25.3 实际问题与一元二次方程（分层练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.3 实际问题与一元二次方程（分层练习）

基础过关练

知识点一　增长率问题（一元二次方程的应用）

1．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A.　　B.

C.　　D.

2．某品牌手机今年1月份售价为每台3000元，到3月份降至每台2430元．设该款手机售价的月平均下降率为x，则下列方程正确的是（　　）

A.　　B.

C.　　D.

3．某商品原价每件125元，连续两次降价后每件80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为________．

4．某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率．

知识点二　传播类问题（一元二次方程的应用）

1．某人将一条求助信息发到微信群，第一轮转发给x个人，第二轮中每名收到信息的人又都转发给x个人，两轮转发后连他本人共有49人收到该信息，则根据题意可列方程为（　　）

A.　　B.

C.　　D.

2．某条消息由1个人首发，经过两轮传播后共有100人知道该消息．设每轮传播中平均每人传播x人，则根据题意可列方程为________．

3．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值．

4．近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染．(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？(2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？

知识点三　几何面积基础问题（一元二次方程的应用）

1．一幅长60cm、宽40cm的矩形画作，四周装裱宽度相等的空白边框，制成一个矩形工艺品．若中间画作部分的面积为2000，设边框的宽为x cm，则下列方程正确的是（　　）

A.　　B.

C.　　D.

2．某农场计划利用一面长为25m的墙，另外三边用长为40m的篱笆围成一个长方形菜园，其中垂直于墙的一边长为x m．若菜园的面积为150，求x的值．

3．有一块长20cm、宽16cm的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为140的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．

4．在一块长80m、宽50m的矩形绿地上，修建横向和纵向两条宽度均为x m且互相垂直、均贯穿绿地的笔直小路，其余部分种植草坪．若草坪的面积为3744，则可列方程为（　　）

A.　　B.

C.　　D.

知识点四　数字问题（一元二次方程的应用）

1．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，且十位数字与个位数字的积是10．设这个两位数的个位数字为x，则根据题意可列方程为________．

2．在某月的日历表上，用一个方框圈出排列的4个数，若其中最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为（　　）

A.9　　B.10　　C.11　　D.12

3．在某月的日历表上，小明用方框框出呈"L形"相邻的3个数：某个数、它正右方的数和它正下方的数．若这3个数中最大数与最小数的乘积为120，求这3个数中的最大数．

4．两个连续奇数的积为195，则其中较大的一个奇数为________．

能力提升练

知识点一　营销问题（一元二次方程的应用）

1．中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？

2．某网店销售一种进价为40元/件的商品，当售价为60元/件时，每月可售出400件；售价每提高1元，月销售量将减少10件．设售价为x元/件，若该网店每月销售此商品获利6750元，且要让顾客得到更多优惠，则售价x为（　　）

A.55元　　B.65元　　C.75元　　D.85元

3．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．(1)降价5元时，日销量增加了多少个？(2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？

4．某网店1月份销售额为25万元，3月份销售额达到36万元．(1)求该网店销售额的月平均增长率；(2)该网店销售一种进价为30元/件的商品，售价为40元/件时，每天可售出300件；售价每上涨1元，每天销售量将减少10件．要使该商品日利润达到3750元，且让顾客得到实惠，售价应定为多少元/件？

知识点二　工程问题（一元二次方程的应用）

1．某加工厂只加工甲、乙两种零件，已知每名工人每天加工甲种零件的数量是加工乙种零件数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种零件的工人比加工乙种零件的工人少15人时，当天加工出厂的甲、乙两种零件数量均为1350个．(1)求每名工人每天加工甲、乙两种零件各多少个；(2)春节将至，订单激增．该厂对所有工人重新分配：m名工人加工乙种零件，其余的工人加工甲种零件；同时提高生产效率：每名工人每天加工乙种零件比原来增加m个，每名工人每天加工甲种零件比原来增加2m个．已知该厂每天加工的甲、乙两种零件共5175个，求m的值．

2．为迎接校庆，某校委托印刷厂印制一批纪念册共2600本，由甲、乙两台印刷机同时开工完成．已知两台印刷机同时开工，甲机印10天、乙机印6天恰好完成这批任务，且甲机3天印的纪念册比乙机2天印的多400本．(1)求甲、乙两台印刷机平均每天各印多少本；(2)两台印刷机同时开工2天后，订单临时增加600本，甲机从第3天起提高效率（乙机效率不变），最终两台印刷机从开工起恰好同时工作7天完成了全部任务．求甲机提高效率后平均每天印多少本．

知识点三　行程问题（一元二次方程的应用）

1．《九章算术》中有一题："今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．"大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的是（　　）

A.

B.

C.

D.

2．小球从斜坡滚下，滚下的距离S（单位：m）与滚下时间t（单位：s）之间的关系是．若斜坡长56m，则小球滚到坡底需要________s．

3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了________秒．

4．一辆汽车以20m/s的速度行驶，遇到紧急情况刹车后做均匀减速直线运动，6s后停止．（匀变速运动中，每段时间的平均速度等于初速度与末速度的算术平均数，路程．）(1)刹车后汽车的平均速度每秒减少多少？(2)刹车后汽车滑行40m用了多少秒（结果保留根号）？

知识点四　图表信息问题（一元二次方程的应用）

1．在某月的日历表上，小舟用一个平行四边形框出两行各3个数：每行3个数相邻，下一行的3个数比上一行的3个数依次大7且整体右移一格．若框出的6个数中最小数与最大数的乘积为375，求小舟框出的最小数．

2．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这户居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费．(1)若该厂某户居民2月份用电150度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）；(2)