重庆市大足中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

大足中学2025-2026学年度第一学期高2027届第一次月考 数 学 试 题 总分150分 考试时间：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．已知空间两点，向量满足，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 3．如果，，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 6．以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.求与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。） 9．已知向量，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 10．下列说法正确的是（　　） A．直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11．直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（   ） A．面积的最小值为6 B．面积的最大值为12 C．切线长的最小值是4 D．切线长的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知向量，则与同向的单位向量为 . 13．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的一般式方程为 ． 14．若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（13分）已知的三个顶点坐标分别是. (1)求边所在的直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程； (3)求边上的高所在直线的一般式方程. 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上. (1)求定点的坐标与圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程. 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 19．（17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《大足中学2025-2026学年度第一学期高2027届第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A C D A B AC CD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2．A 【分析】根据空间向量平行的坐标关系即可求解． 【详解】已知，，则， 因为，所以， 解得． 故选：A． 3．C 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 4．A 【分析】根据向量的线性运算，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由有， 所以， 故选：A. 5．C 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 6．D 【分析】根据圆的标准方程，根据题意求出即可. 【详解】依题意得圆的半径， 则圆的标准方程为. 故选：D. 7．A 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：A 8．B 【解析】以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意． 以为空间向量的基底，，， ， ， ， ∴．∴与夹角的余弦值为． 故选：B． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角． 9．AC 【分析】根据向量的模的计算公式A正确，根据向量垂直的条件B错误，以及共线向量的相关判断C正确，条件根据向量计算基本法则得出D错误，即可得出答案. 【详解】对于A 中,由可得解得,故A 选项正确； 对于B 中,由,可得，解得,故B 选项错误; 对于C中，若存在实数λ，使得则显然λ无解，即不存在实数λ，使得故C 选项正确； 对于D中，则，解得，故D错误. 故选：AC 10．CD 【分析】由方向向量定义与斜率关系可判断A错误，根据两直线垂直关系可知时也符合题意，因此B错误，利用直线过定点以及垂直关系可判断C正确，由两点间的斜率公式以及斜率的取值范围可得D正确. 【详解】对于A，当方向向量为时直线的斜率等于，因此A错误， 对于B，当时，两直线为和，此时两直线互相垂直，即充分性成立； 若两直线垂直，当时，两直线分别为和，满足互相垂直，因此必要性不成立，即B错误； 对于C，将直线整理可得， 显然直线恒过定点，当与直线垂直时距离最大， 此时满足，即可得，解得，因此C正确； 对于D，如下图所示：    易知，直线与轴平行， 显然直线必须在至之间，以及至之间才满足题意， 所以可知直线的斜率的取值范围是. 故选：CD 11．ABC 【分析】根据题意，由条件可得坐标，由直线与圆的位置关系即可得到点到距离的最小值，从而判断AB，再由勾股定理代入计算，即可判断CD. 【详解】     根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故， 圆的圆心到直线的距离， 圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为， 故面积的最小值，所以A项正确； 面积的最大值，所以选项B正确； 圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确. 故选：ABC. 12．. 13． 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 14． 【详解】由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示：    当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 15．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先求出所在的直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （2）先求出的中点坐标，再求出所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出边上的高所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程. 【详解】（1）由， 得所在的直线的斜率， 所以所在的直线的方程：，即， 所以边所在的直线的一般式方程：； （2）由， 得的中点坐标为，所在的直线的斜率， 所以中线所在直线的方程：，即， 所以中线所在直线的一般式方程为； （3）由得，边的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以上的高所在直线的方程为：， 即， 所以边上的高所在直线的一般式方程为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，通过构建平行四边形得线线平行进而得结果； （2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，通过向量法即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，如图． 是的中点，，且． ，且， 四边形为平行四边形， , 又平面，平面， 平面． （2）如图，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 则取，则． 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 17．(1)， (2)或 【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程； （2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程. 【详解】（1）变形为， 令，解得：， 故定点的坐标为， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； （2）当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 18．(1) (2)存在，点是中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面．    以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为，           所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”．          因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 19．(1)A是失败点 (2)（米2）； (3) 【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断； （2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积； （3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果. 【详解】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A， 故A是失败点 （2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，， 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点， 可得，即，， 即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积（米2） （3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以， 因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以 又因为，所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $