专题突破06 平面向量的拓展应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题突破06 平面向量的拓展应用（精讲） 第一部分 必备知识点 1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。（平方法求模、求夹角） 2.爪子模型（三点共线模型之一）： ,且三点共线；（其中） 3.求的常用方法： （1）定义法 （2）拆分法 （3）射影法 （4）坐标法 （5）画图法 第二部分 典型例题剖析 重点题型一 平面向量基本定理应用 例题1.在 中，E 为 AC 上一点，，P 为 BE 上任一点，若 ，则 的最小值是（ ） A．8 B．10 C．14 D．16 例题2.如图，在 中，点 D 是线段 BC 上的动点（端点除外），且 ，则 的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 例题3.如图，在 中，D 是线段 BC 的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于点 M、N，若 ，（），则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 例题4.如图所示，在 中，，P 是 BN 上的一点，若 ，则实数 m 的值为_______ 例题5.在 中，D 为边 BC 的中线上的点，且 ，过点 K 的直线交边 AB 于点 P，交边 AC 于点 Q，设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，，则 的取值范围为________． 同类题型即时练 1．如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线与 AB、AD 所在直线分别交于点 M、N，满足 ，（），若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．在 中，已知 ，， 在 方向上的投影为 ，P 为线段 AB 上的一点，且 （），则 的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D． 3．如图，在 中，点 O 在边 BC 上，且 。过点 O 的直线分别交射线 AB、AC 于不同的两点 M、N。若 ，，则 （ ） A．有最小值 2 B．有最小值 3 C．有最大值 2 D．有最大值 3 4．设 D、P 为 内的两点，且满足 ，，则 ＝____． 5．在 中，M、N 分别是边 AB、AC 的中点，点 O 是线段 MN 上异于端点的一点，且满足 （），则 ＝________. 重点题型二 平面向量夹角为锐角（钝角）问题 例题1．已知，，则“”是“与夹角为钝角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．已知 ，为互相垂直的单位向量，，，且 与的夹角为锐角，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例题3．已知 ，，若 与的夹角为钝角，则实数 的取值范围为______________． 例题4．已知向量 ，，且 与的夹角为锐角，则实数 的取值范围为___________． 同类题型即时练 1．已知向量 ，，则“”是“与夹角为锐角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量 ，，若向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知向量 ，，若向量 ，的夹角为锐角，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，且 与的夹角为锐角，则实数 的取值范围为______． 5．已知向量 ，，且 和的夹角为锐角，则实数 的取值范围为_________． 重点题型三 向量模最值（范围）问题 例题1．在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（　　） A．8 B．13 C． D． 例题2．在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 例题3．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．13 例题4．已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则（）的最小值为______． 例题5．已知与，要使最小，则实数的值为__________． 同类题型即时练 1．已知点和点，点为坐标原点，则（）的最小值为（　　） A． B． C． D．2 2．如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（　　） A． B．7 C． D．10 3．已知向量，，（，），若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知向量，，则（）的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．点是边长为 4 的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________． 重点题型四 平面向量数量积最值（或范围）问题 例题1．剪纸窗花中常出现正多边形图案．如图，在边长为 2 的正六边形 中， 是边 上任意一点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 例题2．如图，在半径为 6 的扇形 中，，点 是弧 上的一点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 例题3．在直角梯形 中，，，，，， 是 边上长为 4 的可移动线段（、 均在线段 上），则 的取值范围为________． 例题4．传统剪纸中，顺次连接正六边形各顶点可近似得到美丽图案．在边长为 2 的正六边形 中，点 是其内部一点（包含边界），则 的取值范围为________． 例题5．半径为 4 的圆 上有三点 ，，，满足 ，点 是圆内一点，则 的取值范围是________． 同类题型即时练 1．如图，边长为 2 的正方形 的顶点 、 分别在 轴、 轴正半轴（含原点）上滑动，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 2．已知边长为 3 的菱形 中，点 在边 上，且满足 ，，点 为 上一动点，则 的最小值为________． 3．已知锐角 的外接圆半径为 2，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ，则 的取值范围是________． 4．在梯形 中，，，， 是线段 上的动点，若 ，则 的取值范围是________． 5．在平面四边形 中，，，，，， 为 的中点，则 =________；若点 为边 上的动点，则 的最小值为________． 重点题型五 平面向量与三角函数的结合 例题1．已知向量 ， 满足 ，，且对任意实数 ，不等式 恒成立，设 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 例题2．圆 是边长为 的等边三角形 的外接圆， 为 边的中点，点 为圆 上任意一点，（，），则 的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 例题3．已知 ，（），且 ，向量 满足 ，。若 （，），则 ________。 例题4．已知 满足 ， 是 的边 上一点，且 ，，则 的最大值为________。 例题5．已知平面向量 ，，函数 ，其中 。 (1) 求函数 的单调增区间； (2) 将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），最后向下平移 1 个单位，得到 的图象。若 在 上恰有 2 个解，求 的取值范围。 例题6．已知向量 ，。 (1) 当 时，求 的值； (2) 设函数 ，将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求 在 上的值域。 同类题型即时练 1．已知平面向量 ，，若对任意的正实数 ， 的最小值为 ，则此时 （　　） A．1 B． C．2 D． 2．如图，已知扇形 的半径为 2，圆心角为 ，点 ， 分别是半径 ， 上的两动点，且 ，点 在圆弧 上，则 的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．设 为 的外心，且满足 ，，下列结论中正确的序号为________。 ① ；② ；③ 。 4．给定两个长度为 1 的向量 ，，且它们的夹角为 。若动点 在以 为圆心的单位圆的圆弧 上，且 （，），则 的取值范围为________。 5．已知函数 ，向量 ，。在锐角 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，。 (1) 若 ，求角 的大小； (2) 在 (1) 的条件下，若 ，求 的最大值。 6．已知向量 ，，函数 （）。 (1) 化简函数 的解析式，并求最小正周期； (2) 若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破06 平面向量的拓展应用（精讲） 第一部分 必备知识点 1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。（平方法求模、求夹角） 2.爪子模型（三点共线模型之一）： ,且三点共线；（其中） 3.求的常用方法： （1）定义法 （2）拆分法 （3）射影法 （4）坐标法 （5）画图法 第二部分 典型例题剖析 重点题型一 平面向量基本定理应用 例题1.在 中，E 为 AC 上一点，，P 为 BE 上任一点，若 ，则 的最小值是（ ） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，于是 。 又 P 为 BE 上任一点，即 P、B、E 三点共线，由平面向量基本定理（共线充要条件）得 （）。 所以 ， 当且仅当 ，即 （此时 ）时取等号。 所以 的最小值是 16。故选：D。 例题2.如图，在 中，点 D 是线段 BC 上的动点（端点除外），且 ，则 的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因为点 D 是线段 BC 上的动点（端点除外），且 ， 所以由 B、D、C 三点共线得 ，且 。 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号。 所以 的最小值为 9。故选：C。 例题3.如图，在 中，D 是线段 BC 的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于点 M、N，若 ，（），则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 D 是线段 BC 的中点，所以 。 因为 M、D、N 三点共线，且 A 为直线 MN 外一点，所以 ，即 ，故 （）。 所以 ， 当且仅当 ，即 （此时 ）时取等号。 故 的最小值是 0。故选：B。 例题4.如图所示，在 中，，P 是 BN 上的一点，若 ，则实数 m 的值为_______ 【答案】 【解析】先证结论：已知 A 为直线 BN 外一点，若 P、B、N 三点共线，则存在 ，使得 且 ；反之亦成立。 （必要性）设 ，则 ，取 ，则 ； （充分性）若 且 ，则 ，即 ，所以 P、B、N 三点共线。 本题中，因为 ，所以 ，于是 。 因为 P、B、N 三点共线，所以 ，解得 。 故答案为：。 例题5.在 中，D 为边 BC 的中线上的点，且 ，过点 K 的直线交边 AB 于点 P，交边 AC 于点 Q，设 的面积为 ， 的面积为 ，且 ，，则 的取值范围为________． 【答案】 【解析】根据题意如图： 因为 D 为 BC 的中点，所以 ，故 。 又 ，，所以 ，，于是 。 因为 P、K、Q 三点共线，且 A 为直线 PQ 外一点，所以 ，即 。 由 P、Q 分别在边 AB、AC 上可知 ，。由 ，得 且 ，解得 。 所以 。 令 ，则 ，，于是 。 设 ，则 g(t) 在 上单调递减，在 上单调递增。 当 时，，此时 ； 当 时（即 ），；当 （即 ）时， 但取不到。 故 的取值范围为 。 同类题型即时练 1．如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的直线与 AB、AD 所在直线分别交于点 M、N，满足 ，（），若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，所以 。 而 ，，即 ，于是得 。 又点 M、O、N 共线，所以 ，即 。 由 得 ，代入上式得 ，即 ，。 所以 。故选：C。 2．在 中，已知 ，， 在 方向上的投影为 ，P 为线段 AB 上的一点，且 （），则 的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【解析】因为 在 方向上的投影为 ，所以 ，即 ，解得 。 因为 ，即 ，解得 。 因为 P 为线段 AB 上的一点，所以可设 （）。由 ，（ 分别为 方向上的单位向量，且不共线），得 ，所以 ，且 。 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号。 所以 的最小值为 8。故选：C。 3．如图，在 中，点 O 在边 BC 上，且 。过点 O 的直线分别交射线 AB、AC 于不同的两点 M、N。若 ，，则 （ ） A．有最小值 2 B．有最小值 3 C．有最大值 2 D．有最大值 3 【答案】B 【解析】连接 AO。因为点 O 在边 BC 上，且 ，所以 O 分线段 BC 的比为 ，于是 。 又 ，，所以 。 因为 M、O、N 三点共线，所以 ，即 ，且 。 于是 ， 当且仅当 ，即 （此时 ）时取等号。 所以 有最小值 3。故选：B。 4．设 D、P 为 内的两点，且满足 ，，则 ＝____． 【答案】 【解析】根据题意，如图： 取 BC 的中点 E，连接 AE，则 ，所以 。 由 得 。 因为 E 为 BC 的中点，所以 ，故 ，所以 DPBC，且 。 延长 AP 与 BC 交于点 F，则 ，所以 ，于是 。 所以 ，且 ， 故 。 故答案为：。 5．在 中，M、N 分别是边 AB、AC 的中点，点 O 是线段 MN 上异于端点的一点，且满足 （），则 ＝________. 【答案】5 【解析】因为 M 是 AB 的中点，所以 ，即 ； 同理，由 N 是 AC 的中点得 。 将两式代入 ，整理得 。 因为 O 在线段 MN 上（异于端点），M、O、N 三点共线，故存在实数 t（t<0），使得 ， 于是 。 显然 与 不共线，故 且 ， 解得 （此时 ，O 在线段 MN 内部，符合题意）。 故答案为：5。 重点题型二 平面向量夹角为锐角（钝角）问题 例题1．已知，，则“”是“与夹角为钝角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 时，，与反向共线，夹角为 ，且 ，所以 不能推出 与夹角为钝角； 当 与夹角为钝角时，，解得 ，且 与不反向共线，即 ，此时可以推出 ，所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件． 故选：B． 例题2．已知 ，为互相垂直的单位向量，，，且 与的夹角为锐角，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，为互相垂直的单位向量，所以 ，，则 ； ，所以 ； 由 与的夹角为锐角，得 ，即 ，解得 ； 当 与共线时，，解得 ，此时 ，二者同向共线，夹角为 ，不为锐角，故舍去； 综上，的取值范围为 ．故选：B． 例题3．已知 ，，若 与的夹角为钝角，则实数 的取值范围为______________． 【答案】且 【解析】由题设，，因为 与的夹角为钝角，所以 ，即 ； 当 与共线时，，解得 ，此时 ，二者反向共线，夹角为 ，不合题意，舍去； 综上，实数 的取值范围为 且 ． 例题4．已知向量 ，，且 与的夹角为锐角，则实数 的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为 与的夹角为锐角，所以 ，且 、不共线； 由 ，解得 ；当 与共线时，，解得 ，此时 ，二者同向共线，夹角为 ，不为锐角，故舍去； 即实数 的取值范围为 ． 同类题型即时练 1．已知向量 ，，则“”是“与夹角为锐角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题设：，其中 ； 当 时，，但注意当 时，，此时 与同向共线，夹角为 ，不为锐角，故充分性不成立； 当 与的夹角为锐角时，且二者不同向共线，即 且 ，解得 且 ，此时可以推出 ，故必要性成立． 故选：B． 2．已知向量 ，，若向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量 与向量 的夹角为钝角，所以 ，且向量 与向量 不共线， 所以 ，且 ，即 ，且 ． 故选：C． 3．已知向量 ，，若向量 ，的夹角为锐角，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，，所以 ； 因为向量 ，的夹角为锐角，所以有 ，解得 ； 又当向量 ，共线时，，解得 ，此时 ，二者同向共线，夹角为 ，不为锐角，故舍去， 所以实数 的取值范围为 ．故选：C． 4．已知 ，，且 与的夹角为锐角，则实数 的取值范围为______． 【答案】 【解析】因为 ，，所以 ， 因为 与的夹角为锐角，所以 ，且 与不共线， 所以 ，且 ， 解得 ，且 ，所以 的取值范围为 ． 5．已知向量 ，，且 和的夹角为锐角，则实数 的取值范围为_________． 【答案】 【解析】因为 和的夹角为锐角，则 ，即 ，且 、不同向共线； 则 ，解得 ； 又 时，有 ，解得 ，此时 ，二者同向共线，所成角为 ，故 不合题意，舍去； 综上，实数 的取值范围为 ． 重点题型三 向量模最值（范围）问题 例题1．在长方形中，，，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（　　） A．8 B．13 C． D． 【答案】C 【解析】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由，，得， 则，，，． 因为，，设，（），则，， 于是，， 所以， 所以，其中（为锐角）． 当时，，；当时，，而在区间内取不到 1， 故当时，取得最大值，最大值为． 故选：C． 例题2．在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】解：以为原点，射线为轴正半轴建立平面直角坐标系，则，． 由等腰梯形的对称性，腰在轴上的射影长为，高为，故，， 设（）是腰上的动点，则，， 所以， 所以， 所以当时，取最小值， 故选：B． 例题3．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【解析】解：由题以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设（），则，， 设（），则，，， 则， 当，即时，取得最小值为． 故选：C． 例题4．已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则（）的最小值为______． 【答案】 【解析】解：不妨设，（），由与所成的角为，得， 代入得：， 即对任意的恒成立，而的最小值为 0，故，得， 于是， 所以， 所以， 当时，取得最小值，故的最小值为． 故答案为：． 例题5．已知与，要使最小，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】解：， 所以． 当时，有最小值，故答案为：． 同类题型即时练 1．已知点和点，点为坐标原点，则（）的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题意可得：，，则： 因为，所以 ， 结合二次函数的性质可得，当时，． 本题选择 B 选项． 2．如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（　　） A． B．7 C． D．10 【答案】D 【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设（），（），因为，， 所以，，，所以，， ，所以 ， 所以当，即时，的最小值为， 故选：D． 3．已知向量，，（，），若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，则，所以， ， 因此，， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为． 故选：C． 4．已知向量，，则（）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量，，则， 所以． 当时，有最小值． 故选：D． 5．点是边长为 4 的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】解：不妨假设在上，且，，，如下图示， 所以，在上且，设， 则，，， 所以， 故， 当时，的最小值为． 故答案为：． 重点题型四 平面向量数量积最值（或范围）问题 例题1．剪纸窗花中常出现正多边形图案．如图，在边长为 2 的正六边形 中， 是边 上任意一点，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取 的中点 ，连接 ，则 ，其中 ． 当 在边 上运动时， 的最大值在端点处取得．连接 ，由正六边形性质得 （过中心的较长对角线），，，． 由中线长公式，，同理 ． 故当 与 重合时， 最大，此时 的最大值为 ．故选 A． 例题2．如图，在半径为 6 的扇形 中，，点 是弧 上的一点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，其中 ．以 所在直线为 轴、过 且垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系．如图 则 ，，由 及三角函数定义得 ，． 于是 ，， ． 因为 ，所以 ，当 时 取得最大值 1，此时原式取得最小值 ．故选 B． 例题3．在直角梯形 中，，，，，， 是 边上长为 4 的可移动线段（、 均在线段 上），则 的取值范围为________． 【答案】 【解析】取 的中点 ，连接 ，则 ． 由 ， 得 ，且 ，即 ． 设 ，因 且 、 在线段 上，故 ，． 在 中，由余弦定理得 ． 当 （即 ）时， 取得最小值 192；当 （即 与 重合）时， 取得最大值 228． 所以 ，即取值范围为 ． 例题4．传统剪纸中，顺次连接正六边形各顶点可近似得到美丽图案．在边长为 2 的正六边形 中，点 是其内部一点（包含边界），则 的取值范围为________． 【答案】 【解析】正六边形边长为 2，则 ． 因为 （ 在 方向上的投影），其关于点 是线性函数，而正六边形（含边界）是凸多边形，故最值在顶点处取得． 逐一计算：；；同理 ；；；（此时 ）． 故当 与 或 重合时取得最小值 0；当 与 或 重合时取得最大值 12．所以 的取值范围是 ． 例题5．半径为 4 的圆 上有三点 ，，，满足 ，点 是圆内一点，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】由 得 ，即 ，故 ，四边形 是平行四边形；又 ，故它是菱形． 由 得 ，即 ， 为等边三角形；从而 ，由余弦定理 ，即 ． 设菱形对角线 与 的交点为 ，则 既是 的中点，也是 的中点，且 ． 由极化恒等式：；． 所以 ． 因为 是圆内一点，且 在圆内（），故 ，所以 ，即取值范围是 ． 同类题型即时练 1．如图，边长为 2 的正方形 的顶点 、 分别在 轴、 轴正半轴（含原点）上滑动，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，．由于 ，故 ，，即 ，． 由 且 得 ，，即 ，． 所以 ． 当 时， 取得最大值 8．故选 C． 2．已知边长为 3 的菱形 中，点 在边 上，且满足 ，，点 为 上一动点，则 的最小值为________． 【答案】 【解析】设 ．由菱形性质知 ，则 ，， ，解得 ．由于 ，所以 ． 以 与 的交点为原点， 为 轴建立直角坐标系，如图 则 ，，，，． 设 ，，则 ，， ． 当 时， 取得最小值 ．故答案为 ． 3．已知锐角 的外接圆半径为 2，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】由正弦定理 ，得 ，． 所以 ． 因为 为锐角三角形，所以 且 ，解得 ，从而 ，故 ． 所以 ，当 （即 为等边三角形）时取得最大值 6．故答案为 ． 4．在梯形 中，，，， 是线段 上的动点，若 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】由 且 得 ．设 （），记 ． 因为 ，所以 ，其中 为 与 的夹角，，故 ． 又 ，，则 ，解得 ． 当 时， 单调递增，故 ；结合 ，得 ． 所以 的取值范围是 ． 5．在平面四边形 中，，，，，， 为 的中点，则 =________；若点 为边 上的动点，则 的最小值为________． 【答案】； 【解析】由四边形内角和得 ．延长 交 的延长线于点 ，则 ，，故 ．如图 在 中，，． 在 中，，，故 ，从而 ，且 ． 于是 ，．在 中， 且 ，故 为等边三角形，所以 ． 设 （），则 ，，则 ． 其中 （）；，． 所以 ，当 时取得最小值 21． 故答案为：，． 重点题型五 平面向量与三角函数的结合 例题1．已知向量 ， 满足 ，，且对任意实数 ，不等式 恒成立，设 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使 对任意 恒成立，两边平方得 ，即 对任意 恒成立。 故 ，即 ，也就是 ，而 ，所以 （）。 于是 ，，所以 。故选 D。 例题2．圆 是边长为 的等边三角形 的外接圆， 为 边的中点，点 为圆 上任意一点，（，），则 的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系： 因为等边三角形边长为 ，其外接圆半径 ，所以 ，，，，圆心 ，半径为 2。 可设 。又 ，，则 ， 所以 ，即 ；，即 。 所以 ，当 （）时取等号，即 的最大值为 。故选 B。 例题3．已知 ，（），且 ，向量 满足 ，。若 （，），则 ________。 【答案】 【解析】因为 且 ，所以 ，。 由 ，两边与 作数量积，得 ； 两边与 作数量积，得 。 两式联立解得 ，，所以 。 例题4．已知 满足 ， 是 的边 上一点，且 ，，则 的最大值为________。 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，条件化为 ，即 。 由 ，得 ，即 。因为 ，，所以 ，又 ，故 。 由 ，得 ，即 ，故 。 设 ，，则 ，所以 ，即 。 由基本不等式 ，得 ，即 。 所以 ，当且仅当 且 ，即 ， 时取等号。故 的最大值为 。 例题5．已知平面向量 ，，函数 ，其中 。 (1) 求函数 的单调增区间； (2) 将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），最后向下平移 1 个单位，得到 的图象。若 在 上恰有 2 个解，求 的取值范围。 【答案】(1) 　(2) 【解析】（1）。 由 （），得 （）。又 ，故 的单调增区间为 。 （2）向右平移 个单位得 ；横坐标缩短为原来的 得 ；向下平移 1 个单位得 。 当 时，令 。 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，，。 故 恰有 2 个解，当且仅当水平直线 与曲线恰有两个交点，即 ，解得 ，即 的取值范围是 。 例题6．已知向量 ，。 (1) 当 时，求 的值； (2) 设函数 ，将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，求 在 上的值域。 【答案】(1) 　(2) 【解析】（1）由 得 ，所以 。 （2），则 。 当 时，，所以 ，即 ，故 在 上的值域为 。 同类题型即时练 1．已知平面向量 ，，若对任意的正实数 ， 的最小值为 ，则此时 （　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】。 若 ，则 关于 在 上单调递增，其值趋于 4 而取不到，与最小值为 3 矛盾，故 。 所以当 时取得最小值 ，即 ，从而 。 此时 ，所以 。故选 C。 2．如图，已知扇形 的半径为 2，圆心角为 ，点 ， 分别是半径 ， 上的两动点，且 ，点 在圆弧 上，则 的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立直角坐标系 设 （），，，其中 ，，且 。 则 ，，所以 。 由辅助角公式，（其中 ），当 时取最大值 1，故 ，即其最小值为 2。故选 A。 3．设 为 的外心，且满足 ，，下列结论中正确的序号为________。 ① ；② ；③ 。 【答案】①③ 【解析】由题意 。 ①由 ，两边平方得 ，解得 ，故①正确； ②由 ，两边平方得 ，即 ，所以 ，，故②错误； ③因为 ，且 与 反向，故点 在优弧 上，，所以 ，即 ，。又由 知 ，故 ，③正确。综上，答案为①③。 4．给定两个长度为 1 的向量 ，，且它们的夹角为 。若动点 在以 为圆心的单位圆的圆弧 上，且 （，），则 的取值范围为________。 【答案】 【解析】设 （），则 。 由 ，两边分别与 ， 作数量积，得 ，。 两式相加得 ，即 。 因为 ，所以 ，故 。 5．已知函数 ，向量 ，。在锐角 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，。 (1) 若 ，求角 的大小； (2) 在 (1) 的条件下，若 ，求 的最大值。 【答案】(1) 　(2) 4 【解析】（1）。 由 得 。因为 为锐角，，所以 ，即 。 （2）由余弦定理 ，得 ，所以 。 又 ，所以 ，即 ，故 ，当且仅当 时取等号。所以 的最大值为 4。 6．已知向量 ，，函数 （）。 (1) 化简函数 的解析式，并求最小正周期； (2) 若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ，　(2) 【解析】（1），所以最小正周期 。 （2）当 时，，所以 ，即 。 恒成立等价于 对 恒成立，故 且 ，解得 ，即 的取值范围为 。 学科网（北京）股份有限公司 $