专题01 期中复习压轴17类题型归纳2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题01 期中复习压轴17类题型归纳 2026-2027学年八年级数学上册苏科版 八年级上册 苏科版新教材 测试范围 第1章三角形 第2章实数的初步认识 第3章勾股定理 参考答案与试题解析 题型归纳 第一章 三角形 【题型1 角度追踪与等腰分类】 2 【题型2 垂直平分线与双等腰的等距转化】 8 【题型3 中点倍长与两次全等】 12 【题型4 截长补短构造线段和差】 20 【题型5 双垂线与一线三等角构造全等】 23 【题型6 特殊三角形的配对全等】 27 【题型7 角平分线等距与面积转化】 31 【题型8 动点全等与等腰三角形存在性】 35 第二章 实数的初步认识 【题型9 开方逆向求值与非负条件】 38 【题型10 数轴定位 估算与大小比较】 43 【题型11 绝对值分段 数轴距离与最值】 48 【题型12 新定义运算的多步过程与逆推】 51 第三章 勾股定理 【题型13 拼图与面积割补中的勾股关系】 54 【题型14 作高与两次勾股消元】 58 【题型15 折叠等距与勾股列式】 67 【题型16 运动保长与位置分类求长】 72 【题型17 轴对称与最短路径】 78 【附页 基础衔接与数学文化】 84 【题型1 角度追踪与等腰分类】 【方法提示】把内角和、外角、平行线和角平分关系写成角量关系；未指定顶角/底角时分类并验角。 【例1】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第5题））一个等腰三角形有一个内角为，求它的底角的所有可能值，并分别写出三个内角。 【答案】底角为或；三内角分别为或。 【分析】给定的内角可能是顶角，也可能是底角。 【详解】当是顶角时，两底角相等，均为。 当是底角时，另一底角也为，顶角为。 因此底角的所有可能值为和。 【易错提醒】把给定内角一律当作顶角，漏掉第二种三角形。 【变式1-1】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第5题））一个等腰三角形的一个外角为，求这个三角形最小内角的所有可能值。 【答案】或。 【分析】先由邻补角得到对应内角，再讨论此内角位于顶点还是底边端点。 【详解】此外角相邻的内角为。 若为顶角，则三内角为，最小内角为。 若为底角，则三内角为，最小内角为。 两种情况都能构成三角形，因此所求为或。 【易错提醒】外角不是三角形的一个内角，不能直接把代入内角和。 【变式1-2】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第4题））如图，点依次在同一直线上，点不在这条直线上，，且，。求。 【答案】。 【分析】先由平行线求出三角形在处的内角，再用处外角。 【详解】由，得。 因为依次共线，所以为在处的外角。 由三角形外角性质得，故。 【易错提醒】把处的外角误当成三角形的内角。 【变式1-3】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第4题））如图，点依次共线，，，，。求和。 【答案】，。 【分析】用外角性质建立一元一次方程，并检查得到的角确为正角。 【详解】由平行线性质得。 由外角性质得，解得。 所以。此时，与相符。 【易错提醒】直接把三个已给角相加等于，忽略其中一个是外角。 【变式1-4】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第1题））如图，中，，，平分，点在边上。求和。 【答案】，。 【分析】先利用直角三角形两锐角互余，再在三角形中计算；最后利用邻补角。 【详解】由三角形内角和得。 由角平分线定义得。 在中，。 因为共线，所以。 【易错提醒】把三角形中的处角写成原三角形的角。 【变式1-5】（参考2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第1题）考点拓展）如图，在中，，和的平分线交于三角形内部的点。求，并说明它是否随两个锐角的大小而改变。 【答案】，不随两个锐角的大小而改变。 【分析】不必分别求出两个锐角，只用它们的和为。 【详解】因为，所以。 由角平分线定义得。 在中，。 计算只用到了两锐角之和，不依赖它们各自的数值，因此该角不变。 【易错提醒】把两条角平分线的夹角一概写成。 【变式1-6】（改编自2025·南京 南京六十六中中考一模练习）海监船沿正东方向航行，在点测得岛上观察点位于北偏东方向。船以每小时海里的速度继续航行小时至，此时测得位于北偏东方向。 船再向东航行多少海里时与的距离最近？可作于延长线上的点辅助分析。 【答案】再航行海里。 【分析】把两次方位角转为三角形的内角，先用等腰关系求，再以垂线段最短确定目标位置。 【详解】海里。由方位角得，，所以。 。因此，得海里。 直角三角形中，，所以海里。 垂线段最短，故船到时与最近，再航行海里。 【易错提醒】把北偏东角直接当成与向东航线的夹角；最近点不是而是垂足。 【题型2 垂直平分线与双等腰的等距转化】 【方法提示】由垂直平分线得到等距，再以等边对等角、三线合一或SSS全等完成推理。 【例2】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第11题））如图，在中，，。线段的垂直平分线交边于点，连接。求。 【答案】。 【分析】到、等距，先在三角形中得到一个已知角，再从原底角中减去。 【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以。 所以。 又，所以。 因此。 【易错提醒】把垂直平分线误当成角平分线，直接平分底角。 【变式2-1】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第11题））如图，，线段的垂直平分线交边的内部于，连接。若，求。 【答案】。 【分析】用同一个未知角表示两个等腰三角形的角，再把原底角拆分。 【详解】设。由，得。 由，得。 因为在边内部，所以，即。 解得，故。此时，确有。 【易错提醒】减角关系必须与在线段内部的条件相符，不能把角相加或取绝对值后漏掉位置限制。 【变式2-2】（改编自2024·江苏苏州中考第20题）如图，中。在直线的另一侧取点，使，连接交于，连接。 （1）求证：。 （2）求证：，且。 【答案】（1）两三角形全等；（2）垂直平分。 【分析】先用三边相等证明全等，再用等角和三线合一；不能只凭对称图形断言垂直。 【详解】在与中，，，，故由三边对应相等得。 由全等得，因此是等腰顶角的平分线。 由等腰三角形三线合一，得且。又共线，所以。 【易错提醒】全等判定中必须写出公共边，不可把图形对称作为已知条件。 【变式2-3】（改编自2024·江苏苏州中考第20题）如图，，点与点在直线的两侧，。连接交于。已知，。求和。 【答案】，。 【分析】上下两个等腰三角形共用同一条垂直平分线，先平分两个顶角，再用三角形内角和。 【详解】由、和公共边，得。 所以平分；又共线且，由等腰三线合一知平分。 因此，。 在中，。 【易错提醒】与分居两侧时，处所求角含两个相邻角，不能误作两角之差。 【题型3 中点倍长与两次全等】 【方法提示】中点提供一组等长；延长或补出对称长度后先证第一对全等，再利用公共边、对应边衔接第二对。 【例3】（改编自2024·无锡 天一实验学校2024-2025学年八上期中 原第27题第（1）（2）问）在等腰直角三角形与中，，，，且。小三角形按图示方向放置：初始在线段上，与在直线同侧。连接，为中点，连接。 （1）写出与的数量关系和位置关系，并证明。 （2）把绕逆时针旋转，使落在边上，仍用原字母表示对应点。第（1）问的结论还成立吗？说明理由。 （3）在初始位置中，若，，求。 【答案】（1）且。 （2）仍成立。 （3）。 【分析】中点旁有两条对应线段时，可倍长其中一条中线，把中点全等转化为一对平行等长边；再把两组等腰直角条件用于同向直角旋转，构造新的等腰直角三角形。 【详解】（1）延长到，使。因为，且，由可得，所以且，方向与射线一致。 把绕逆时针旋转：由及，与重合；由、和等腰直角三角形的对应方向，的像与重合，因而与重合。 所以且。是中点，由等腰三角形三线合一得，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得。于是且。 （2）仍成立。此时小三角形仍是由初始图绕作同向旋转得到的，及直角对应方向不变，仍作使为中点。上述两次全等或旋转构造完全保留，故仍有且。 也可注意此时、；，所以绕逆时针旋转仍与重合。 （3）初始在线段上，所以。在直角三角形中，。为斜边中点，，所以，由长度为正，。 【易错提醒】倍长时弄错与中点对应的两个端点；旋转后仍直接使用起始图的共线关系；只证明两线段等长，漏证垂直。 【变式3-1】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第19题））如图，在中，点是的中点。过作，连接并延长，交边于。 （1）求证：。 （2）若，，求。 【答案】（1）两三角形全等；（2）。 【分析】中点给出一组对应边，对顶角和平行线给出两组等角。 【详解】因为是的中点，所以。 由，得；又为对顶角，所以由角边角得。 故。由在边上，得。 【易错提醒】全等先得到，随后；不要混淆与。 【变式3-2】（改编自2026·江苏徐州中考第23题）如图，是的中线，点在内部，点在的延长线上且在之间，，连接。求证：。 【答案】。 【分析】中线提供，对顶角和一组平行线足以用角角边。 【详解】因为是中线，所以。 因为，所以。 又为对顶角，因此由两角及其中一角的对边对应相等，得。 【易错提醒】、、的顺序要写清，不能把内错角或对顶角对应关系写乱。 【变式3-3】（改编自2026·江苏徐州中考第23题）如图，，是的中线。点在内部，点在的延长线上且在之间，，连接。求证：，且。 【答案】，四条所列线段相等。 【分析】用三线合一得到垂直，再把左右直角三角形全等与中线倍长全等衔接起来。 【详解】由且为中线，得；又共线，故。 由、、，得，故且。 在与中，，，夹角都是直角，故两三角形全等，得。 同理，由、公共及直角，得。于是。 【易错提醒】证明四条边相等时，不要把一次全等的对应边范围扩大；需要再比较左右两个直角三角形。 【变式3-4】（改编自2025·江苏苏州中考第21题）如图，点依次在同一直线上，是的中点，点在直线同侧，，。 （1）求证：。 （2）连接。若，求。 【答案】（1）两三角形全等；（2）。 【分析】先由中点和平行线构造角边角全等；要求另一条连接线，继续用一组对应边相等与公共边构造第二对全等。 【详解】因为是的中点，所以；又，故。 再由，根据角边角得，所以。 因为，所以。由、及夹角相等，根据边角边得，故。 又，所以。 【易错提醒】第一次全等不能直接得到所求连接线；还需要利用公共边构造第二对全等三角形。 【变式3-5】（改编自2026·江苏徐州中考第23题）如图，，为中线，在内部，在的延长线上且在之间，，连接。若，，求和的面积。 【答案】，面积为。 【分析】由等腰结构与直角先得到角，从而把底边的一半转成给定高。 【详解】由及中线，得且。因此直角和全等，得。 又，所以是等腰直角三角形，两底角均为。 在直角中，，故。于是。 以为底，其高为，面积为。 【易错提醒】处为直角不意味着等于；等的是和。 【变式3-6】（改编自2025·南京 南京市中考 原第25题）码头在码头的南偏东方向，千米，灯塔位于中点。船甲从沿正南方向航行，船乙从沿正东方向航行。甲到、乙到时，航行距离相等且均大于，并且在同一直线上。 求，结果保留根号；若，再取到十分位。 【答案】千米，约千米。 【分析】借灯塔中点构造两个全等三角形，将两船等路程转为等腰直角三角形。 【详解】延长与交于，则、。故，，所以。 过作交直线于。因，且平行线给出两对相等角，可证，从而。 又，所以，且。故为等腰直角三角形，。于是也为等腰直角三角形，。 设，则，。所以，得。 代入近似值得，取到十分位约千米。 【易错提醒】中点条件要结合对应角、对应边建立全等关系；作辅助线后还需核对两船均已离开起点。 【变式3-7】（改编自2025·南京 南京市中考 原第25题）点在码头的正西方向，码头在的正北方向。已知千米，千米，灯塔是中点。船甲从向航行，船乙从向正东航行。两船均已离开起点，航行距离相等，分别到达时，共线。 求两船各自航行的距离，并核对是否在线段上。 【答案】各千米，在线段上且千米。 【分析】把方位角换成已经测得的南北、东西间距，保留中点全等与两船等路程的关系。 【详解】过作交直线于。由和两对平行线所成角相等，可证，得。 又两船航行距离相同，，所以。两段互相垂直，为等腰直角三角形，进而。 设，则，。所以，解得。 且，所以确在线段上。 【易错提醒】只从示意图猜两船在某一时刻共线，没有把灯塔中点和全等关系写出。 【题型4 截长补短构造线段和差】 【方法提示】为证明或求出两段之和/差，在较长线段上截出已知长度，或延长短段补出等量，再用全等转化剩余段。 【例4】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第26题）约定：在凸四边形中，若，且平分，就称它为“和美四边形”。连接对角线。 （1）在一个“和美四边形”中，若，证明。 （2）在一个“和美四边形”中，已知。在线段上截取，连接。证明，并据此证明。 （3）若，，，求这个“和美四边形”的面积。下图为这一问的构型示意。 【答案】（1）（2）证明见解析；（3）面积为。 【分析】从定义中的角条件出发，先验证直角特例，再在较长边上截取对应线段构造全等，把一般四边形的面积转移为同一底线上的三角形面积。 【详解】（1）由定义，。在直角三角形和中，斜边公共，且，因此两三角形全等，得。 （2）因为，可在线段内部截取。平分，故；又公共，所以（SAS）。于是，。 点依次共线，故。又，所以，从而。结合，得。 （3）沿用（2）的构造，，；且。过点作，垂足为。由等腰三角形三线合一，为的中点，，。 在直角三角形中，，所以。的面积为，的面积为。 由，两者面积相等。对角线把凸四边形分成和，所以四边形面积为。 【易错提醒】新定义只提供题干明确给出的角条件；截取等长线段后，应先写出全等和角度转换，再说明等腰关系，不能直接把未知图形当作某种特殊四边形。 【变式4-1】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第16题））如图，点依次在同一直线上，点分别在这条直线的两侧，，，。 （1）求证：。 （2）若，，求。 【答案】（1）；（2）。 【分析】先证明两端三角形全等，得到与相等，再减去公共的。 【详解】由，得；由，得。 再由，根据两角及其中一角的对边对应相等，得，所以，。 由于、，得。 由，得。 【易错提醒】线段和相等并不意味着等于，必须先减去两式共有的。 【变式4-2】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第16题））如图，点依次共线，点分居直线两侧，，，。若，，求和。 【答案】，。 【分析】先沿用角角边全等得到两侧短段相等，再把整段写为同一未知量的倍数。 【详解】由两组平行线及，可证，故。 由、，得。 设，则，，故。 于是，解得。所以，。 【易错提醒】把理解成，忽略本身包含。 【题型5 双垂线与一线三等角构造全等】 【方法提示】把垂直条件转成互余角，使直角边或斜边形成对应；必要时补垂线以形成一线三等角构型。 【例5】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，，，垂足分别为，且。求证：。 【答案】。 【分析】两直角三角形共用作斜边，与是一组对应直角边。 【详解】由垂直条件得。 在直角与直角中，斜边，直角边。 由斜边和一条直角边对应相等，得，故。 【易错提醒】公共边在两个直角三角形中都是斜边，不能把误对应到。 【变式5-1】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，在直线同侧，，，，射线位于内部。若，求。 【答案】。 【分析】先证明两直角三角形全等，求出与夹角，再按内部射线的角差计算。 【详解】由公共斜边和，得直角。 在中，。 由全等对应角相等得。 由于位于内部，所以。 【易错提醒】只有给清楚射线的内部位置，才能使用两个角的差；不能仅凭草图选择加减。 【变式5-2】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，在中，，，为的中点。过作交的延长线于，过作，垂足为。求证：。 【答案】。 【分析】先用中点构造一对直角全等，再通过过的垂线构造第二对全等，把两倍关系拆成两个相等的短段。 【详解】由、和，得，故。 连接，过作交于。因为且，所以；又，得。 再由，根据角边角得。于是，。 所以是以为直角顶点的等腰三角形，。由于共线且，由三线合一得；直角中又有。 故。 【易错提醒】两倍关系要拆成两个相等的短段，并写出辅助线所构成两对全等三角形的对应关系。 【变式5-3】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，，，是的中点，交的延长线于，于。作关于直线的轴对称三角形，连接。已知，求的面积。 【答案】。 【分析】先由全等得到与的倍数关系，再在中点处构造与原直角三角形全等的三角形，把面积的底和高都转为已知量。 【详解】由、和，得，故。 连接，过作交于。因为且，所以；又，得。 再由，根据角边角得。于是，。 所以是以为直角顶点的等腰三角形，。由于共线且，由三线合一得；直角中又有。 故。 由轴对称得，，所以。取的中点，连接，得。 由等腰直角得；由双垂线得。故。 由、及夹角相等，得，所以，。 由前面的证明，，因此。 于是且，所以的面积为。 【易错提醒】作对称图后所求三角形以为底时，高是，不是或原来的。 【题型6 特殊三角形的配对全等】 【方法提示】围绕公共顶点，把两组等边及夹角关系配成SAS全等，再推出连接线长度、夹角或垂直。 【例6】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，，点在的延长线上（在之间），点在边内部，且。连接。 （1）求证：。 （2）若，求。 【答案】（1）两三角形全等；（2）。 【分析】公共直角顶点处两边成对相等，先证明边角边，再把处的大角分成原底角与新增角。 【详解】因为共线且，所以。 由、及夹角相等，得。 因为且，所以。 由在边内部，得。全等给出。 由于在的延长线上，。 【易错提醒】全等对应角是与，不能把直接对应。 【变式6-1】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，。点改在边内部，点在边内部，且，连接。若，求。 【答案】。 【分析】全等仍成立，变化的是处射线落在原角内部，所以计算由加法变成减法。 【详解】由、及两个直角，得。 所以。又，且。 因在边内部，射线位于内部，故。 【易错提醒】只改变的位置就沿用外侧情形的加角公式，会把误算成。 【变式6-2】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，，点在的延长线上，点在边内部，且，连接。设。 （1）用含的式子表示。 （2）若，求。 【答案】（1）；（2）。 【分析】把典例的数字换成一个角量，并加入关系逆推；先保留完整角差链，避免凭记忆套式。 【详解】由边角边得，因此。 由，得。 所以。 若，则，得。它满足，与在内部相符。 【易错提醒】由角的倍数关系反求参数后，还应检查所得角对应的点确实在给定边内部。 【变式6-3】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，，点在的延长线上（在之间），点在边内部，且。连接。求证：，并求直线与直线的夹角。 【答案】；与的夹角为。 【分析】用边角边把一组角转移后证明互余；另一个垂直关系由两个等腰直角三角形的角得到。 【详解】由、及直角，得，所以。 在直角中，。由于是直线与所成的锐角，是直线与所成的另一侧锐角，两者之和为，故。 又且，所以；。直线与分别在直线两侧形成这两个锐角，因此它们的夹角为。 【易错提醒】对应角相等本身不能直接推出两条斜线垂直，还要明确它们与基准线所成角互余且分居两侧。 【题型7 角平分线等距与面积转化】 【方法提示】作到角两边的垂线，先用等距/HL，再用同高或同底的三角形面积表达同一数量。 【例7】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）如图，点在的边内部，平分。过作、，垂足为。 （1）求证：。 （2）请用等距与面积关系证明。 【答案】（1）；（2）所列等式成立。 【分析】从角平分线上的点作双垂线，将同一组面积比表示两次，比较等距条件与同高条件的作用。 【详解】过分别作、，垂足为。由角平分线上的点到角两边的距离相等，得。 以分别为底，与面积的比为；因为它们到直线的高相同，以为底时面积的比又为。 故，即。这里仅用了面积公式和角平分线等距性质。 【易错提醒】需要把同一对三角形的面积比表示两次，并说明每次选择的底和高分别是什么。 【变式7-1】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）如图，中，，，，平分，点在边上。求，并用等距与面积写出完整推理。 【答案】，。 【分析】不能直接把结论当定理套用，要先说明为何两段底边之比等于两邻边之比。 【详解】过分别作、，垂足为。由角平分线上的点到角两边的距离相等，得。 以分别为底，与面积的比为；因为它们到直线的高相同，以为底时面积的比又为。 故，即。这里仅用了面积公式和角平分线等距性质。 由上式得。设，，则，故。 因此，。 【易错提醒】对应，对应，不能将两段底边顺序颠倒。 【变式7-2】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）如图，在中，，，点在边内部，且，。请用全等与面积关系证明：平分。 【答案】平分。 【分析】先由同高面积得到底边分段之比，再推出到两边的距离相等，最后用直角三角形全等证角相等。 【详解】过分别作、，垂足为。 因为与到的高相同，所以它们面积的比为。 另一方面，这个面积比为。比较得。 在直角与直角中，为公共斜边，且，故两三角形全等。于是，即平分。 【易错提醒】先证明，再补出公共斜边，才能用直角三角形全等得到角平分线。 【变式7-3】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）木工师傅在一块直角三角形木板上定位连接孔。已知，，。在边上取点，使平分；连接孔到两条直角边的距离均记为。 （1）求与面积的比。 （2）求。 【答案】（1）；（2）。 【分析】两条直角边的等距把总面积拆成两个同高三角形，先用已知边求出总面积，再反求共同的高。 【详解】由角平分线的性质，点到的距离相等，均为。 以分别为底，两个三角形的高都为，所以面积比为。 原直角三角形面积为。 又总面积等于，因此，解得。 【易错提醒】是点到两边的垂直距离，不是长度；不能把直接当作两个小三角形的高。 【题型8 动点全等与等腰三角形存在性】 【方法提示】先把允许动点区间和退化位置写清，再按全等对应或等腰的等边身份列条件；分支求解后逐项回到原图验存在。 【例8】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第25题）在中，，垂足在线段内部，，，。动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，到达点后停止。设运动时间为秒，其中。 （1）求的长，并说明动点何时到达。 （2）当的面积为时，求的全部可能值。 （3）当为等腰三角形时，求的全部可能值，并写明每种情形下相等的两边。 【答案】（1），，，时到达；（2）或；（3）时，时，时。 【分析】先用两个直角三角形的平方差确定垂足，再按折线路径的两段分别表示长度；等腰情形要逐一检查三种等边条件和端点退化。 【详解】（1）设，则。由勾股定理，，化简得，所以，。又，故。到达的时间为秒。全程长，到达用时秒。 （2）当时，在线段上，。以为底，的高为，故其面积为。令，得，符合该阶段范围。 当时，在线段上，，。以为底，的高为，面积为。令其等于，得，符合阶段范围。 （3）先研究在线段上的情形，记，其中，则，。 若，则，得，故。若，则；因，得，所以，。 若，则，化简得，与矛盾。因此这一阶段没有第三种情形。 再研究在线段上的情形，记，其中，则，。因，不可能有；若，则，得，此时，三角形退化，不符合题设。 若，则，化简得，所以。此时，且，符合条件。综上，全部时间为秒、秒、秒，等边关系如答案所列。 【易错提醒】动点到达转折点后，运动路程不再等于底边上的距离；等腰分类应覆盖三种等边条件，并排除终点重合造成的退化三角形。 【变式8-1】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第19题））在中，，点是的中点。过作，使共线，交射线于点，且不与重合。若，求的所有可能值。（图示其中一种情况。） 【答案】或。 【分析】先证；由于交点在射线而非限定在线段内，需按在前后分类。 【详解】由、平行线产生的等角及对顶角，得，所以。 若在线段内部，则。 若在的延长线上且位于的外侧，则。 射线上的点只有这两种相应位置，因此或。 【易错提醒】忽略交点允许在外侧，机械写成而漏解。 【题型9 开方逆向求值与非负条件】 【方法提示】用平方根/算术平方根/立方根定义，结合被开方数非负、非负和为零与符号条件，逆推参数并验根。 【例9】（改编自2026·镇江中考第2题）（1）计算，并写出的所有平方根。 （2）若的两个平方根分别为与，求，并验算这两个平方根。 （3）求。 【答案】（1），平方根为；（2）；（3）。 【分析】保留原题的开方运算，再利用正数的两个平方根互为相反数逆向求参，并以立方检验。 【详解】（1）因为且，所以。的两个平方根为与。 （2）两平方根互为相反数，故，解得。 验算：，，两数的平方都为，符合条件。 （3），由开立方与立方互逆，。 【易错提醒】算术平方根只取非负值，平方根则有正负两个；最后一步开立方保留原来的符号。 【变式9-1】（改编自2025·南京中考第4题）已知。 （1）求的算术平方根； （2）写出的所有平方根及它的立方根； （3）比较它的算术平方根与立方根的大小，并用平方、立方验算。 【答案】算术平方根；平方根；立方根；。 【分析】先按原题数据用小数核对开平方，再对同一个数区分平方根与立方根。 【详解】（1）因为且，所以的算术平方根为。 （2）正数有两个互为相反数的平方根，因此它的平方根为。又，所以它的立方根为。 （3），所以它的算术平方根小于立方根。验算：，。 【易错提醒】算术平方根只取非负值；本题被开方数小于，比较前须留意。 【变式9-2】（改编自2026·镇江中考第2题）已知，，且。 （1）求、； （2）求的值。 【答案】，；。 【分析】平方关系先有两种符号，再用附加条件筛选；立方关系只有一个实数结果。 【详解】（1）由可得。因为，所以。 因为，所以。 （2），于是，其算术平方根为。 【易错提醒】求平方根时先保留两种符号；最后的算术平方根不带正负号。 【变式9-3】（参考2025·南京中考第4题考点拓展）一块正方形工艺试片的面积为，另一件正方体试块的体积为。两件试品的边长是否相同？分别换算成厘米，并用平方、立方验算。 【答案】相同，均为。 【分析】面积对应开平方，体积对应开立方，先统一单位再比较。 【详解】设正方形边长为，则且。因为，所以。 设正方体棱长为，则且。因为，所以。 ，所以两者边长相同。验算：，，分别对应与。 【易错提醒】面积与体积的单位不能混用；实际边长不取负根。 【变式9-4】（改编自2024·南京中考第8题）（1）若式子在实数范围内有意义，求的取值范围。 （2）进一步已知，求、，并判断这一条件能否允许。 【答案】（1）；（2），，不允许。 【分析】等式有意义首先要求两个相反的被开方数都非负。 【详解】（1）根式有意义要求，所以。 （2）两个根式同时有意义，必须有及，所以且，即。 代入原等式得，所以。若，则，第二个根式没有实数意义，因此不允许。 【易错提醒】不能只检查其中一个根式；等式两边有值之前要先保证每项有意义。 【变式9-5】（改编自2024·常州中考一模（公开整理卷第10题））设，。 （1）要使有意义，应满足什么条件？ （2）求、都有意义时的取值范围； （3）在这个范围内，是否随改变？能否出现？说明理由。 【答案】（1）；（2）；（3），不能出现。 【分析】先联立非负条件，再由算术平方根的平方还原被开方数，利用非负性检验零值。 【详解】（1）有意义要求，即。 （2）、同时有意义要求且，所以。 （3）由定义，，，所以，不随改变。 且。若，则，从而，与其等于矛盾，因此不能出现。 【易错提醒】两个非负数之和为零才能分别为零，不能把“和恒定”误认为每项恒定。 【变式9-6】（改编自2024·常州中考一模（公开整理卷第10题））已知。求、及的值。 【答案】，；所求值为。 【分析】两个加数都非负，由和为零分别确定参数，再按定义开方。 【详解】算术平方根，平方。两项之和等于，所以两项都等于。 由和，得，。 此时，故；又，故。 所求值为。 【易错提醒】根式有意义与根式等于零不是同一个条件；平方后的开方结果应非负。 【变式9-7】（参考2024·南京中考第8题考点拓展）实数具有以下性质：对每个满足的实数，根式都有意义，而且这些中至少有一个使该根式等于。求以及使根式等于的。 【答案】，。 【分析】“每个都成立”先检查最小的被开方数；“至少一个为零”再提供反向限制。 【详解】取，根式有意义要求，即。反过来，若，则任意满足的都有，所以这个条件也是充分的。 根式等于时，，即。由于这样的在内，得，即。 联立与，得；此时。 【易错提醒】不能只找一个可代入的；“任意”与“存在”要分别处理并取公共条件。 【变式9-8】（改编自2024·南京中考第15题）阅读材料：已知。记。 （1）求的精确值； （2）比较与的大小； （3）求。 【答案】；；。 【分析】材料说明某个实数的平方等于被开方数；必须先从一对相反数中选非负者，再用平方界判断新表达式的符号。 【详解】（1）由可知，所以而。根据材料及算术平方根定义，。 （2）因为，所以，因此。 （3）由，得，故。 【易错提醒】不能见到平方就直接去掉平方与根号；要先确认留下的表达式非负。 【变式9-9】（改编自2024·南京中考第15题）已知。令。 （1）说明的理由； （2）不使用计算器，判断是否小于； （3）求的精确值。 【答案】；；最后一式为。 【分析】利用已给平方等式和正性确定，再比较与来决定符号。 【详解】（1）因为，所以，即。结合已知平方等式可得。 （2），故，所以。 （3），所以，从而。 【易错提醒】比较根式与分数可比较正数的平方；不要先把取近似值再决定严格不等式。 【题型10 数轴定位 估算与大小比较】 【方法提示】先判符号，再通过平方/立方界定位；把数轴位置转成不等式，处理整数部分、候选整数与比较命题。 【例10】（改编自2025·南京中考第5题）非零实数满足，它们在数轴上按这一顺序排列。 （1）表示的点应在与对应的两点之间吗？说明理由； （2）把、、、按从小到大排列，并说明的正负。 【答案】（1）是，；（2），乘积为正。 【分析】保留原数轴中相反数、原数、倒数的顺序与定位数字的主问，先确定为正再比较。 【详解】（1）由得。由且，两边乘得，故。再将两边除以，得。所以确实在与之间。 （2）因为，将两边乘正数，得；将两边除以正数，得。 因此。又、，所以。 【易错提醒】乘不等式时先判断所乘量正负；大于不代表大于。 【变式10-1】（改编自2025·扬州中考第5题）（1）在、、、中，哪个数可能由数轴上位于与之间的点表示？说明理由。 （2）写出位于与之间的所有整数； （3）在与之间找出一个有理数，并用平方比较说明它确实符合要求。 【答案】（1）；（2）；（3）可取。 【分析】用相邻完全平方数定位根式，再用一个正分数的平方验证其位置。 【详解】（1）由、，可知、；由得；又，所以。因此符合要求的只有。 （2）由得。两数之间的整数为。 （3）取。因为，而，所以；又。因此。 【易错提醒】负根式的大小方向要反转；给出小数近似不能代替分数位置的精确验证。 【变式10-2】（参考2025·南京中考第5题考点拓展）非零实数满足。 （1）证明； （2）求的值，并说明每次开方所取的符号。 【答案】；所求值为。 【分析】改变原数轴中的排列后，先判断负号，再利用负数乘法翻转顺序，最后按开方定义处理。 【详解】（1）由得。将的两边乘负数，不等号反向，得。结合，可知。 （2）且，所以的算术平方根为，即。 由立方根定义，。因此所求值为。 【易错提醒】乘负数要反向；当时，不能写成。 【变式10-3】（改编自2025·扬州中考第5题）数轴上一个区间的左、右端点分别表示与，不包含端点。考察、、、，再加入与。哪些数在区间内？逐个说明理由。 【答案】与。 【分析】分别用平方或立方界定位置，严格区分区间内部与端点。 【详解】因为、，所以、都小于，不在区间内。 因为，所以；又，所以。 ，所以；恰在端点，不在区间内部。故符合条件的只有与。 【易错提醒】平方根与立方根分别使用平方界和立方界；端点不包含时不能用等号。 【变式10-4】（改编自2025·南京中考第11题）设，整数满足。求和。 【答案】；所求值为。 【分析】先估计所在整数区间，整体减后再判断绝对值中各式的符号。 【详解】因为，所以，从而。因此。 由及得。 【易错提醒】应估计整体；两个绝对值内部的符号相反。 【变式10-5】（改编自2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第3题））一块正方形展板的面积为。 （1）估计边长介于哪两个相邻整数之间； （2）已知，，将边长精确到； （3）四周围一圈装饰条，接头损耗忽略不计。装饰条只能按整米购买，至少应买多少米？ 【答案】与之间；约；至少。 【分析】用平方比较逐步缩小边长范围，采购时按实际周长上取到整米。 【详解】（1）边长为。由，得。 （2）由所给平方关系，，所以精确到时边长为。 （3）真实周长为，由上界、下界可得。买不够，买足够，所以至少买。 【易错提醒】周长不能用四舍五入后的边长替代真实边长来判定是否足够；采购取整方向由实际需要决定。 【变式10-6】（参考2025·南京中考第11题考点拓展）设是正整数，。 （1）证明； （2）在与之间有且只有一个整数，写出这个整数并说明理由； （3）当时，已知，，将精确到。 【答案】；唯一整数为；约。 【分析】用相邻整数的平方对含参数被开方数夹逼，整体平移后判断整数位置。 【详解】（1）因为，所以。因此，即。 （2）由得，所以两数之间有且只有整数。 （3）当时，。由已知平方关系得，所以，精确到得。 【易错提醒】夹逼时必须为正；保留两位小数的不能省写末尾。 【变式10-7】（参考2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第3题）考点拓展）正整数满足。 （1）写出的所有可能值； （2）这些值中，哪些使是整数？给出相应的算术平方根。 【答案】；时根为，时根为。 【分析】对正数范围平方后求整数，再用完全平方数筛选。 【详解】（1）由得，所以。为正整数，故。 （2）对应的分别为。其中完全平方数只有与，所以时，时。 【易错提醒】严格不等式不能误收端点；平方根为整数要检查被开方数是否为完全平方数。 【变式10-8】（改编自2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第5题））已知、是实数且。对下列三个结论，分别判断是否一定成立；不一定成立的给出反例，一定成立的说明理由。 ①；②；③。 再说明当、都小于时，①、②中的比较符号应如何改变。 【答案】只有③一定成立；当时，，。 【分析】平方与绝对值会抹去符号，需要反例；立方保留符号，可按同正、同负、异号三类证明。 【详解】①、②不一定成立。例如、满足，但，且。 ③一定成立。当时，非负数中较大的数立方也较大，所以。 当时，，因此，即，故。当时，，结论也成立。 当时，且两者为正，所以，平方后亦有。 【易错提醒】反例必须满足；不能用“试过几个数都正确”替代对全部实数的分类证明。 【题型11 绝对值分段 数轴距离与最值】 【方法提示】找各绝对值内部为零的分界点，按区间去绝对值；把距离和、距离差解释回数轴并列全取等位置。 【例11】（改编自2026·无锡中考第11题）对任意实数，记代数式。 （1）当时，求，即计算； （2）当时，求； （3）求的最小值，以及取得最小值时的范围。 【答案】（1）；（2）；（3）最小值，。 【分析】先完成原题的绝对值与开方，再由定义把平方后的开方理解为到数轴定点的距离。 【详解】（1）当时，。 （2）由得，所以。又且，故，于是。 （3）对任意实数，由算术平方根定义可知。当时，。 当时，；当时，。 因此最小值为，所有取等的满足。 【易错提醒】最小值的取等点可能有无穷多个；不能只写某一个数。 【变式11-1】（参考2024·南京中考第10题考点拓展）实数与互为相反数，且。求所有可能的有序数对，并求。 【答案】或；立方根为。 【分析】先把相反数关系化成一个变量，再按分界点、分情况。 【详解】因为、互为相反数，所以。原条件变为。 若，则，得，符合条件。 若，左边为，不等于，无解。 若，则，得，符合条件。 故或。两种情况下都有，所以。 【易错提醒】相反数不一定按“正、负”排列；有序数对的两个排列不能漏掉。 【变式11-2】（改编自2026·无锡中考第11题）先计算，再取。求的精确值，并判断结果的正负。 【答案】；所求值。 【分析】先完成原题得到分界点，再把定位到与之间；判断最终符号时与比较。 【详解】。由得。 于是。 因为，所以，故。 【易错提醒】绝对值之差的正负要由准确范围判断，不能用粗略整数界直接断言。 【变式11-3】（改编自2024·南京中考第10题）（1）实数、满足怎样的等式时，能保证它们互为相反数？ （2）进一步取，且、互为相反数。数轴上点表示，写出到表示、两点的距离之和，求最小值及全部取等位置。 【答案】（1）；（2）距离和，最小值，。 【分析】利用相反数确定对称端点，再按点在两端之外或之间分别计算。 【详解】（1）由相反数定义，能够保证、互为相反数。 （2），所以两段距离分别为与，距离之和为。 当时，距离和；当时，距离和。 当时，距离和。因此最小值为，所有取等位置对应。 【易错提醒】两端之间包括端点；数轴距离要取绝对值，不能直接用有向差相加。 【题型12 新定义运算的多步过程与逆推】 【方法提示】材料明确一种仅用已学数与运算的规则，按输入符号分支执行，研究若干步结果、满足条件的输入或过程不变量。 【例12】（改编自2025·扬州邗江区八上期中第27题第（2）问（公开整理卷））对非负实数，把不大于的最大整数称为的“根整数”。一次取根整数算作一步；重复操作时，用上一步的结果作为新的输入。 （1）写出从开始，直到第一次得到的完整过程，并指出所需步数； （2）正整数经过连续三步取根整数，才第一次得到。求的最小值、最大值，并求这样的共有多少个； （3）若改为连续四步才第一次得到，求的最大值，并用它检验结论。 【答案】（1），三步；（2）最小、最大，共个；（3）最大。 【分析】从第一次得到一反推上一层必须落入的整数范围。要把“第三步才首次得到”与“第三步得到”区分开，排除提前到一的输入。 【详解】（1），，，所以过程为，共三步。 （2）第一步即首次得到的正整数输入为；第二步才首次得到，第一步结果须为或，输入为至。 因此第三步才首次得到，第一步结果须为至，即。从而。 满足条件的正整数为至，共有个。边界检验：；；需四步。 （3）四步才首次得到时，第一步结果须为至，故，即。最大整数为，其过程是。 【易错提醒】上界由严格小于给出，正整数最大值应减一；输入已经为一时不应计作第一次操作后才达到。 【变式12-1】（考点拓展（参考2025·扬州邗江区八上期中第27题过程考点））对非负实数，把不大于的最大整数称为的“根整数”。一次取根整数算作一步；重复操作时，用上一步的结果作为新的输入。 一个正整数进入处理器后，先取一次根整数，把所得整数加上，再取一次根整数，最终输出。 （1）当时，写出完整的处理过程； （2）求所有可能的正整数的范围； （3）如果输出改为，不逐个试算，求可能的正整数输入共有多少个。 【答案】（1）；（2）；（3）共个。 【分析】把中间根整数记为一个非负整数，先由最后输出的平方界反推中间整数，再反推最初输入。两个边界都须检验。 【详解】（1）的根整数是，加上得到。因为，输出为。 （2）设第一次根整数为。最终输出，等价于，即，故整数为至。 因此，所以。所有可能输入为至的正整数。边界过程为和。 （3）输出时，，故，整数为至。 于是，即，共有个正整数输入。 【易错提醒】加上七发生在第一次取根之后，不可直接把原输入加七；向前取整与向后平方时，应始终保留右端严格不等号。 【变式12-2】（参考2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第5题）考点拓展）规定一次“同号开方”过程：输入实数，若，输出；若，输出。 （1）分别求输入与时的输出； （2）若两个输入，输出是否也一定按同样的大小顺序排列？分类说明； （3）先把两个输入相加再进行该过程，是否总等于分别进行该过程后把输出相加？若不成立，请举例。 【答案】（1）、；（2）是；（3）否，例如两个输入都为。 【分析】把材料中的立方保序思想迁移到分支开方，先判断输入符号，再验证运算是否保持加法。 【详解】（1）输入时输出；输入时输出。 （2）若，则，输出保持顺序。若，则，所以，再取相反数，得，输出仍保持顺序。 若，前一个输出非负，后一个输出为负，顺序也保持。因此所有情形都成立。 （3）不总成立。例如两个输入都为，相加后输入，输出；分别输入再相加得。由可知两者不同。 【易错提醒】开平方保序不能直接推出保加法；负输入分支有两个负号层次。 【题型13 拼图与面积割补中的勾股关系】 【方法提示】同一面积作两种表示，把直角边和差、面积和与斜边平方联系起来，再用已学整式关系或一次方程组求量。 【例13】（选自2024·南通 南通市中考 原第8题）赵爽弦图由四个全等直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。设两条直角边长为，且。若小正方形面积为，，则大正方形面积为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把小正方形面积写为，与已知的相加。 【详解】由图形可得小正方形的边长为，故。 将与相加，得，所以。 大正方形的边长是直角三角形的斜边，因此其面积为。选。 【易错提醒】误把当成大正方形边长。 【变式13-1】（改编自2024·南通 南通市中考 原第8题）赵爽弦图仍由四个全等直角三角形围成中间的小正方形。两直角边为，。已知，小正方形边长为。 求大正方形的面积，以及四个直角三角形的面积和。 【答案】大正方形面积；四个直角三角形面积和。 【分析】小正方形边长须先平方成面积，再建立平方和与平方差。 【详解】因为，所以。 两式相加得，故大正方形面积为。 四个直角三角形的面积和为。也可由，得。 【易错提醒】把小正方形边长直接当作面积，或把单个三角形面积与四个面积和混淆。 【变式13-2】（选自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第14题）赵爽弦图中，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为。设直角三角形两直角边为，。 有四个推断：①；②；③；④。 所有正确推断的序号为________。 【答案】①②③。 【分析】分别利用斜边平方、差的平方和面积分割检验四个推断。 【详解】由勾股定理，大正方形面积为，所以①正确。 小正方形边长为，其面积为，故，②正确。 四个三角形面积和为，又等于，所以，③正确。 ，而，故，④错误。 【易错提醒】用近似图形判断，或把四个三角形的总面积写成。 【变式13-3】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第14题）赵爽弦图的大正方形面积为，中间小正方形面积为。两直角边为，且。 （1）求与； （2）求。 【答案】（1），；（2）。 【分析】先由面积分割求两条直角边的乘积，再求它们的和与差，用一元一次方程组确定边长。 【详解】由面积分割，，所以。 又。因，所以。 中间小正方形边长为。由、，相加、相减可得、。 【易错提醒】求和与差时漏掉长度为正的条件，把算术平方根写成正负两个数。 【题型14 作高与两次勾股消元】 【方法提示】向共同底边或平行方向作垂线，两次勾股列式相减消去公共平方项，再核对点位和正长度。 【例14】（选自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第13题）将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点在边上。已知，，则________。 【答案】。 【分析】由折叠和共线关系先确认是高，再消去公共高。 【详解】折叠使。因为共线且在之间，两角和为，故两角均为。 。由勾股定理，，。 所以。 【易错提醒】未经折叠关系证明就直接套勾股定理；把错写成。 【变式14-1】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第13题）三角形纸片中，在上。沿折叠，与上的点重合。已知，，。 （1）求； （2）求及的面积。 【答案】（1）；（2），面积。 【分析】折叠得到的直角使得平方差与高度无关，但面积仍需要高。 【详解】由折叠和共线，可得。因此。 。 ，边长为正，故。 。 【易错提醒】以为平方差不依赖高就能在不知道高时求面积。 【变式14-2】（改编自2025·南京 南京市中考 原第15题）四边形四个内角均为直角，，。点均在四边形内部，，且，。 求的长。 【答案】。 【分析】向两条平行边作垂线。由同底的两个直角三角形列式相减，先求投影，再求。 【详解】作于，于。由全等，，。又，故。 设。在与中，，。两式相减得，所以，，。 同理，。由边的平行、垂直关系，两点沿方向的间距为，沿方向的间距为。这些间距也可通过作垂线后得到的全等直角三角形逐一转移。 因此在以为斜边、直角边为的直角三角形中，，所以。 【易错提醒】把直接当作到的距离；没有说明同方向间距就把两段斜线相减。 【变式14-3】（改编自2025·南京 南京市中考 原第15题）四边形四个内角均为直角，，。内部点满足，，。 求，并说明此时与的位置关系。 【答案】，。 【分析】侧边长度改变后，两点的垂直间距可能变为零，不必再次套有非零高的三角形。 【详解】作，。由、，分别列勾股等式相减，得到，。 因为，所以到的距离同为，它们的连线与平行。 沿方向的间距为，故。 【易错提醒】照搬前题垂直间距，没有随已知条件改变重新判断。 【变式14-4】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第26题）等腰三角形中，，，于。过作与在直线同侧、与射线成的射线，交直线于。 求，并说明在线段内还是在线段的延长线上。 【答案】，在线段内。 【分析】先比较等腰三角形的高与射线的截距，再决定相减的顺序。 【详解】等腰三角形三线合一，。由勾股定理，，所以。 是等腰直角三角形，故。 因为，在线段内。于是。 【易错提醒】求差前不先判断的位置，或把等腰三角形的高误认为腰。 【变式14-5】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第26题）等腰三角形中，，，于。过作与在直线同侧、与射线成的射线，交直线于。 求，并判断在的哪一侧。 【答案】；点的顺序为。 【分析】底边变长，高变短，射线的截距却增大，图形的位置关系会发生改变。 【详解】。在直角三角形中，，所以。 为等腰直角三角形，。因为，在从经过的射线上且位于的外侧，顺序为、、。 所以。 【易错提醒】沿用前题的，得到负的线段长度；不检查底边变动后是否仍能围成三角形。 【变式14-6】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第23题）笔直公路同侧有小区。，，千米，千米，千米。 （1）求两小区间的直线距离； （2）若在线段上设站点，要求，求。 【答案】（1）千米；（2）千米。 【分析】第一问取两垂直距离的差；第二问把两条斜边平方后相等，共同的平方项抵消。 【详解】过作交于，则，。由勾股定理，，所以千米。 设千米，则千米。由及勾股定理，。 展开消去，得，所以。该数在与之间，符合在线段上的要求。 【易错提醒】两小区的高度差应作差，不能作和；列等距条件时还要正确表示公路上的两段距离。 【变式14-7】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第13题）在中，，。线段的垂直平分线交于，交于，连接，且。 求的长。 【答案】。 【分析】先证明直角三角形斜边中点到三顶点等距，再利用在垂直平分线上把一条斜边换成。 【详解】为斜边的中点。由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，，所以。 由勾股定理，，所以。 在的垂直平分线上，故。设，则。在直角三角形中，，展开得，所以。因为，符合在线段上的条件。 【易错提醒】须区分垂直平分线与中线；勾股列式中的必须按点序正确表示。 【变式14-8】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第13题）在中，，。为中点，。过作的垂直平分线，交直线于。 求，并判断在线段内还是在它的延长线上。 【答案】；点序为。 【分析】边长变化会使垂直平分线与的交点移到边外，必须用点到、等距重新定位。 【详解】由直角三角形斜边上的中线性质，。由勾股定理，，所以。 先假设在线段内。设，则，由得，解得，与假设矛盾。 若在的外侧，，有，与矛盾。故在从经过的射线上且位于外侧。 此时设，则，由得，解得，故。 【易错提醒】不能把垂直平分线与直线的交点一律画在线段内；代数求值后还要验证点的实际位置。 【题型15 折叠等距与勾股列式】 【方法提示】明确折前后对应点和折痕等距，先得到线段和差，再在真实直角三角形中列勾股等式求长度/面积/可取性。 【例15】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第24题）在中，将顶点沿折痕翻折，使它与点重合；将顶点沿折痕翻折，也使它与点重合。点分别在线段上，点均在线段上，且按的顺序排列。连接。以下各问分别在这些折叠条件下研究。 （1）证明的周长等于，并用表示。 （2）若，，，求的周长。 （3）若，求；若仍要求是不同的点，能否等于？说明理由。 【答案】（1）周长等于，；（2）；（3），不能。 【分析】把折叠对应线段代换，再把两个等腰三角形的底角转移到顶点处；确定直角后，把已知乘积与勾股关系配成和的平方，最后检查退化边界。 【详解】（1）由折叠性质，，。所以的周长为。 由得；由得。 因依次排列，射线位于内部，故。又，所以。 （2）由（1）得，且。由勾股定理，。 所以。因，得，故所求周长为。 （3）由，得。 若，则，射线与重合。直线不经过，同一条射线与它只有一个交点，于是，与两点不同矛盾。因此在题设点位下不能出现该情形。 【易错提醒】周长代换要先说明折叠对应线段相等；已知的是两段长度的乘积，不能误读成两段各自的长度；角度公式还依赖点的排列顺序。 【变式15-1】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第16题）等边三角形纸片的边长为。点分别在边上，将沿翻折，点的对应点落在边上。 求长度的最小值，并说明何时取到。 【答案】；当时取到。 【分析】将折叠得到的与点到的垂直距离比较。借等边三角形的高，把长度下界化为一元一次关系。 【详解】作于，则，，故。设。 过作交于，再作于。在中，，所以；由勾股定理，。因为正，故。 由平行垂直关系，。折叠得，又垂线段最短，，故。 整理得。当、即时等号成立。此时，且在与之间，所以在内部。又，而，故在的垂直平分线两侧；这条线经过并与线段交于内部点。于是都在规定边上，能够实际完成折叠。 【易错提醒】只给代数下界而不证明有相应折叠位置；把垂线段最短的方向写反。 【变式15-2】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第16题）等边三角形纸片的边长为，是的中点。沿直线折叠，使与重合，其中在上，在上。 求与折痕的长。 【答案】，。 【分析】与底边中点的连线是高；折痕是这条高的垂直平分线，再用直角三角形确定半段折痕。 【详解】等边三角形中，，且。设折痕与交于。由折叠，，。 由勾股定理得，所以。在直角三角形中，，故。因为，所以，长度为正，得。 关于对称，，所以。也可由及勾股关系直接求得同一结果。 【易错提醒】把三角形的高当作边长，或没有证明折痕与底边平行。 【变式15-3】（改编自2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中）在中，，，。点在上，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上。 求的长。 【答案】。 【分析】先求斜边，再把折叠产生的等距写在以为斜边的直角三角形里。 【详解】勾股定理得，所以。 折叠得，，且。因此。 设，则，。在中，，即。 展开消去得，故。此值在与之间，符合点在边上的条件。 【易错提醒】把折叠对应点记反，写成；未核对在线段上。 【变式15-4】（改编自2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中）在直角三角形纸片中，，，。沿折叠，使落在上的处，在上。 （1）求折痕的长； （2）求和的面积。 【答案】（1）；（2）两面积都为。 【分析】先确定，再利用折叠全等性求面积；折痕长度直接由勾股定理求正根。 【详解】由及折叠等距，，。设，由得。 在中，，所以。 。折叠前后对应三角形全等，故。 【易错提醒】为化简根式而调用后续二次根式法则；面积比较不必另算斜边与高。 【题型16 运动保长与位置分类求长】 【方法提示】由全等/题给运动对应得到不变长度，再作垂线并用勾股定位；检查垂足两侧全部位置以及是否对应同一合法构形。 【例16】（改编自2024·常州 常州外国语学校2024-2025学年八上期中 原第25题）若两个等腰三角形的顶角之和为，称它们互为“友好三角形”，顶角的顶点互为“友好点”。 （1）与互为友好三角形，友好点为。若有一个内角为，求；若有一个内角为，求的所有可能值。 （2）图中三条平行直线从上至下依次为，相邻距离分别为。在上，在上，在上，且在左侧，在左侧。与互为友好三角形，友好点为，且。求。 （3）保持不动，将绕顺时针旋转，大小不变，仍用表示旋转后的对应点。是否改变？说明理由。 【答案】（1）；或。 （2）。 （3）不变，恒为。 【分析】先分类判断已知角是顶角还是底角。平行线间距离配合等腰对称性与垂直全等确定初始长度；旋转研究中把一条线段补到反向等长位置，构造直角三角形，把两段平方和转成定长线段的平方。 【详解】（1）等腰三角形中不可能是底角，所以，从而。当有一个内角为时，若该角是顶角，则；若是底角，则其顶角为，故。 （2）分别过作于，于。，，且共线。因、，等腰三角形三线合一给、。 又，所以。在直角三角形与中，斜边相等；由及共线，可得。因此两三角形全等，，。 所以。初始位置中，；关于直线对称可得。于是，，故和为。 （3）在射线上取点，使在之间且。两个友好三角形的顶角互补，所以按顺时针方向把射线转到的同一转角，也能把转到；旋转后，这个对应转角仍不变。又、，故。 这里也可按相应射线的角的和差证明，再用得。 当不与重合时，是中点，且。设，，由两个等腰三角形有、，所以，即。 由勾股定理，。若或，两段中一段为，另一段等于，结论同样成立。 【易错提醒】把已知内角一律当作顶角；旋转后仍把初始位置中的垂直关系当作不变条件；只观察一个角度就断言平方和不变。 【变式16-1】（改编自2024·常州 常州外国语学校2024-2025学年八上期中 原第25题）如图，在上方直线上，在下方直线上；过的中间直线与这两条直线平行，至上、下两线的距离分别为。初始位置中，，，且在左侧、在左侧。 保持不动，将绕顺时针旋转一周，允许不同三角形的顶点重合，也允许回到起始位置。仍用表示对应点，记。 （1）求旋转过程中的值，并证明它不变。 （2）求的最小值与最大值，并分别说明何时取得。结果保留平方根。 【答案】（1）恒为。 （2）最小值，当或时取得；最大值，当时取得，初始位置即满足。 【分析】先利用等腰全等与平行线间距确定定长，再把旋转构型中的两段平方和转成直角三角形斜边平方。长度和的上下界分别来自乘积非负、两段差的平方非负，还要检验两个等号位置确能旋转到。 【详解】（1）过向上、下两线作垂线。由初始及，两个投影直角三角形全等，水平投影分别为。故。两个等腰三角形的顶角因此互补。 延长到，使。与初始位置相同的角关系在旋转后仍保留，且、，故，得。 是中点且，利用两个等腰三角形底角和可得。故；与或重合时也直接满足。 （2）令、，则且。因为，所以，故。 当旋转使时，，确可取到下界；同样时也可取到。由于题目允许顶点重合，故最小值为。 另一方面，，所以。因此，且等号当且仅当。 初始位置中两组直角三角形全等，，故最大值确能取得。 【易错提醒】把平方和固定误认为长度和也固定；只求出代数界，没有检查重合位置是否被允许；漏写最大值的等号条件。 【变式16-2】（改编自2024·盐城 盐城市中考 原第16题）在中，，，是的中点。将绕点旋转，得到，点的对应点分别为。 当时，求所有可能的长度。 （图示其中一种位置） 【答案】或。 【分析】到的距离不变，先求到过平行于的直线的距离，再判断在线上两处的位置。 【详解】，所以。旋转得。 过作于。因为且，所以为等腰直角三角形。由，得，即。 在中，，故。 若在从经过的射线上，则；若在相反射线上，则。这两个点到的距离都等于，都可以由旋转得到。 【易错提醒】只按一张示意图求一个值，容易漏掉另一种符合条件的位置。 【变式16-3】（改编自2024·盐城 盐城市中考 原第16题）在中，，，为中点。绕旋转得到，点的对应点分别为。 已知，且在直线与相异的一侧。求。 【答案】。 【分析】额外的位置条件排除较短的那一支，不能把上一题的两个答案都保留。 【详解】与原构型同理，。作于，由等腰直角三角形得。 ，所以。 因为在的另一侧，而在相反侧，位于从经过的射线上，故。 【易错提醒】增加位置条件后仍不筛选原有分支。 【变式16-4】（改编自2024·盐城 盐城市中考 原第16题）在中，，，为中点。绕旋转（允许回到起始位置），将得到，分别对应。 把条件改为。求的长，并说明满足条件的点有几个。 （图示其中一种位置） 【答案】；有两个位置。 【分析】旋转只固定，垂直条件把限制在过的一条直线上，两个半平面都应检查。 【详解】，所以。旋转得。 因，为直角三角形，故，所以。 在过且垂直的直线上，两侧各有一点到的距离为。它们到的距离平方均为，都等于，因而都能由绕旋转得到。故有两个位置，但只有一种长度。 【易错提醒】将“两个位置”误写成“两种长度”，或只考虑图中的一侧。 【题型17 轴对称与最短路径】 【方法提示】通过轴对称或有依据的等长转移把折线化成直线，以两点间线段最短求下界，再核验交点落在指定线段。 【例17】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第25题）在中，，垂足在线段内部，，，。点可在线段上自由选取，点可在线段上自由选取，两点的位置相互独立，允许取端点。 （1）求的长。作点关于直线的对称点，说明点在线段上，并求。 （2）过点作，垂足为。证明在线段内部，并求。 （3）求的最小值，并通过作图描述达到最小值时的位置，说明该构造为何满足取值范围。 【答案】（1），，，；（2），；（3）最小值为，取，点取线段与的交点。 【分析】把第一段路径反射后转成折线长度，再连续使用两点间线段最短和垂线段最短；必须验证垂足与反射连线的交点确实落在规定的线段内。 【详解】（1）设，由得，所以，。点是点关于的对称点，故共线，；因，点在线段内部，且。由勾股定理得，故。 （2）由，为等腰三角形，底边。它的两个底角相等且均小于，故为锐角，垂足在射线上。 若，则在处为直角，斜边应大于直角边，与矛盾。若越过，则；由勾股定理，，同样与矛盾。因此在线段内部。 记，则。在直角三角形和中，，。相减得，所以。 以为底的高为，面积为。也可用为底、为高，因此，得。 （3）因为在对称轴上，，所以。第一处等号要求共线且在线段上，第二处等号要求。 连接。直线经过的顶点及底边的内部点；与线段内部的点位于两侧，因此线段与线段相交于内部点。取此点，并取，则两处等号同时成立。故所求最小值为。 【易错提醒】最短路下界不等于已经取得最小值；必须把垂足和折线交点落在允许线段内的条件逐一验证，不能任意指定两个动点具有相同运动时间。 【变式17-1】（改编自2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中）直角三角形纸片中，，，，。沿折叠，与上的点重合，在上。点在线段上运动（可取端点，但不取使三角形退化的位置）。 求周长的最小值。 【答案】最小值为，当时取到。 【分析】折痕上的点到、等距，把换成。 【详解】折叠得，所以。对折痕上的任意点，有。 因此。 当在线段上时取等。线段与交于，所以可取到。此时不在直线上，不退化，故最小周长确为。 【易错提醒】只写三角形两边和大于第三边而漏掉可取等；把原三角形退化与转化后折线共线混淆。 【变式17-2】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第16题）四边形四个内角均为直角，，，是中点。点在线段上，顺序为，且，线段可左右滑动。 求的最小值，并说明取到时的长。 【答案】最小值，此时。 【分析】先把平移到以为端点的同长线段，再把关于反射，使两段拼成直线。 【详解】在上取，使且。由于且两段平行，作垂线并用直角三角形全等可得。 作关于的对称点，则。所以。 与沿方向相距，垂直方向相距，故，下界为。 令直线与交于，设。连接。因为在上，，所以，得。该值在与之间，故也在上，取等位置可实现。 【易错提醒】平移时方向错了，导致水平间距写成；取等后没有检查、仍在上。 【变式17-3】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第16题）四边形四个内角均为直角，，，为中点。点按的顺序在上，且。 求的最小值，并说明最短位置确在规定线段上。 【答案】最小值，在时取到。 【分析】与定长线段的端点和有关的最值，可以先作等长平移，再反射。 【详解】在上取，使，于是。通过平移后的直角三角形全等得。把关于对称为，则。 所以，且，下界为。 令直线与交于，设。连接，以面积分割得，所以。此时，两点都在上，因此下界能取到。 【易错提醒】把的变化只反映在的位置，没有同时改变平移后的水平间距。 【变式17-4】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第23题）笔直公路同侧有两个小区。，，垂足为；千米，千米，千米。 要在线段上设服务点，使从经到的总路程最短。 求最短总路程，并核对服务点是否确在线段上。 【答案】最短总路程为千米；取等时千米，在上。 【分析】将一个小区关于公路反射，折线长的下界就成为两点间的直线距离。 【详解】作关于公路的对称点，则，所以。 沿公路方向相距千米，垂直方向相距千米。故，最短总路程为千米。 设直线与公路交于，令。连接，由在上，。所以，得。因，取等点确在线段上。 【易错提醒】把两个小区的垂直距离相减用于最短折线路程；直接对应的是不经公路的直线距离。 【附页 基础衔接与数学文化】 【方法提示】先检查三边关系和正长度，再认识勾股数规律；这些题作基础衔接和文化探究，不计入压轴题型数。 【衔接1】（选自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第2题））现有两根长度分别为和的小木棒。下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写第三边的严格范围，等号不能取到。 【详解】设第三根小木棒长为，由三角形三边关系得，即。 、、都在此范围内；使两边之和等于第三边，不能组成三角形，选D。 【易错提醒】把两边之和等于第三边的退化情形误当作三角形。 【衔接2】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第2题））用长度为、、的三根木条围成三角形。已知是整数，三边长度互不相同，且周长是偶数厘米，求及这个三角形的周长。 【答案】，周长为。 【分析】将三边范围、整数条件、互不相同和周长奇偶四个条件依次求交。 【详解】由三边关系得，故整数可为。 由三边互不相同，排除和。 周长为，它是偶数，所以是奇数。在剩余的中只有符合，周长为。 【易错提醒】只检查奇偶，忘记三边必须互不相同。 【衔接3】（改编自2025·扬州 扬州市中考 原第16题）按顺序观察下列勾股数： ①；②；③；④；…… 按这一规律，第⑤组为________。 【答案】。 【分析】最小数依次取连续奇数，后两数相差一，再检查较小数的平方与较大数平方的差。 【详解】前四组最小数依次为，故第⑤组最小数为。其余两数相差，设为。 由，得，所以，第三个数为。 检验：，故所填三数确为一组勾股数。 【易错提醒】只写连续奇数的规律，没有检验另两个数是否满足勾股关系。 【衔接4】（改编自2025·扬州 扬州市中考 原第16题）沿用勾股数表；；；……，把第组写为，，，其中为正整数。 （1）验证这一规则生成的三数满足； （2）写出第组，并说明它确能构成直角三角形。 【答案】（1）恒成立；（2）。 【分析】把平方差转成一阶的量，避免展开高次式。 【详解】由，得。因此。 当时，，，。三个数均为正，且，能构成三角形。 又，由勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形。 【易错提醒】只凭数表前几行就把猜想当成对全部正整数都成立的结论。 【衔接5】（参考2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 考点拓展）三角形绿地的三边长分别为，，（单位：米）。 （1）判断与是否垂直； （2）求这块绿地的面积。 【答案】（1）；（2）平方米。 【分析】由三边平方关系反向判断直角，再用已确认的两条直角边作底和高。 【详解】因为，所以由勾股定理的逆定理，，即。 面积为平方米。 【易错提醒】未经证明就把一条斜边当作高，或把最大边所对的角判错。 【衔接6】（参考2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中 考点拓展）一块三角形钢板的三边长为，，（单位：厘米）。质检员认为它是直角三角形。 （1）不用量角器判断这一结论； （2）若在最短边的对角处标出角，能否把标成直角？说明理由。 【答案】（1）是直角三角形；（2）不能，直角应是最长边所对的角。 【分析】先验算最大边，再把长度结论准确对应到角。 【详解】三边均为正，且，确能围成三角形。 ，所以钢板是直角三角形。 由逆定理，长度的边是斜边，它所对的角才是直角。最短边所对的角为锐角，不能标成直角。 【易错提醒】见到满足平方和就忽略哪一条边是斜边。 【衔接7】（改编自2025·扬州 扬州市中考 原第16题）按；；；；……的规则，第组为，，。 若某组中的最大数是，求这一组的三个数及它是第几组，并检验结果。 【答案】第组：。 【分析】先确定相邻正整数的乘积，再用乘积随正整数增大而增大的性质检索并检验结果。 【详解】由，得。 正整数增大时，严格增大。因为，所以唯一对应。 这组数为，，。检验：。 【易错提醒】把误当作最小数代入，或只找到一组数却没有说明对应的组数唯一。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴17类题型归纳 2026-2027学年八年级数学上册苏科版 八年级上册 苏科版新教材 测试范围 第1章三角形 第2章实数的初步认识 第3章勾股定理 题型归纳 第一章 三角形 【题型1 角度追踪与等腰分类】 2 【题型2 垂直平分线与双等腰的等距转化】 7 【题型3 中点倍长与两次全等】 11 【题型4 截长补短构造线段和差】 19 【题型5 双垂线与一线三等角构造全等】 22 【题型6 特殊三角形的配对全等】 25 【题型7 角平分线等距与面积转化】 29 【题型8 动点全等与等腰三角形存在性】 33 第二章 实数的初步认识 【题型9 开方逆向求值与非负条件】 35 【题型10 数轴定位 估算与大小比较】 40 【题型11 绝对值分段 数轴距离与最值】 45 【题型12 新定义运算的多步过程与逆推】 47 第三章 勾股定理 【题型13 拼图与面积割补中的勾股关系】 49 【题型14 作高与两次勾股消元】 51 【题型15 折叠等距与勾股列式】 59 【题型16 运动保长与位置分类求长】 64 【题型17 轴对称与最短路径】 69 【附页 基础衔接与数学文化】 74 【题型1 角度追踪与等腰分类】 【例1】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第5题））一个等腰三角形有一个内角为，求它的底角的所有可能值，并分别写出三个内角。 【变式1-1】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第5题））一个等腰三角形的一个外角为，求这个三角形最小内角的所有可能值。 【题型1 角度追踪与等腰分类 续】 【变式1-2】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第4题））如图，点依次在同一直线上，点不在这条直线上，，且，。求。 【变式1-3】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第4题））如图，点依次共线，，，，。求和。 【题型1 角度追踪与等腰分类 续】 【变式1-4】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第1题））如图，中，，，平分，点在边上。求和。 【变式1-5】（参考2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第1题）考点拓展）如图，在中，，和的平分线交于三角形内部的点。求，并说明它是否随两个锐角的大小而改变。 【题型1 角度追踪与等腰分类 续】 【变式1-6】（改编自2025·南京 南京六十六中中考一模练习）海监船沿正东方向航行，在点测得岛上观察点位于北偏东方向。船以每小时海里的速度继续航行小时至，此时测得位于北偏东方向。 船再向东航行多少海里时与的距离最近？可作于延长线上的点辅助分析。 【题型2 垂直平分线与双等腰的等距转化】 【例2】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第11题））如图，在中，，。线段的垂直平分线交边于点，连接。求。 【变式2-1】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第11题））如图，，线段的垂直平分线交边的内部于，连接。若，求。 【题型2 垂直平分线与双等腰的等距转化 续】 【变式2-2】（改编自2024·江苏苏州中考第20题）如图，中。在直线的另一侧取点，使，连接交于，连接。 （1）求证：。 （2）求证：，且。 【变式2-3】（改编自2024·江苏苏州中考第20题）如图，，点与点在直线的两侧，。连接交于。已知，。求和。 【题型3 中点倍长与两次全等】 【例3】（改编自2024·无锡 天一实验学校2024-2025学年八上期中 原第27题第（1）（2）问）在等腰直角三角形与中，，，，且。小三角形按图示方向放置：初始在线段上，与在直线同侧。连接，为中点，连接。 （1）写出与的数量关系和位置关系，并证明。 （2）把绕逆时针旋转，使落在边上，仍用原字母表示对应点。第（1）问的结论还成立吗？说明理由。 （3）在初始位置中，若，，求。 【变式3-1】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第19题））如图，在中，点是的中点。过作，连接并延长，交边于。 （1）求证：。 （2）若，，求。 【题型3 中点倍长与两次全等 续】 【变式3-2】（改编自2026·江苏徐州中考第23题）如图，是的中线，点在内部，点在的延长线上且在之间，，连接。求证：。 【变式3-3】（改编自2026·江苏徐州中考第23题）如图，，是的中线。点在内部，点在的延长线上且在之间，，连接。求证：，且。 【题型3 中点倍长与两次全等 续】 【变式3-4】（改编自2025·江苏苏州中考第21题）如图，点依次在同一直线上，是的中点，点在直线同侧，，。 （1）求证：。 （2）连接。若，求。 【变式3-5】（改编自2026·江苏徐州中考第23题）如图，，为中线，在内部，在的延长线上且在之间，，连接。若，，求和的面积。 【题型3 中点倍长与两次全等 续】 【变式3-6】（改编自2025·南京 南京市中考 原第25题）码头在码头的南偏东方向，千米，灯塔位于中点。船甲从沿正南方向航行，船乙从沿正东方向航行。甲到、乙到时，航行距离相等且均大于，并且在同一直线上。 求，结果保留根号；若，再取到十分位。 【变式3-7】（改编自2025·南京 南京市中考 原第25题）点在码头的正西方向，码头在的正北方向。已知千米，千米，灯塔是中点。船甲从向航行，船乙从向正东航行。两船均已离开起点，航行距离相等，分别到达时，共线。 求两船各自航行的距离，并核对是否在线段上。 【题型4 截长补短构造线段和差】 【例4】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第26题）约定：在凸四边形中，若，且平分，就称它为“和美四边形”。连接对角线。 （1）在一个“和美四边形”中，若，证明。 （2）在一个“和美四边形”中，已知。在线段上截取，连接。证明，并据此证明。 （3）若，，，求这个“和美四边形”的面积。下图为这一问的构型示意。 【变式4-1】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第16题））如图，点依次在同一直线上，点分别在这条直线的两侧，，，。 （1）求证：。 （2）若，，求。 【题型4 截长补短构造线段和差 续】 【变式4-2】（改编自2024·江苏南通二模（公开分类汇编第16题））如图，点依次共线，点分居直线两侧，，，。若，，求和。 【题型5 双垂线与一线三等角构造全等】 【例5】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，，，垂足分别为，且。求证：。 【变式5-1】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，在直线同侧，，，，射线位于内部。若，求。 【题型5 双垂线与一线三等角构造全等 续】 【变式5-2】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，在中，，，为的中点。过作交的延长线于，过作，垂足为。求证：。 【变式5-3】（改编自2026·江苏无锡专用中考二模模拟卷（公开自编卷第27题））如图，，，是的中点，交的延长线于，于。作关于直线的轴对称三角形，连接。已知，求的面积。 【题型6 特殊三角形的配对全等】 【例6】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，，点在的延长线上（在之间），点在边内部，且。连接。 （1）求证：。 （2）若，求。 【变式6-1】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，。点改在边内部，点在边内部，且，连接。若，求。 【题型6 特殊三角形的配对全等 续】 【变式6-2】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，，点在的延长线上，点在边内部，且，连接。设。 （1）用含的式子表示。 （2）若，求。 【变式6-3】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第20题））如图，，，点在的延长线上（在之间），点在边内部，且。连接。求证：，并求直线与直线的夹角。 【题型7 角平分线等距与面积转化】 【例7】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）如图，点在的边内部，平分。过作、，垂足为。 （1）求证：。 （2）请用等距与面积关系证明。 【变式7-1】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）如图，中，，，，平分，点在边上。求，并用等距与面积写出完整推理。 【题型7 角平分线等距与面积转化 续】 【变式7-2】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）如图，在中，，，点在边内部，且，。请用全等与面积关系证明：平分。 【变式7-3】（改编自2024·江苏淮安中考第27题）木工师傅在一块直角三角形木板上定位连接孔。已知，，。在边上取点，使平分；连接孔到两条直角边的距离均记为。 （1）求与面积的比。 （2）求。 【题型8 动点全等与等腰三角形存在性】 【例8】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第25题）在中，，垂足在线段内部，，，。动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，到达点后停止。设运动时间为秒，其中。 （1）求的长，并说明动点何时到达。 （2）当的面积为时，求的全部可能值。 （3）当为等腰三角形时，求的全部可能值，并写明每种情形下相等的两边。 【变式8-1】（改编自2024·江苏无锡二模（公开分类汇编第19题））在中，，点是的中点。过作，使共线，交射线于点，且不与重合。若，求的所有可能值。（图示其中一种情况。） 【题型9 开方逆向求值与非负条件】 【例9】（改编自2026·镇江中考第2题）（1）计算，并写出的所有平方根。 （2）若的两个平方根分别为与，求，并验算这两个平方根。 （3）求。 【变式9-1】（改编自2025·南京中考第4题）已知。 （1）求的算术平方根； （2）写出的所有平方根及它的立方根； （3）比较它的算术平方根与立方根的大小，并用平方、立方验算。 【题型9 开方逆向求值与非负条件 续】 【变式9-2】（改编自2026·镇江中考第2题）已知，，且。 （1）求、； （2）求的值。 【变式9-3】（参考2025·南京中考第4题考点拓展）一块正方形工艺试片的面积为，另一件正方体试块的体积为。两件试品的边长是否相同？分别换算成厘米，并用平方、立方验算。 【题型9 开方逆向求值与非负条件 续】 【变式9-4】（改编自2024·南京中考第8题）（1）若式子在实数范围内有意义，求的取值范围。 （2）进一步已知，求、，并判断这一条件能否允许。 【变式9-5】（改编自2024·常州中考一模（公开整理卷第10题））设，。 （1）要使有意义，应满足什么条件？ （2）求、都有意义时的取值范围； （3）在这个范围内，是否随改变？能否出现？说明理由。 【题型9 开方逆向求值与非负条件 续】 【变式9-6】（改编自2024·常州中考一模（公开整理卷第10题））已知。求、及的值。 【变式9-7】（参考2024·南京中考第8题考点拓展）实数具有以下性质：对每个满足的实数，根式都有意义，而且这些中至少有一个使该根式等于。求以及使根式等于的。 【题型9 开方逆向求值与非负条件 续】 【变式9-8】（改编自2024·南京中考第15题）阅读材料：已知。记。 （1）求的精确值； （2）比较与的大小； （3）求。 【变式9-9】（改编自2024·南京中考第15题）已知。令。 （1）说明的理由； （2）不使用计算器，判断是否小于； （3）求的精确值。 【题型10 数轴定位 估算与大小比较】 【例10】（改编自2025·南京中考第5题）非零实数满足，它们在数轴上按这一顺序排列。 （1）表示的点应在与对应的两点之间吗？说明理由； （2）把、、、按从小到大排列，并说明的正负。 【变式10-1】（改编自2025·扬州中考第5题）（1）在、、、中，哪个数可能由数轴上位于与之间的点表示？说明理由。 （2）写出位于与之间的所有整数； （3）在与之间找出一个有理数，并用平方比较说明它确实符合要求。 【题型10 数轴定位 估算与大小比较 续】 【变式10-2】（参考2025·南京中考第5题考点拓展）非零实数满足。 （1）证明； （2）求的值，并说明每次开方所取的符号。 【变式10-3】（改编自2025·扬州中考第5题）数轴上一个区间的左、右端点分别表示与，不包含端点。考察、、、，再加入与。哪些数在区间内？逐个说明理由。 【题型10 数轴定位 估算与大小比较 续】 【变式10-4】（改编自2025·南京中考第11题）设，整数满足。求和。 【变式10-5】（改编自2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第3题））一块正方形展板的面积为。 （1）估计边长介于哪两个相邻整数之间； （2）已知，，将边长精确到； （3）四周围一圈装饰条，接头损耗忽略不计。装饰条只能按整米购买，至少应买多少米？ 【题型10 数轴定位 估算与大小比较 续】 【变式10-6】（参考2025·南京中考第11题考点拓展）设是正整数，。 （1）证明； （2）在与之间有且只有一个整数，写出这个整数并说明理由； （3）当时，已知，，将精确到。 【变式10-7】（参考2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第3题）考点拓展）正整数满足。 （1）写出的所有可能值； （2）这些值中，哪些使是整数？给出相应的算术平方根。 【题型10 数轴定位 估算与大小比较 续】 【变式10-8】（改编自2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第5题））已知、是实数且。对下列三个结论，分别判断是否一定成立；不一定成立的给出反例，一定成立的说明理由。 ①；②；③。 再说明当、都小于时，①、②中的比较符号应如何改变。 【题型11 绝对值分段 数轴距离与最值】 【例11】（改编自2026·无锡中考第11题）对任意实数，记代数式。 （1）当时，求，即计算； （2）当时，求； （3）求的最小值，以及取得最小值时的范围。 【变式11-1】（参考2024·南京中考第10题考点拓展）实数与互为相反数，且。求所有可能的有序数对，并求。 【题型11 绝对值分段 数轴距离与最值 续】 【变式11-2】（改编自2026·无锡中考第11题）先计算，再取。求的精确值，并判断结果的正负。 【变式11-3】（改编自2024·南京中考第10题）（1）实数、满足怎样的等式时，能保证它们互为相反数？ （2）进一步取，且、互为相反数。数轴上点表示，写出到表示、两点的距离之和，求最小值及全部取等位置。 【题型12 新定义运算的多步过程与逆推】 【例12】（改编自2025·扬州邗江区八上期中第27题第（2）问（公开整理卷））对非负实数，把不大于的最大整数称为的“根整数”。一次取根整数算作一步；重复操作时，用上一步的结果作为新的输入。 （1）写出从开始，直到第一次得到的完整过程，并指出所需步数； （2）正整数经过连续三步取根整数，才第一次得到。求的最小值、最大值，并求这样的共有多少个； （3）若改为连续四步才第一次得到，求的最大值，并用它检验结论。 【变式12-1】（考点拓展（参考2025·扬州邗江区八上期中第27题过程考点））对非负实数，把不大于的最大整数称为的“根整数”。一次取根整数算作一步；重复操作时，用上一步的结果作为新的输入。 一个正整数进入处理器后，先取一次根整数，把所得整数加上，再取一次根整数，最终输出。 （1）当时，写出完整的处理过程； （2）求所有可能的正整数的范围； （3）如果输出改为，不逐个试算，求可能的正整数输入共有多少个。 【题型12 新定义运算的多步过程与逆推 续】 【变式12-2】（参考2024·南京江东中学中考二模（公开整理卷第5题）考点拓展）规定一次“同号开方”过程：输入实数，若，输出；若，输出。 （1）分别求输入与时的输出； （2）若两个输入，输出是否也一定按同样的大小顺序排列？分类说明； （3）先把两个输入相加再进行该过程，是否总等于分别进行该过程后把输出相加？若不成立，请举例。 【题型13 拼图与面积割补中的勾股关系】 【例13】（选自2024·南通 南通市中考 原第8题）赵爽弦图由四个全等直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。设两条直角边长为，且。若小正方形面积为，，则大正方形面积为（　　）。 A． B． C． D． 【变式13-1】（改编自2024·南通 南通市中考 原第8题）赵爽弦图仍由四个全等直角三角形围成中间的小正方形。两直角边为，。已知，小正方形边长为。 求大正方形的面积，以及四个直角三角形的面积和。 【题型13 拼图与面积割补中的勾股关系 续】 【变式13-2】（选自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第14题）赵爽弦图中，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为。设直角三角形两直角边为，。 有四个推断：①；②；③；④。 所有正确推断的序号为________。 【变式13-3】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第14题）赵爽弦图的大正方形面积为，中间小正方形面积为。两直角边为，且。 （1）求与； （2）求。 【题型14 作高与两次勾股消元】 【例14】（选自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第13题）将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点在边上。已知，，则________。 【变式14-1】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第13题）三角形纸片中，在上。沿折叠，与上的点重合。已知，，。 （1）求； （2）求及的面积。 【题型14 作高与两次勾股消元 续】 【变式14-2】（改编自2025·南京 南京市中考 原第15题）四边形四个内角均为直角，，。点均在四边形内部，，且，。 求的长。 【变式14-3】（改编自2025·南京 南京市中考 原第15题）四边形四个内角均为直角，，。内部点满足，，。 求，并说明此时与的位置关系。 【题型14 作高与两次勾股消元 续】 【变式14-4】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第26题）等腰三角形中，，，于。过作与在直线同侧、与射线成的射线，交直线于。 求，并说明在线段内还是在线段的延长线上。 【变式14-5】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第26题）等腰三角形中，，，于。过作与在直线同侧、与射线成的射线，交直线于。 求，并判断在的哪一侧。 【题型14 作高与两次勾股消元 续】 【变式14-6】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第23题）笔直公路同侧有小区。，，千米，千米，千米。 （1）求两小区间的直线距离； （2）若在线段上设站点，要求，求。 【变式14-7】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第13题）在中，，。线段的垂直平分线交于，交于，连接，且。 求的长。 【题型14 作高与两次勾股消元 续】 【变式14-8】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第13题）在中，，。为中点，。过作的垂直平分线，交直线于。 求，并判断在线段内还是在它的延长线上。 【题型15 折叠等距与勾股列式】 【例15】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第24题）在中，将顶点沿折痕翻折，使它与点重合；将顶点沿折痕翻折，也使它与点重合。点分别在线段上，点均在线段上，且按的顺序排列。连接。以下各问分别在这些折叠条件下研究。 （1）证明的周长等于，并用表示。 （2）若，，，求的周长。 （3）若，求；若仍要求是不同的点，能否等于？说明理由。 【变式15-1】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第16题）等边三角形纸片的边长为。点分别在边上，将沿翻折，点的对应点落在边上。 求长度的最小值，并说明何时取到。 【题型15 折叠等距与勾股列式 续】 【变式15-2】（改编自2026·苏州 苏州市中考 原第16题）等边三角形纸片的边长为，是的中点。沿直线折叠，使与重合，其中在上，在上。 求与折痕的长。 【变式15-3】（改编自2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中）在中，，，。点在上，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上。 求的长。 【题型15 折叠等距与勾股列式 续】 【变式15-4】（改编自2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中）在直角三角形纸片中，，，。沿折叠，使落在上的处，在上。 （1）求折痕的长； （2）求和的面积。 【题型16 运动保长与位置分类求长】 【例16】（改编自2024·常州 常州外国语学校2024-2025学年八上期中 原第25题）若两个等腰三角形的顶角之和为，称它们互为“友好三角形”，顶角的顶点互为“友好点”。 （1）与互为友好三角形，友好点为。若有一个内角为，求；若有一个内角为，求的所有可能值。 （2）图中三条平行直线从上至下依次为，相邻距离分别为。在上，在上，在上，且在左侧，在左侧。与互为友好三角形，友好点为，且。求。 （3）保持不动，将绕顺时针旋转，大小不变，仍用表示旋转后的对应点。是否改变？说明理由。 【变式16-1】（改编自2024·常州 常州外国语学校2024-2025学年八上期中 原第25题）如图，在上方直线上，在下方直线上；过的中间直线与这两条直线平行，至上、下两线的距离分别为。初始位置中，，，且在左侧、在左侧。 保持不动，将绕顺时针旋转一周，允许不同三角形的顶点重合，也允许回到起始位置。仍用表示对应点，记。 （1）求旋转过程中的值，并证明它不变。 （2）求的最小值与最大值，并分别说明何时取得。结果保留平方根。 【题型16 运动保长与位置分类求长 续】 【变式16-2】（改编自2024·盐城 盐城市中考 原第16题）在中，，，是的中点。将绕点旋转，得到，点的对应点分别为。 当时，求所有可能的长度。 （图示其中一种位置） 【变式16-3】（改编自2024·盐城 盐城市中考 原第16题）在中，，，为中点。绕旋转得到，点的对应点分别为。 已知，且在直线与相异的一侧。求。 【题型16 运动保长与位置分类求长 续】 【变式16-4】（改编自2024·盐城 盐城市中考 原第16题）在中，，，为中点。绕旋转（允许回到起始位置），将得到，分别对应。 把条件改为。求的长，并说明满足条件的点有几个。 （图示其中一种位置） 【题型17 轴对称与最短路径】 【例17】（改编自2024·泰州秋学期期中学情调查 原第25题）在中，，垂足在线段内部，，，。点可在线段上自由选取，点可在线段上自由选取，两点的位置相互独立，允许取端点。 （1）求的长。作点关于直线的对称点，说明点在线段上，并求。 （2）过点作，垂足为。证明在线段内部，并求。 （3）求的最小值，并通过作图描述达到最小值时的位置，说明该构造为何满足取值范围。 【变式17-1】（改编自2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中）直角三角形纸片中，，，，。沿折叠，与上的点重合，在上。点在线段上运动（可取端点，但不取使三角形退化的位置）。 求周长的最小值。 【题型17 轴对称与最短路径 续】 【变式17-2】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第16题）四边形四个内角均为直角，，，是中点。点在线段上，顺序为，且，线段可左右滑动。 求的最小值，并说明取到时的长。 【变式17-3】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第16题）四边形四个内角均为直角，，，为中点。点按的顺序在上，且。 求的最小值，并说明最短位置确在规定线段上。 【题型17 轴对称与最短路径 续】 【变式17-4】（改编自2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 原第23题）笔直公路同侧有两个小区。，，垂足为；千米，千米，千米。 要在线段上设服务点，使从经到的总路程最短。 求最短总路程，并核对服务点是否确在线段上。 【附页 基础衔接与数学文化】 【衔接1】（选自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第2题））现有两根长度分别为和的小木棒。下列长度的小木棒不能与它们搭成三角形的是（　　）。 A． B． C． D． 【衔接2】（改编自2024·江苏宿迁二模（公开分类汇编第2题））用长度为、、的三根木条围成三角形。已知是整数，三边长度互不相同，且周长是偶数厘米，求及这个三角形的周长。 【附页 基础衔接与数学文化 续】 【衔接3】（改编自2025·扬州 扬州市中考 原第16题）按顺序观察下列勾股数： ①；②；③；④；…… 按这一规律，第⑤组为________。 【衔接4】（改编自2025·扬州 扬州市中考 原第16题）沿用勾股数表；；；……，把第组写为，，，其中为正整数。 （1）验证这一规则生成的三数满足； （2）写出第组，并说明它确能构成直角三角形。 【附页 基础衔接与数学文化 续】 【衔接5】（参考2024·南京 秦淮区2024-2025学年八上期中 考点拓展）三角形绿地的三边长分别为，，（单位：米）。 （1）判断与是否垂直； （2）求这块绿地的面积。 【衔接6】（参考2024·苏州 姑苏区振华中学2024-2025学年八上期中 考点拓展）一块三角形钢板的三边长为，，（单位：厘米）。质检员认为它是直角三角形。 （1）不用量角器判断这一结论； （2）若在最短边的对角处标出角，能否把标成直角？说明理由。 【附页 基础衔接与数学文化 续】 【衔接7】（改编自2025·扬州 扬州市中考 原第16题）按；；；；……的规则，第组为，，。 若某组中的最大数是，求这一组的三个数及它是第几组，并检验结果。 1 学科网（北京）股份有限公司 $