重难点22 空间角与空间距离问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点22 空间角与空间距离问题 【全国通用】 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 4 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 7 【题型3 几何法求线面角】 10 【题型4 向量法求线面角】 15 【题型5 几何法求面面角】 19 【题型6 向量法求面面角】 23 【题型7 求点面距离、面面距离】 28 【题型8 求点到直线距离、异面直线距离】 33 1、空间角与空间距离问题 空间角与空间距离问题是高考的重点和热点内容，是高考必考核心内容之一。从近三年的高考情况来看，空间角与空间距离问题一般以解答题形式为主，每年必考，第一小问一般考查空间线、面位置关系的证明；空间角与点、线、面距离问题通常在解答题的第二小问考查，难度中等偏难；有时在选择题、多选题中也会涉及，难度一般。 近年命题趋势更注重动态几何问题和向量法的综合应用，如通过翻折情境分析空间角的变化，需灵活求解；备考时需强化坐标系建立技巧、法向量求解步骤及空间角计算公式的熟练应用，同时注重空间向量运算的严谨性，避免因计算失误失分。 考点1 空间角 知识点1 几何法求空间角 1．几何法求异面直线所成的角 (1)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 2．几何法求线面角 (1)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形. (2)公式法求线面角(也称等体积法)： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解. 公式为：，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 3．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 知识点2 向量法求空间角 1．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 2．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 3．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 考点2 空间距离 知识点3 空间距离的求解策略 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 【例1】（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【解答过程】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式1-1】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助等角定理与余弦定理计算即可得. 【解答过程】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【解答过程】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 故选：B. 【变式1-3】（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【解答过程】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 【例2】（2026·四川巴中·一模）已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，设正四面体边长为2，设，通过即可求点坐标，从而可表示和，进而可求，即异面直线与所成角的余弦值. 【解答过程】以点为原点，为轴，在平面内过点作轴与垂直，过作轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如下：    不妨设正四面体的边长为2，则， 设点，则有，解得， 因为是的中点，则有，即， 因为是的中点，则有，即， 则， 则， 故选：A. 【变式2-1】（2026·河北·模拟预测）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，P是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量夹角公式求解. 【解答过程】根据题意，以点为坐标原点，分别为轴，过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是弧的中点，所以，又， 则，，，， 所以，， 所以，即， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 【变式2-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【解答过程】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式2-3】（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，通过向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值． 【解答过程】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，， ， ， 代入得． 故选：A. 【题型3 几何法求线面角】 【例3】（2026·江苏苏州·模拟预测）正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【解答过程】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴ ， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 【变式3-1】（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【解答过程】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B． 【变式3-2】（2026·西藏林芝·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点． (1)求证：平面平面； (2)若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直； （2）取线段的中点，过点作，垂足为，求证以及平面，结合长度信息求出即可. 【解答过程】（1）因为侧面为正三角形，为的中点，所以， 因为是矩形，且分别为中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）取线段的中点，过点作，垂足为，连接， 因为E为中点，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为为中点，所以， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，， 所以在中， 因为，所以在中，， 因为，， 所以， 则，则， 则直线与平面所成角的余弦值为. 【变式3-3】（2026·北京顺义·一模）如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）取的中点，通过证明得到，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）作平面的垂线，垂足为，易得即与平面所成的角，通过等体积求出，即可求得答案. 【解答过程】（1）证明：如图，取的中点，连接， 因为中点，则，又，则， 因，则，可得，故， 又平面，而平面，故平面. （2）过点作平面的垂线，垂足为，连接， 因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即， 因平面，，则平面，， 在中，，由余弦定理，， 则，因， 由可得，解得， 在中，，即直线与平面夹角的正弦值为. 【题型4 向量法求线面角】 【例4】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【解答过程】设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 因为平面过点且与垂直，所以就是平面的法向量， 设与平面所成角为， 所以. 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面， ，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系， 求出平面的法向量， 利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. 【解答过程】在中，，且2，所以是等腰直角三角形. 因为为的中点，根据等腰三角形性质，. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 所以 ， ，， ，. 设，在中，，. 所以，故. 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为). ，设直线与平面所成的角为. 所以. 故选：A. 【变式4-2】（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）根据题意，证得平面，得到平面，证得，再由，证得，得到平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到，根据，求得，得到，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为，所以平面，因为平面，所以， 在直角中，，，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以， 因为且，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：过点作直线，以为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 则，，， 设，则， 由（1）知，所以，即，得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【变式4-3】（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在 【解题思路】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【解答过程】（1）证明：因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）如图，过点作 ， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【题型5 几何法求面面角】 【例5】（2026·北京·三模）已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥，当平面平面时，二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面角的做法，作出角，构造三角形，在三角形中解三角形计算夹角． 【解答过程】 取AC的中点O，连接BO，，取中点M，连接AM，CM； 因为为菱形且，故与均为等边三角形； 变换之后与为等边三角形； 因为O为AC中点，故，； 故二面角的平面角为； 其中； 在中，由余弦定理可知： ； 根据原图可知，故，； 因为，故，故； 因为平面平面，故； 则在中，； 则；故； 代入计算可得：； 二面角的余弦值为． 故选：B. 【变式5-1】（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱锥 的侧棱长为底面边长的倍，则侧面与底面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设正四棱锥 的底面边长为1，结合图形求出相关线段的长，作出并证明侧面与底面的夹角，借助于直角三角形即可求得答案. 【解答过程】设正四棱锥 的底面边长为1，则侧棱长为， 设O为底面正方形的中心，设M为的中点，连接， 则平面，而，, 则， 又O为底面正方形的中心，M为的中点，则， 又，则，故为侧面与底面的夹角， 因, 在中，， 即侧面与底面夹角的余弦值为 故选：A. 【变式5-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【解答过程】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 故选：C. 【变式5-3】（2026·江西新余·模拟预测）在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意作出平面与平面所成角，再利用余弦定理求解即可. 【解答过程】如图，过点作，垂足为，    平面平面，且平面平面平面， 作，则，则平面， 作于，平面，， 又，平面平面， 平面， 为平面与平面所成二面角的平面角． 且， 作于，由是等边三角形， 得． 故选：D. 【题型6 向量法求面面角】 【例6】（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【解答过程】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴, 建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、，则，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 故平面与平面的夹角余弦值是. 故选：D. 【变式6-1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，点在底面圆上，点为的中点，，则二面角正切值的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，根据面面角向量求得二面角夹角余弦值，再根据同角三角函数基本关系计算即可求解. 【解答过程】由题意可知等腰直角三角形是圆锥的轴截面， 所以平面，是底面圆的直径，， 因为点在底面圆上，所以， 因为，所以， 以点为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，， 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角为，由图可知， 则， 所以，. 故选：A. 【变式6-2】（2026·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，点是线段上的一个动点． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据三角形中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量法求面面角的余弦值，再由同角三角函数关系求正弦值可得. 【解答过程】（1）证明：设菱形的对角线交于点， 因为菱形的对角线互相平分，所以是的中点，又因为是的中点， 在中，是中位线，因此. 又因为平面，平面，且， 根据线面平行的判定定理，可得平面. （2）设的中点为，因为分别为中点，所以， 又因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为底面是菱形，所以. 以为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系： 因为，则. 因此各点坐标为：，，，，设. ，，， . 因为平面在坐标平面上，取其法向量为. 平面的法向量为，， 则，，，令，则，. 设两个平面的夹角为，，， 则 ， 因为，所以. 因此平面与平面夹角的正弦值为. 【变式6-3】（2026·山东聊城·一模）如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质以及勾股定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求出二面角余弦值. 【解答过程】（1）证明：在平行四边形中，因为是的中点， 所以． 又，则，， 所以，． 又，则，即． 又平面平面，平面平面， 所以平面． （2）分别取，的中点，，连接，． 由（1）知，． 因为，分别为，的中点，所以，则． 因为，所以，， 所以为二面角的平面角，则. 由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，，． 设平面的法向量为，所以 令，则． 设平面的法向量为，所以 令，则． 所以， 所以二面角的余弦值为． 【题型7 求点面距离、面面距离】 【例7】（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【解答过程】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 【变式7-1】（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 【变式7-2】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）利用向量法求得平面的法向量，进而求得结果. 【解答过程】（1）如图，在平面内，过与垂直的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为． 则有，即 所以平面的一个法向量，且， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）又，设平面的法向量为， 则  ，故可取． 因为，所以到平面的距离为． 【变式7-3】（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）连接，结合等边三角形的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而由线面垂直的性质定理得，然后利用面面垂直的判定定理证明即可． （2）法一：利用线面垂直的判定定理证明平面，在平面内，作于，由线面垂直的性质定理和判定定理得平面，然后在中求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后点面距的向量公式求解即可． 【解答过程】（1）证明：连接，因为是等边三角形，是中点，所以． 又因为，，平面，，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面． （2）法一：在菱形中，， 又因为，，所以，． 因为，平面，，所以平面． 在平面内，作于． 因为平面，平面，所以． 又因为，，平面，， 所以平面， 所以的长度为点到平面的距离． 在中，因为，，， 所以，同理． 因为平面，平面，所以． 在中，因为，所以边上的高． 即点到平面的距离为． 法二：因为平面，平面，所以． 由（1）得、、两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，． 设平面的法向量为， 所以所以 所以是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离． 【题型8 求点到直线距离、异面直线距离】 【例8】（2026·广东江门·模拟预测）如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，连接，即可证明,，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到直线的距离. 【解答过程】取的中点，连接， 因为、均为等腰直角三角形，所以 , 由二面角是直二面角，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 如图，以为原点, 所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所 示的空间直角坐标系, 则 , 所以 , 所以 , 所以, , 设直线的单位方向向量为，则, 所以点 到直线的距离为 . 故选：B. 【变式8-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【解答过程】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式8-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）方法一：先应用线面垂直得出平面PAB，应用边长关系得出，计算求解距离即可；方法二：建立空间直角坐标系设与和都垂直，应用异面直线的距离公式计算求解； （2）应用空间直角坐标系先求出平面PMN及平面AMN的一个法向量，最后应用面面角的余弦公式计算求解. 【解答过程】（1）方法一：连接BM，CN， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， ，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以． 在中，M为PC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 在中，M为PC的中点，所以， 所以． 又因为N为AB中点，所以．                     在和中，， 所以，所以，又M为PC的中点，． 故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离．                    在中，， 在中，， 所以．因为，所以． 故异面直线AB与PC间的距离为．                     方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以． 如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以．                         设与和都垂直， 则即 则，不妨取，则．                       所以异面直线AB与PC间的距离． （2）因为M，N分别为PC，AB的中点，所以， 则，                        设是平面AMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                  设是平面PMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                           设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则，                     所以二面角的余弦值为． 【变式8-3】（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离. 【解答过程】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理， ， 即 . 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面 平面. （2）以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则 ， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由 ， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. 一、单选题 1．（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答过程】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    ，不妨取， 则， ， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 2．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D. 3．（2026·湖南郴州·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出平面的法向量及所过的点，再利用点到平面距离公式求解 【解答过程】依题意，平面过点，其法向量， 则， 所以点Q到平面距离. 故选：B. 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解题思路】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【解答过程】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将该正三棱台补成一个正四面体，进而补成正方体，结合等体积法求解即可. 【解答过程】由题意可将该正三棱台补成一个正四面体，平面即为平面． 正四面体进一步又可以放到一个正方体内研究， 设正方体棱长为2，， 设点到平面的距离为，则， 所以，则. 设与平面所成角为，则． 故选：A. 6．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法计算球心到该平面的距离. 【解答过程】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点， 以点为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则球心的坐标为： 因为底面边长为，所以底面正三角形外接圆半径； 故 ，，， 所以 ，， 设平面的法向量为，则由，即， 令，则，则是平面的一个法向量. 又，因此球心到平面的距离 . 故选：A. 7．（2026·河北邢台·二模）如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由圆柱侧面积公式求出底面半径，再利用线段差求出，借助勾股定理算出；接着以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标；然后通过平面法向量的方程组求得平面的法向量，最后利用线面角与向量夹角的关系，代入公式算出直线与平面所成角的正弦值. 【解答过程】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得. 连接，则， 所以，易知， 所以. 以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 8．（2026·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连接.设二面角，，大小分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】推导出，，从而平面，推导出，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出． 【解答过程】如图所示： 平面，平面，， 由，，，平面， 平面，又平面，所以，即是直角三角形， ， 在中，，，， ，． ． 如图以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 由题意得二面角的平面角为， ，， 设平面的法向量为， 由， 令，得， 又平面的一个法向量为， 所以． ， 设平面的法向量为， 即， 令可得， ，所以． 综上，． 故选：A. 二、多选题 9．（2026·湖北荆州·一模）在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 【答案】CD 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，利用向量数量积的运算可判断A；求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量判断方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断CD. 【解答过程】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， ，， 故不垂直，A错误； 设平面的法向量为，, 则，可取，而， ，故和平面不平行，B错误； ，，, 设异面直线与所成角为，则，， 则，C正确； 设平面的法向量为，,， 则，可取，而， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 故直线与平面所成角为，D正确. 故选：CD. 10．（2026·河南开封·模拟预测）在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 【答案】ABD 【解题思路】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对A，求直线的方向向量和平面的法向量，验证方向向量与法向量垂直，结合线不在面内判定；对B，计算和​的数量积判断；对C，利用异面直线夹角公式，计算两个方向向量夹角的余弦绝对值判断；对D，求出平面的法向量，代入距离公式计算验证. 【解答过程】以为原点，​分别为轴， 由，得各点坐标： ， 对于选项A：，平面中， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量 ， 因为，故，且不在平面内， 因此平面，A正确； 对于选项B：， 因为 ，所以，B正确； 对于选项C：，设异面直线与所成角为， 则，得，C错误； 对于选项D：，设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离： ，D正确. 故选：ABD. 11．（2026·山西晋城·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是 【答案】ABD 【解题思路】ABC选项，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，线面角的夹角正弦公式进行求解；D选项，先证明面面平行，进而得到线面平行，从而得到动点的轨迹，求出区域面积 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， 则，，A正确； B选项，，，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 点到平面的距离为，B正确； C选项，由B知，平面的法向量为， 设直线与平面所成角的夹角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为，C错误； D选项，分别取的中点，连接，， 则， 因为，，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 当动点平面时，平面， 则动点的轨迹所形成区域为及其内部， 为等边三角形，边长为，故面积是，D正确.    故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·四川凉山·二模）若，则点到平面的距离__________. 【答案】 【解题思路】利用空间向量坐标公式计算出、可求出平面法向量，再利用空间中点到平面距离公式计算即可得. 【解答过程】，， 设平面的法向量为， 则，取，则,，故， 则. 故答案为：. 13．（2026·广东佛山·二模）在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/ 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面直线与所成角的余弦值． 【解答过程】在三棱柱中，， 所以异面直线与所成的角即或其补角， 因为，，所以， 因为，，，平面，平面， 所以平面，又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14．（2026·上海普陀·一模）在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________． 【答案】 【解题思路】由、、得到为等边三角形，取的中点，的中点，得到，从而得到，由平面平面得到平面，过作的平行线作为轴，以为原点，为轴，为轴，建系，写坐标，求出和平面的法向量， 设直线与平面所成的角为，利用数量积求出即可得解. 【解答过程】，， ，为等边三角形， 取的中点，的中点，连接，则， 现将沿边折起，使得点至点的位置，则， 平面平面，平面平面，， 平面， 过作的平行线作为轴，以为原点，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 为等边三角形，，， ，， ， ， 平面的法向量为，， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成的角的正弦值. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·湖南永州·一模）如图，四棱锥中，侧面底面，底面为平行四边形，，，，，． (1)求证：． (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）设为的中点，连接，，证明平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求平面和平面夹角的余弦值． 【解答过程】（1）证明：取中点，连接，，由于，故， 由余弦定理可得，所以， 所以，又由于，所以平面，且平面， 所以. （2）因为侧面底面，，侧面底面， 所以底面.如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设平面的法向量为， 由得 取，得平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 由得 取，得平面的一个法向量为． 所以平面与平面夹角的余弦值为 ． 16．（2026·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形， ，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）取的中点，利用线面平行、面面平行的判定推理得证. （2）取的中点，的中点，利用几何法求出异面直线的夹角余弦. 【解答过程】（1）证明：在三棱台中，设的中点为，连接，由为的中点， 得，又平面，平面，则平面， 由为梯形的中位线，得，又平面，平面， 则平面，而，平面，平面， 因此平面平面，又平面，所以平面. （2）取的中点，的中点，连接、、、、， 由，是中点，得四边形是平行四边形， 则，又是中点，是中点，则， 即就是异面直线与夹角， 又底面，与都是等腰直角三角形，， 则，， ，因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 17．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）通过证明平面，从而得到； （2）建立空间直角坐标系，设的长为，利用点到平面的距离公式，建立关于的方程，最后利用线面角的公式求解得答案. 【解答过程】（1）证明：由正方体可知，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以． （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设的长为，则，，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以点到平面的距离，解得． 所以，设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）过作于，根据已知证得、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）向量法求点面距离即可. 【解答过程】（1）在直角梯形中，过作于， 因为，，且， 所以四边形为正方形，可得，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 在中，所以，即， 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； （3）已知平面的一个法向量为，平面外一点， 在平面上任取一点，所以， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 19．（2026·河南·模拟预测）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． (3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【解题思路】（1） 由线面垂直的判定定理证明平面，从而；由已知条件证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法，可求得平面和平面的夹角的余弦值； （3）假设存在点Q满足题意，且，根据线面角的向量求法，列出方程，求解可得的值. 【解答过程】（1）证明：在图1的等腰直角中，D为的中点，可得， 所以在图2中，可得． 因为，且，平面，所以平面．            又因为平面，所以． 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形 因为M为的中点，所以． 又因为，且AD，平面，所以平面．        （2）以D为坐标原点，在平面内作垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 则． 设平面的法向量为，则        则，取，可得，所以． 设平面DAB的法向量为，则       则，取，可得，所以． 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为．        （3）假设在线段AC上存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为． 由（2）得， 设，则．       平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 所以存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为． 当时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点22 空间角与空间距离问题 【全国通用】 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 4 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 4 【题型3 几何法求线面角】 5 【题型4 向量法求线面角】 7 【题型5 几何法求面面角】 8 【题型6 向量法求面面角】 8 【题型7 求点面距离、面面距离】 10 【题型8 求点到直线距离、异面直线距离】 11 1、空间角与空间距离问题 空间角与空间距离问题是高考的重点和热点内容，是高考必考核心内容之一。从近三年的高考情况来看，空间角与空间距离问题一般以解答题形式为主，每年必考，第一小问一般考查空间线、面位置关系的证明；空间角与点、线、面距离问题通常在解答题的第二小问考查，难度中等偏难；有时在选择题、多选题中也会涉及，难度一般。 近年命题趋势更注重动态几何问题和向量法的综合应用，如通过翻折情境分析空间角的变化，需灵活求解；备考时需强化坐标系建立技巧、法向量求解步骤及空间角计算公式的熟练应用，同时注重空间向量运算的严谨性，避免因计算失误失分。 考点1 空间角 知识点1 几何法求空间角 1．几何法求异面直线所成的角 (1)求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 2．几何法求线面角 (1)垂线法求线面角(也称直接法)： ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形. (2)公式法求线面角(也称等体积法)： 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解. 公式为：，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 3．几何法求二面角 作二面角的平面角的方法： 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 知识点2 向量法求空间角 1．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 2．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 3．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 考点2 空间距离 知识点3 空间距离的求解策略 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 几何法求异面直线所成的角】 【例1】（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·黑龙江·一模）三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【题型2 向量法求异面直线所成的角】 【例2】（2026·四川巴中·一模）已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·河北·模拟预测）如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，P是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 几何法求线面角】 【例3】（2026·江苏苏州·模拟预测）正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·河北保定·二模）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·西藏林芝·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点． (1)求证：平面平面； (2)若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值． 【变式3-3】（2026·北京顺义·一模）如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【题型4 向量法求线面角】 【例4】（2026·重庆·模拟预测）已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，平面， ，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式4-3】（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【题型5 几何法求面面角】 【例5】（2026·北京·三模）已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥，当平面平面时，二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱锥 的侧棱长为底面边长的倍，则侧面与底面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式5-3】（2026·江西新余·模拟预测）在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 向量法求面面角】 【例6】（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，点在底面圆上，点为的中点，，则二面角正切值的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，点是线段上的一个动点． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值． 【变式6-3】（2026·山东聊城·一模）如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【题型7 求点面距离、面面距离】 【例7】（2026·广东湛江·一模）如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 【变式7-3】（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【题型8 求点到直线距离、异面直线距离】 【例8】（2026·广东江门·模拟预测）如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 【变式8-3】（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 一、单选题 1．（2026·重庆·一模）正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南郴州·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 4．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川·模拟预测）已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北邢台·二模）如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 8．（2026·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连接.设二面角，，大小分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖北荆州·一模）在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 10．（2026·河南开封·模拟预测）在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 11．（2026·山西晋城·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是 三、填空题 12．（2026·四川凉山·二模）若，则点到平面的距离__________. 13．（2026·广东佛山·二模）在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14．（2026·上海普陀·一模）在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________． 四、解答题 15．（2026·湖南永州·一模）如图，四棱锥中，侧面底面，底面为平行四边形，，，，，． (1)求证：． (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 16．（2026·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形， ，、分别为、的中点．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 17．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． (1)证明：； (2)若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 19．（2026·河南·模拟预测）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角为，如图2所示，设M为CD的中点． (1)证明：平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． (3)在线段AC（含端点）上是否存在点Q，使得直线MQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $