也不变， 所以底面积也不会变 ，即是定值，故D正确. 9．A 【分析】对于（1）考虑到a可能与b在同一平面内即可判断；对于（2）根据直线与平面平行性质即可判断；对于（3）直线平行不能通过平面传递；（4）综合直线与平面平行性质与判定. 【详解】（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面，错误， 理由如下：还有可能在经过的平面内； （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行，错误， 理由如下：直线与平面内的直线平行或异面； （3）如果直线，和平面满足，，那么，错误， 理由如下：直线，还可能相交或异面； （4）如果直线，和平面满足，，，那么，正确，理由如下： 若，则存在使得，又，所以. 10．D 【详解】 平面，平面， 平面，故A正确； 平面，平面， 平面，故B正确； 因为平面，平面，平面平面， 平面，平面， 平面，故C正确； ∵，，∴， ，正方体中与的夹角为， 与夹角为，不垂直，故D错误． 11．(1)如图，连接， 因为点，分别为棱，的中点，则， 又平面，平面， 所以直线平面. (2)表面积为，体积为 【分析】（1）连接，根据条件得，利用线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据条件，利用直棱柱的性质，直接求出各个面的面积，即可求出表面积，再由棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，， 则，所以， 所以， 又三棱柱是直三棱柱，所以侧棱垂直底面， 又， 则三棱柱的侧面积为， 所以直三棱柱的表面积， 直三棱柱的体积为. 12．(1)如图，连接，设， 则为的中点，又为的中点， 所以，又因平面，平面， 所以直线平面. (2) 【分析】（1）连接，设，通过即可证； （2）由等体积法进行求解. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面，又是的中点， 所以三棱锥的体积为 ． 13．(1)2； (2)证明:若为中点，连接，E为PD的中点，    所以且，又，， 所以且，故为平行四边形， 则，平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）由题设知为直角梯形，结合已知求其面积，根据平面知四棱锥的高为，利用体积公式求体积. （2）若为中点，连接，根据中位线、平行四边形性质可得，最后由线面平行的判定可证出结论. 【详解】（1）由，知：为直角梯形， 又，且平面， 所以，故， 所以四棱锥的体积. （2）略 14．(1)取的中点P，的中点H，连接、， 则，， ，又平面，平面． 即H在上，且时，平面． (2) 【分析】（1）取底面上靠近的四等分点，连接、，根据，可证平面； （2）利用，由三棱锥体积的求法可求得结果. 【详解】（1）略 （2）平面，， 而， ， ． 15．D 【分析】根据线面平行的定义逐一判断即可. 【详解】由直线平面，直线，可得或与异面，但与不可能相交，否则就和直线平面矛盾，故与没有公共点. 故选：D. 16．D 【分析】连接，与交于点，连接，易证，得，由平面利用线面平行的性质定理可得，即可求得. 【详解】如图，连接，与交于点，连接. 因为为的中点，所以，由四边形是平行四边形，可得， 则，所以，所以． 又平面平面，平面平面，所以，所以． 故选：D．    17．B 【分析】连接，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理列式求解. 【详解】在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接， 由平面，平面平面，平面， 得，所以. 18．(1)连结，交于点O，如图示： ∵O是正方形对角线交点， ∴O为中点，而E为线段的中点， ∴，平面，平面， ∴平面； (2)由（1）平面，且平面∩平面，平面，所以； (3) 【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得，再由线面平行的判定可得平面； （2）根据（1）的结论及线面平行的性质定理证明结论； （3）由等体积法及棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题设知，三棱锥的体积. 19．(1) (2)36 (3)由题意知底面为正方形，则， 又因为平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，则. 【分析】（1）设底面边长为，利用勾股定理写出斜高的表达式，结合侧面积与底面积的数量关系列方程，即可求出； （2）由（1）求底面积，根据侧面积是底面积2倍的条件，两部分面积相加即得表面积； （3）先由线面平行的判定定理证得平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明. 【详解】（1）设底面的边长为，因为为底面中心，为的中点， 所以且，底面积为， 已知高，在中，. 则侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积. （3）略 20．(1) (2)在正方形中，， 平面，平面， 平面．     平面，平面平面， ． 【分析】（1）利用长方体和锥体体积公式计算即可求解； （2）可证明平面，再利用线面平行的性质可证结论. 【详解】（1）因为多面体的上面为正四棱锥，下面为长方体，高都为1， 所以该多面体的体积. （2）略. 21． ，平面， 平面，平面， 平面，面平面，， 平面，平面，平面. 【分析】先证明平面，由线面平行性质定理证明，再利用线面平行判定定理证明结论. 【详解】略. 22．因为 平面，平面，且平面平面， 则，又平面，平面，则平面. 【分析】由线面平行的性质先证明，再由线面平行的判定即可得证. 【详解】略 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 24．证明见解析 【分析】由题意可得平面，再由线面平行的性质定义即可得证. 【详解】因为底面是平行四边形， 故平面，平面 可得平面， 又因为平面， 平面平面， 所以． 25．C 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，两平行平面被第三个平面所截,截得的两条交线一定平行，即若 ,则 , C正确. 26．D 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 27．(1)因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以. 所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. (2)因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面 所以平面平面. 【分析】（1）先证明B、C、G、H四点共面，再证得，进而根据线面平行的判定得证； （2）由中点根据中位线性质得，证得平面，再结合（1）中结论由线面平行证得面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 28．连接，则因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. 【分析】通过证明平面内的两条相交直线都平行于平面即可证明这两个平面平行. 【详解】略 29．(1)∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. (2) 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积以及的面积，可得圆台的高，利用圆台的体积公式可得答案. 【详解】（1）略 （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积. 30．(1)在正方形中，在平行四边形中， ∵平面，平面，且平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面，且， ∴平面平面. (2)取与交点为，则，连接. ∴平面平面， ∵平面，且平面， ∴，在平行四边形中， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴M是线段的中点. 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，从而证明面面平行； （2）由线面平行的性质得到线线平行，借助平行四边形的性质即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 31．(1)在正方体中，平面， 所以平面， 又为过的截面与底面的交线， 所以平面， 所以. (2)因为，由（1）得， 在中，F为的中点，所以E为的中点， 又M为中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，所以平面, 又因为分别为的中点，所以, 平面，所以平面， ，平面， 所以平面平面. 【分析】（1）利用线面平行的性质直接得到线线平行； （2）利用线面平行证明面面平行. 【详解】（1）略 （2）略 32．(1)如图，连接， 因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 方法一：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 方法二：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以．所以． 方法三：在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则． (2)存在，且，理由如下： 取的中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为，的中点，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形ABFG为平行四边形，所以， 设M为的中点，则，所以. 因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF， 故存在所求的点M，且. 【分析】（1）由题设得，再由线面平行的判定、性质定理或面面平行的性质定理证明结论； （2）取的中点G，连接AG，FG，易得，设M为的中点，从而得到，则，最后由线面平行的判定定理证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 33．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $