01-第29课时 平面向量的概念及其线性运算课件-2027届高三数学一轮复习

第29课时 平面向量的概念及其线性运算 2027年高考数学 · 一轮复习 1 教学目标 · 教学重点 · 教学难点 【教学目标】 • 理解向量的概念、几何表示与向量相等的含义； • 掌握向量的加法、减法与数乘运算及其几何意义； • 能运用向量线性运算解决简单的几何问题。 【教学重点】 • 平面向量线性运算法则及其几何意义； • 向量共线（平行）的充要条件。 【教学难点】 • 向量与数量的区别及向量概念的本质； • 向量线性运算的综合应用与数形结合。 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 2 新课标要求 依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》： • 通过力和力的分析，了解平面向量的实际背景，理解其意义与几何表示； • 掌握向量的加、减与数乘运算，理解其几何意义，掌握线性运算的性质； • 理解向量共线的含义，了解平面向量基本定理及其意义； • 体会向量在解决问题中的工具作用，发展数学抽象与直观想象素养。 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 3 近五年考频考点分析与复习备考建议 【考频考点分析】 • 向量线性运算（加减、数乘）及几何意义：年年考查，以选择、填空为主，难度较低； • 向量共线（平行）的判定与应用：中频考点，常与三角形、平行四边形结合； • 向量与几何图形、数量积的综合：中高频，侧重数形结合，偶以解答题出现。 【复习备考建议】 • 重视向量几何意义的直观理解，强化“数形结合”思想； • 熟练掌握线性运算法则，注意其与实数运算的异同； • 以基底思想统领全章，关注向量与几何、三角的综合应用。 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 4 1.理解平面向量的有关概念、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握向量的加法、减法及数乘运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 5 必备知识·逐点梳理 6 一、向量的有关概念 1.向量：既有大小又有______的量叫作向量，向量的大小称为向量的______ （或____）. 2.零向量：长度为___的向量，记作 . 3.单位向量：长度等于_____________的向量. 4.平行向量：方向相同或______的非零向量，也叫作共线向量，且零向量与任意向 量______ 5.相等向量：长度相等且方向______的向量. 6.相反向量：长度相等且方向______的向量. 方向 长度 模 0 1个单位长度 相反 平行 相同 相反 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 7 微判断（1）若向量与同向，且，则 .( ) × （2）单位向量都相等.( ) × （3）任一非零向量都可以平行移动.( ) √ （4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( ) √ （5）若,则与 的方向相同或相反.( ) × （6）若,则 .( ) √ （7）零向量的方向是任意的.( ) √ （8）若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等.( ) × （1）与向量平行的单位向量有两个，即向量与 . （2）单位向量有无数个，它们大小相等，均为1，但方向不一定相同. （3）与是否相等与, 的方向无关. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 8 二、向量的线性运算 向量运算 法则（或几何意义） 运算律 加法 交换律： . 结合律： 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 9 向量运算 法则（或几何意义） 运算律 减法 数乘 ，当时，的方向与 的方 向______； 当时，的方向与 的方向______； 当时， ； ； 续表 相同 相反 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 （1）平面向量的加法应抓住“共起点”和“首尾相连”.平面向量的减法应抓住 “共起点,连终点,指向被减向量的终点”. （2）中点公式的向量形式：若为线段的中点, 为平面内的任意一点,则 . （3）若为的重心,则， .#1.3 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 三、向量共线定理 向量与共线的充要条件：存在唯一一个实数 ，使 . 微思考 共线定理中为什么规定 ？ 答案 当，时，不存在实数 ，使得，但此时向量与 共线；当 ,时，对于任意实数 ，都有，与有唯一一个实数 ，使得 矛盾. （1）只有当时,共线定理中的实数 才存在且唯一. （2）若 , 为实数,,,三点共线,则 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 12 关键考点·核心突破 13 平面向量的基本概念 例1（1）（多选题）下列说法正确的是( ). CD A.若,为单位向量,则 B.若与共线,则或 C.若,则 D.是与非零向量 共线的单位向量 解析 对于A,向量, 的方向不一定相同,故A错误; 对于B,向量与 的长度不一定相等,故B错误; 对于C,由及零向量的定义,可得 ,故C正确; 对于D,由,可得与向量同向,又因为,所以是与非零向量 共线 的单位向量,故D正确.故选 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 14 （2）（苏教必修二P9T7改编）向量,,,, 如图所示，小正 方形的边长为1. ① 的共线向量为___; 解析 因为,所以和 是共线向量. ② 的相反向量为___; 解析 和 是方向相反的向量. ③模相等的向量为______. ,, 解析 由勾股定理可得,模相等的向量有,, . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 15 感悟提升 平面向量有关概念的关注点 （1）共线向量即平行向量. （2）向量的平行不一定有传递性,只有非零向量的平行才具有传递性. （3）两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量的长度、起点无关. （4）与非零向量同向的单位向量是 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 16 1.设,是非零向量,则“”是“ ”的( ). B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由表示单位向量相等,得,同向,但不能确定, 的模是否相等,即不能推 出；由表示,同向且模相等,得.故“”是“ ”的必要不充 分条件.故选B. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 17 2.如图，在方格纸中，分别以两个格子的格点 为起点和终点作向量. ①与 相等的向量是_______; , 解析 方向相同且模相等的向量为相等向量，故与相等的向量为, . ②与 相反的向量是_______; , 解析 方向相反且模相等的向量为相反向量，故与相反的向量为, . ③与 的模相等的向量是__________. ,, 解析 与的模相等的向量为,, . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 18 平面向量的线性运算 例2（1）（RA必修二P10T4改编，多选题）下列各式化简结果正确的是( ). BC A. B. C. D. 解析 根据平面向量的加、减法运算法则易知选项B，C正确.故选 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 19 （2）（经典高考真题）在中,点在边上,.记, ,则 ( ). B A. B. C. D. 解析 如图,因为 , 所以,即 .故选B. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 20 感悟提升 平面向量线性运算的解题策略 （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平 行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个 平行四边形或三角形中. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 21 1.已知是所在平面内一点,,则 ( ). A A. B. C. D. 解析 由,得 ,则 .故选A. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 22 2.在中,点在上,且,点在上,且.若 , 则 ( ). C A. B. C. D. 解析 因为,所以 , 则 . 又,所以 , 则 , 又 , 所以,,则 .故选C. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 23 向量共线定理及其应用 考向1 判定向量共线、三点共线 例3 已知，，是不共线的三点，且 . （1）若，求证：，， 三点共线. （2）若，，三点共线，求证： . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 24 解析 （1）若，则，由 ， 得 ， 即 ， 所以，即, 共线， 又,有公共点，所以，， 三点共线. （2）若，，三点共线，则存在实数 ，使得 ，变形得 ，即 ，所以 ，又，，所以 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 25 感悟提升 利用向量共线定理解题的方法 是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则 与共线,且当时,与同向;当时,与 反向. （2）要证明,,三点共线,只需证明与共线,即证 .若已 知,,三点共线,则必有与共线,从而存在实数 ,使得 . 注意：若点在直线上,则根据三点共线设 或 ,再结合条件解题. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 26 考向2 利用向量共线定理求参数 例4 设,是两个不共线的向量，已知, , . （1）若，，三点共线，则 ___; 6 解析 因为,，且，，三点共线，所以 ， ， 则，又,不共线，所以解得 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 27 （2）若，，三点共线，则 ____. 解析 因为, ，所以 ， 又，，三点共线，所以，，即 ，因此 解得 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 28 感悟提升 利用向量共线定理求参数的方法 已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件将其转化为相应向量的系数相等 来求解.若向量,不共线，且 ,则向量的系数必为零，利用待定系数法建 立方程（组），从而求得参数. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 29 1.已知,是两个不共线的向量,且,, ,则 ( ). C A.,,三点共线 B.,,三点共线 C.,,三点共线 D.,, 三点共线 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 30 解析 因为,, , 所以, , . 若,,三点共线,则,即 无解,故A错误; 若,,三点共线,则,即 无解,故B错误; 若,,三点共线,则,即解得 ,故C正确; 若,,三点共线,则,即 无解,故D错误. 故选C. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 31 2.在中,,,是的中点,与交于点 .若 ,则 ___. 解析 如图所示,因为,所以 , 则 . 因为,,三点共线,所以 . 因为,所以 . 因为是边的中点,所以 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 32 因为,,三点共线,所以 , 则解得,从而,,故 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 等和线定理 典例 （2024·天津卷节选）在边长为1的正方形中，为线段 的三等分点， ,，则 的值为___. 解析 如图，连接，交于点，再过点作 的平行线， 分别交,的延长线于点,，所以 是值为1的等和线， 由等和线定理，设，则,即 . 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 34 多想少算 当处理向量系数和问题，比如“求中 的值或最值” 时，无需设坐标硬算，可利用等和线定理，找到过点且平行于 的等和线，依据 “等和线上点的系数和相等”，结合距离比例，直接得到系数和（或范围）.多动脑、 少硬算，解题会更高效. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 35 巩固训练 如图，圆是边长为的等边的内切圆，其与边相切于点 ， 为圆上任意一点，，则 的最大值为___. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 36 解析 如图，，，分别为，，的中点，为 与 的交点， . 设，作出定值为1的等和线， 是过圆上的点 最远的等和线， 当点在点所在的位置时， 最大， 则，所以 的最大值为2. 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 37 作业：平面向量的概念及其线性运算限时练 第29课时 平面向量的概念及其线性运算 THANKS 39 $