27.2 第2课时+反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 27.2.2 反比例函数图象和性质的应用 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、第三象限 图象位于第二、第四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大 学习目标 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 (2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这 个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上， 所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足， 所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以该反析比例函数的解式为 . 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 探究新知 知识点1 关于原点对称的坐标规律 知识点1.若正比例函数 y = k1x 与反比例函数 y = 交于两点，则两点关于原点对称，即若一个交点坐标为(a,b)，则另一个交点为 . (-a,-b) 探究新知 知识点1 关于原点对称的坐标规律 知识点1.若正比例函数 y = k1x 与反比例函数 y = 交于两点，则两点关于原点对称，即若一个交点坐标为(a,b)，则另一个交点为 . (-a,-b) 1. 若正比例函数 y = -2x 与反比例函数 y = 的图象交于点(1, -2)，则另一个交点坐标为 ( ) A. (2,1) B. (-1,2) C. (-2, -1) D. (-2,1) 针对训练 B 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 . 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 探究新知 知识点1 关于原点对称的坐标规律 知识点1.若正比例函数 y = k1x 与反比例函数 y = 交于两点，则两点关于原点对称，即若一个交点坐标为(a,b)，则另一个交点为 . (-a,-b) 针对训练 2. 反比例函数 y1= 和正比例函数 y2= mx 的图象如图1，根据图象可以得到满足y1< y2的 x 的取值范围是 （ ） A. x > 1 B. 0 < x < 1 或 x < -1 C. -1 < x < 0 或 x > 1 D. x > 2 或 x < 1 D 探究新知 知识点2 k的几何意义 问题：在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系 P(2,2) Q(4,1) 4 4 S1=S2 S1=S2=k (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格： 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 探究新知 知识点2 k的几何意义 问题：若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写下面表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系 P(-2,2) Q(-4,1) 4 4 S1=S2 S1=S2=k 探究新知 知识点2 k的几何意义 对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______. |k| 推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是 S△PAO=S△PBO=______. 反比例函数的面积不变性. S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两 点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP=|k|. 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 典例解析 题型1 k的几何意义 例2若图中反比例函数的表达式均为y = ， 请直接写出阴影部分的面积. S阴影= ; S阴影= ; S阴影= ; S阴影= . 4 2 4 8 针对训练 3.若图中反比例函数的解析式均为 ，则阴影面积为4的有( ) B y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. B P A S 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 反比例函数的面积不变性 Q 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 【归纳总结】 针对训练 4.关于 k 的几何意义的常用模型及结论 S△ACP= ; S△ABC= . 针对训练 4.关于 k 的几何意义的常用模型及结论 S△AOE= ; S△ABO= . S四边形BDCE S梯形AEFB A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作 的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA， SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴ xA·yA＝k. 又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4. ∴ 反比例函数的解析式为 探究点2：反比例函数比例系数 k 的几何意义 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 25 归纳总结 性质 反比例函数图象中比例系数k的几何意义 当k＞0时，在每一象限内， y的值随x的增大而减小. 当k<0时，在每一象限内， y的值随x的增大而增大. 反比例函数图象和性质的综合应用 谢谢大家聆听 $