27.2 反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十七章 · 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 用描点法画双曲线 · 探索 k 与图象的规律 人教版《数学》新教材 · 九年级上册 · 新授课 45 分钟 学习目标 本节课我们要学会什么 1 会用描点法画反比例函数的图象，理解双曲线的概念。 2 经历“画图→观察→猜想→归纳”的过程，探索并掌握 k>0、k<0 时图象的位置与增减性。 3 类比一次函数的研究方法，体会数形结合与类比归纳的数学思想。 学习重点 反比例函数的图象与性质　　学习难点：性质的探索与运用 复习引入 我们是怎么研究一次函数的？ 27.1 中我们学习了反比例函数的概念：y = k/x（k 为常数，k ≠ 0）。回忆一次函数的学习路径—— 概　念 → 图　象 → 性　质 → 应　用 追问：一次函数 y = 2x+1 的图象是一条直线，那么反比例函数 y = 6/x 的图象是什么样子？有哪些性质？ 本课思路：类比一次函数，先画图象，再看图象找性质。 新知讲授 画 y = 6/x 的图象（第①步：列表） 描点法画函数图象分三步：列表 → 描点 → 连线。x 能取 0 吗？不能（分母不为 0）。x 取正、负对称取值。 y = 6/x 的对应值表 注意：自变量 x ≠ 0；取值既要够密（图象平滑），也要对称（便于观察）。 新知讲授 画 y = 6/x 的图象（第②③步：描点、连线） 描点：以表中各对数为坐标，在坐标系中描出对应点。 连线：用平滑曲线顺次连接，不能连成折线。 发现：图象分成两支，向 x 轴、y 轴无限接近但永不相交。 易错：两支之间不能用线段相连（x=0 处无定义）。 新知讲授 双曲线 · 再画 y = −6/x 的图象 双曲线 反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的图象由两支曲线组成，叫作双曲线。 观察：y = −6/x 的两支分别落在第二、四象限，与 y = 6/x 的图象恰好关于 x 轴（也关于 y 轴）对称。 追问：k 变了，图象的位置和“走向”变了吗？——下面系统研究。 新知讲授 观察发现（一）：k > 0 时的规律 问题 1　k = 6 > 0 时，双曲线落在哪些象限？ 当 k = 6 时，x 与 y 同号（x>0 则 y>0；x<0 则 y<0），所以两支分别位于第一、三象限。 在每个象限内，从左往右看（x 增大），曲线是下降的——y 随 x 的增大而减小。 提醒：“在每个象限内”不能丢！跨象限不能比较大小。 新知讲授 观察发现（二）：k < 0 时的规律 问题 2　k = −6 < 0 时，规律变了吗？ 当 k = −6 时，x 与 y 异号，两支分别位于第二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 验证：再画 k = −2、k = 3 等图象，规律相同——结论对一般情形成立（归纳）。 思想：由特殊到一般，猜想＋多例验证。 方法归纳 反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的性质表 共同点：双曲线的两支都无限接近 x 轴、y 轴但永不相交；图象中心对称（关于原点）。 口诀：k 正一三减，k 负二四增；象限内才能比，跨象限不谈增减。 方法归纳 数形结合：由 k 定位置，由位置定增减 正向（数→形）：给 y = −9/x，k = −9 < 0 ⇒ 图象在第二、四象限，每个象限内 y 随 x 增大而增大。 逆向（形→数）：双曲线在第二、四象限 ⇒ k < 0；图象下降 ⇒ k > 0。见到图象先“读”出 k 的符号。 常用工具：双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积 = |k|（k 的几何意义，后面学《面积》问题常用）。 易错警示：①“每个象限内”前提不能丢；②增减性与 y 轴无关的两支不能混着比；③ k 是“积”，不是“商”——k = xy。 例题讲解 例1　由解析式定位置与增减性 例1　已知反比例函数 y = 5/x。 (1) 它的图象在哪些象限？　(2) 点 A(−2, m)、B(1, n) 在图象上，比较 m 与 n 的大小。 思路分析：(1) 先看 k 的符号：k = 5 > 0 ⇒ 第一、三象限。(2) A、B 不同象限：A 在第三象限（y 负），B 在第一象限（y 正）——不能直接用增减性，先按象限定符号，得 m < 0 < n。 方法提炼：比较双曲线上两点函数值，先看是否同象限——同象限用增减性，异象限先比符号。 例题讲解 例1　规范解答 解：(1) 因为 k = 5 > 0， 所以双曲线的两支分别在第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小。 (2) A(−2, m) 在第三象限，m < 0； B(1, n) 在第一象限，n > 0。 所以 m < n。 书写要点：①由 k 的符号说位置；②说增减性必须带“在每个象限内”；③异象限比较先说符号。 变式：若 A(−2, m)、B(−1, n) 同在第三象限，谁大？——用增减性：x 从 −2 增到 −1，y 减小，故 m > n。 例题讲解 例2　由图象位置反求 k 的取值范围 例2　反比例函数 y = (2a−1)/x 的图象在第二、四象限，求 a 的取值范围。 解：图象在第二、四象限 ⇔ 2a−1 < 0， 解得 a < 1/2。 逆向思维：把“图象位置”翻译成“k 的符号”列不等式——这正是“形→数”的转化。 二、四象限 ⇔ 2a−1 < 0 课堂练习 厦门身边的反比例函数 练习 1（环东海域浪漫线）小鹭骑自行车从集美到同安沿海线，全程 6 km。骑行速度 v（km/min）与所用时间 t（min）满足 v = 6/t。 (1) v 是 t 的反比例函数吗？k 是多少？　(2) 图象在第几象限？v 随 t 怎样变化？ 练习 2（判断）下列说法正确的是（　）： ① y = 1/x 图象过点 (−1, −1)；② k > 0 时双曲线与坐标轴有交点；③ y = −4/x 在每个象限内 y 随 x 增大而增大。 参考答案：练习1 (1) 是，k = 6　(2) 第一象限（t>0），t 越大 v 越小，骑得越慢。 练习2 ①③ 正确，② 错误（双曲线与坐标轴永不相交）。 当堂检测 3 分钟 · 检验本课目标达成 1. 反比例函数 y = −3/x 的图象位于（　） A. 第一、二象限　　B. 第一、三象限　　C. 第二、四象限　　（答案：C） 2. 若反比例函数 y = (m+1)/x 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是______。（答案：m > −1） 3. 点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 在 y = 6/x 的图象上，且 x₁ < 0 < x₂，则 y₁______y₂。（答案：y₁ < y₂，异象限先比符号） 命题意图：分别检测“由 k 定位置”“位置→不等式”“象限内与跨象限比较”三个目标点。 课堂总结 回顾三个问题 · 建构知识结构 ①图象怎么画？ 描点法三步：列表→描点→连线；曲线要平滑、两支不相交、不连折线。 ②图象叫什么？ 双曲线——两支，无限接近坐标轴但永不相交，关于原点中心对称。 ③性质怎么记？ k 正一三减，k 负二四增；增减性必须在“每个象限内”说。 研究路径：反比例函数与一次函数一样，都走“概念→图象→性质→应用”的路；下周 27.3 我们就带着双曲线去解决实际问题。 分层作业 巩固提升 · 各取所需 必做：①用描点法画出 y = 4/x 的图象，并写出它的性质；②教材习题 27.2 中“图象与性质”相关第 1、2、3 题。 选做（探究）：同一个坐标系中画出系中画出 y = 2/x 与 y = 6/x，观察 |k| 越大，双曲线离原点越远（“张口”越大）吗？把你的发现写成一段话。 下节预告：27.3 实际问题与反比例函数——带双曲线去解决气球压强、撬石头、近视眼镜等真实问题。 $