平面向量的概念及其线性运算课件-2027届高三数学一轮复习

平面向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念及表示 名称 定义 表示 向量 既有______又有______的量 用,,,…或, ,… 表示 向量的长 度（模） 向量的______称为向量的长度 （或称模） ____或_____ 零向量 长度为0的向量 记作___ 单位向量 长度等于_____________的向量 用表示, ___ 大小 方向 大小 1个单位长度 1 课 前 基 础 巩 固 2 名称 定义 表示 相等向量 ______相等且______相同的 向量 向量和 相等,记作 _______ 两个向量 平行（或共线） 方向______或______的非零向 量叫作平行向量,平行向量也叫 作共线向量 两个向量和 平行,记 作______,零向量与任 意向量______ 长度 方向 相同 相反 平行 续表 课 前 基 础 巩 固 3 2.向量的线性运算#2 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量 和的运算 _________________________________ 三角形法则 _________________________________ 平行四边形法则 ①交换律： ； ②结合律： 课 前 基 础 巩 固 4 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 减法 求两个向量 差的运算 __________________________________________________ 三角形法则 续表 课 前 基 础 巩 固 5 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 求实数 与 向量 的积 的运算 （1） . （2）当时， 的方 向与 的方向相同；当 时，的方向与 的 方向相反；当 时， ； ； 特别注意向量数乘的特殊情况：当时，；当 时， .实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.#2.1.1 续表 课 前 基 础 巩 固 6 3.向量共线的充要条件 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 .（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘） 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.中点公式的向量形式：若为线段的中点, 为平面内任意一点, 则 . 2.若，，是平面内不共线的三点，则 为 的重心， . 3.已知 , 为实数,若,, 三点共线,则 .#4.3 课 前 基 础 巩 固 8 4.向量三角不等式 ①已知非零向量,,则（当与 反向 共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）; ②已知非零向量,,则（当与 同向 共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.#4.4.2 课 前 基 础 巩 固 9 题组一 常识题 1.［教材改编］给出下列各式： ； ； ； .其中化简结果正确的是________.（填序号） ①②③ [解析] ，①正确； ,②正确； ，③正确； ，④错误.故填①②③. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］已知的对角线和交于点 ，且 ，，则______，________.（用， 表示） [解析] 如图， ， . 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］已知，是两个不共线的向量，向量 ， 共线，则实数 __. [解析] 由，不共线，易知向量 为非零向量. 由向量，共线，可知存在实数 ，使得 ，即， 因为， 不共线，所以，解得 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：对向量的概念理解不清致误;对向量相等的隐含条件挖掘 不全致误;忽视两向量的方向关系致误. 4.已知平面向量，，则“或”是“ ”的________ _____条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不 必要”） 充分不 必要 [解析] 若或，则； 反之，若 ，因为两个向量的方向不确定， 所以不能推出或. 所以“ 或”是“ ”的充分不必要条件. 课 前 基 础 巩 固 13 5.已知平面四边形中，满足，则四边形 是_____ _______. 平行 四边形 [解析] 在平面四边形中，因为， 所以 ，且， 所以四边形 是平行四边形. 课 前 基 础 巩 固 14 6.已知向量,,若,,则 的取值范围为______. [解析] 当与方向相同时,； 当与 方向相反时,； 当与不共线时,. 所以 的取值范围为 . 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 平面向量的基本概念 例1（1）（多选题）下列说法中正确的有( ) A.向量的长度与向量 的长度相等 B.若向量与平行,则与 的方向相同或相反 C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 D.两个有公共终点的向量一定是共线向量 ［思路点拨］根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,判断 正误即可. √ √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 对于A,向量的长度与向量 的长度相等,方向相反,故A正 确; 对于B,当向量与平行,且或为零向量时,不满足与 的方向相 同或相反,故B错误; 对于C,两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C正确; 对于D,两个有公共终点的向量不一定是共线向量,故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 17 （2）已知,都是非零向量，则下列四个选项中为“ ”的充分 条件的是( ) A. B. C. D.且 ［思路点拨］，分别表示与， 方向相同的单位向量， 因此等价于与 同向，据此可得答案. [解析] 等价于与同向，当时，能推出与 同向， 故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] （1）解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小, 还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零 向量的特殊性. （2）不改变向量的大小和方向,自由平移,平移后的向量与 相等. （3）非零向量的平行具有传递性. （4）是与 同方向的单位向量. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题（1）如图所示，在等腰梯形 中， ，对角线，交于点，过点 作 ，交于点，交于点 ，则在以 ，，，，，， 为起点和终点的所有 有向线段表示的向量中，相等向量有___对. 2 [解析] 由可知，，所以 ，所以. 因为，所以，， 所以 ，所以. 又，，三点共线，所以， ， 故相等向量有2对. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）（多选题）下列说法正确的是( ) A.若和都是单位向量，则 B.相等的两个向量一定是共线向量 C.若，，则 D.两个非零向量的和可以是零向量 [解析] 对于A，,都是单位向量只能得出，, 的方向不一 定相同，得不出 ，故A错误； 对于B，相等的两个向量一定是共线向量，故B正确； 对于C，若，，则当 时，得不出 ，故C错误； 对于D，两个非零向量的和还是向量，当两个向量的长度相等且 方向相反时，和为零向量，故D正确.故选 . √ √ 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 平面向量的线性运算背景问题 微点1 平面向量的加、减运算的几何意义 例2 已知非零向量，，，则“， ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ［思路点拨］根据充分性、必要性的定义，结合向量减法的几何意 义判断条件间的推出关系，即可得到答案. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 如图，由， ， 得 ，充分性成立； 当时，不一定有， ， 必要性不成立. 综上，“， ”是“ ”的 充分不必要条件.故选A. 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] 利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法: （1）根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结 合其他知识求解相关问题; （2）平面几何中如果出现平行四边形（或三角形）或可能构造出平 行四边形（或三角形）的问题,可考虑利用向量知识来求解. 课 堂 考 点 探 究 24 微点2 平面向量的线性运算 例3 在平行四边形中，已知，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：在,, 中分别利用向量加法 的三角形法则表示，,，再线性运算表示出 . 思路二：在中利用向量加法的三角形法则表示 ，再根据向 量相等即可表示出 . √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 在平行四边形中，有, . 方法一： . 方法二： .故选D. 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] 向量线性运算的解题策略: （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量 求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用 三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化 到同一个平行四边形或三角形中求解. 课 堂 考 点 探 究 27 微点3 利用向量的线性运算求参数 例4 [2025·湖北鄂南高级中学等三校4月联考] 在平行四边形 中， 点是边上的点，，点是线段 的中点，若 ，则 ___. ［思路点拨］由及 即可求解. 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 因为点是线段的中点,所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向 量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值. 课 堂 考 点 探 究 30 应用演练 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]在中，点在边上， .记 ,,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为点在边上，， 所以 ， 所以, 所以 . √ 课 堂 考 点 探 究 31 2.若点是 所在平面内的一点，且满足 ，则 的形状为( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 [解析] ， ，， 故，， 为矩形的三个顶点， 为直角三角形.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 32 3.（多选题）在中，记，，已知点在直线 上，且.若，则 的值可能为( ) A. B. C. D.2 √ √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 当点在线段 上时，如图①， ， 此时. 当点在线段 的延长线上时，如图②， ，此时. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 34 4.在中，已知，且，则 ___. 4 [解析] 将,代入 ， 得 ， 整理得， 又 ，所以，解得 . 课 堂 考 点 探 究 35 探究点三 共线向量定理及应用 例5（1）[2025·福建泉州模拟]已知向量, 不共线， ,，其中,，若,, 三点共 线，则 的最小值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 ［思路点拨］由平面向量的共线定理可得 ，再结合基本不等 式即可求得答案. √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 因为,,三点共线，所以存在实数，使 ， 即， 又向量,不共线， 所以 整理得. 因为,，所以 ， 当且仅当时取等号， 所以 的最小值为4.故选B. 课 堂 考 点 探 究 37 （2）已知是所在平面内的一点，若 ，其中 ，则点 一定在( ) A.的内部 B. 边所在直线上 C.边所在直线上 D. 边所在直线上 ［思路点拨］将化为 ，根据共线向量定理 可判定. [解析] 由，得，即 ， 则，为共线向量， 又，有一个公共点，所以，， 三点共线， 即点在 边所在直线上.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 利用共线向量定理解题的方法 （1） 是判定两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向. 课 堂 考 点 探 究 39 （2）若与不共线且，则 . （3）要证明，，三点共线，只需证明与 共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与 共线， 从而存在实数 ，使得 . （4） ， 为实数，若，， 三点共线，则 . 课 堂 考 点 探 究 变式题（1）已知点,,是直线上相异的三点，为直线 外一点， 且，则 的值是( ) A. B.1 C. D. [解析] 由，得， 因为点,, 是直线上相异的三点，即点,,三点共线， 所以 ，解得 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 41 （2）点是所在平面内一点，满足 ， 若为的中点，则 的值为__. [解析] 因为，所以 ， 由为的中点，得， 所以，所以 是线段上靠近点的四等分点， 则 ， 又，所以 . 课 堂 考 点 探 究 42 【备选理由】例1考查对平面向量加、减运算几何意义的理解以及数 形结合思想的运用. 例1 ［配例2使用］若非零不共线的向量，满足 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 教 师 备 用 习 题 43 [解析] 非零向量，满足 ，可考虑构造等腰三角形， 设，，则，则 . 在图①中，延长到点，使,连接, 则， ，不能比较与的大小； 在图②中，延长到点，使 ,连接， 则， 所以为直角三角形，且 ， 易知， ， 由三角形中大角对大边，得 .故选C. 教 师 备 用 习 题 44 例2 ［配例3使用］已知， 为两个不共线的向量， ，，则__________.（用， 表示） [解析] 因为, ， 所以 . 【备选理由】例2考查了平面向量的线性运算. 教 师 备 用 习 题 45 例3 ［配例4使用］[2025·江苏徐州一中打靶 卷]如图，在中，已知,分别是, 上的点，且满足，， 与交于点，连接并延长,交于点 .若 ，则实数 的值为( ) A.2 B. C. D.3 √ 【备选理由】例3考查利用向量的线性运算求参数. 教 师 备 用 习 题 46 [解析] 由,, 三点共线， 由, , 三点共线，可设 ，， 所以 . 设 ， ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 47 由①②可得解得 故. 因为 ，所以， 又,, 三点共线，所以，解得 .故选B. 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例5使用］点是 所在平面上一点，若 ，则与 的面积的比值是__. 【备选理由】例4考查共线向量定理及应用. 教 师 备 用 习 题 49 [解析] 如图，延长交于点， 设 ，则， 因为，， 三点共线，所以，解得， 所以 ，， 则 ， . 由，得 ，即 ， 所以，所以，所以 . 教 师 备 用 习 题 50 $