2.7 探索勾股定理（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

第2章　特殊三角形 2.7 探索勾股定理（第1课时） 勾股定理及计算应用 数学新教材浙教版　八年级上册 情境引入 会标中的数学关系 背景 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，设计思路来自赵爽弦图。 研究问题 把四个全等直角三角形拼成大正方形，能否用面积发现三边之间的关系？ 合作探究 用字母表示直角三角形 边的角色 两直角边分别为，斜边为。不论图形怎样旋转，都先识别直角所对的斜边。 拼图任务 用四个全等直角三角形组成外边长为、内边长为的图形，假定。 新知讲授 先证明中间确是正方形 边相等 当时，中心四边都为两个直角边长度之差。 角为直角 相邻两个锐角互余，中间四个角都是；四边相等，所以是正方形。 等腰情形 若，四个三角形恰好拼满，中间空隙面积为0。 新知讲授 面积给出等式 整体面积 大正方形面积。 分块面积 四个三角形面积和为，中心正方形面积。 随堂思考 思考 由，推导之间的关系。 答：。 展开得。 消去与，得到所需等式。 新知讲授 勾股定理 定义或定理 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 符号表达 若是两条直角边长、是斜边长，则。 A B C a b c 新知讲授 在3、4、5中识别勾、股、弦 名称与边对应 图中较短直角边3为勾，较长直角边4为股，斜边5为弦。 核对平方和 。弦必须对着直角，不能按图形的摆放方向认斜边。 A B C 3 4 5 随堂计算 比较 两图均为直角三角形。分别求未知边的长度，并说明为何用加法或减法。 （1） 两条直角边长为6和8，求斜边。 （2） 斜边长13，一条直角边长5，求另一条直角边。 6 8 c b 5 13 （1） 答：。 。 边长取正数，。 （2） 答：。 。 ；减数必须是直角边的平方。 例题讲解 例1 在中，，。①，求；②，求。 （1） ① （2） ② （1） 答：。 ；边长为正，故。 （2） 答：。 ；取正根得8。 易错辨析 为什么不写正负两个根 方程的解 有或两个代数解。 几何量的限制 边长严格大于0，所以只取。由平方关系求长度时，必须检查正值。 例题讲解 例2 长方形零件尺寸如图，水平位置距左边40毫米，水平位置距左边160毫米；距底边分别90毫米、40毫米。求。 答：毫米。 过作铅垂线，过作水平线，交于。 则毫米，毫米。 ，取正根毫米。 例题讲解 读工程图先作差 横向距离 两点的水平距离是各自位置数值之差，不能把160直接当作两孔水平距离。 竖向距离 两点高度差为毫米，斜距是所构直角三角形的斜边。 新知讲授 边长比例怎样进入勾股式 设比例系数 若，可设，其中。 平方比例 ，所以斜边为。 A B C 随堂思考 思考 表示的点应落在哪两个整数之间？表示的点呢？ -1 0 1 2 3 4 答：分别在2与3之间、3与4之间。 因为、。 数轴作图后可用平方大小检查位置。 新知讲授 用高线把等腰三角形分成直角三角形 第一步 作顶角到底边的高或中线，利用三线合一把底边分为两半。 第二步 在半个直角三角形中用勾股定理，再回到整体求面积或周长。 具体检验 如图腰长5、底边6，底边分成3和3；高为，面积为。 A B C D 随堂思考 辨析 先判断边的角色，再作计算或说明单位。 （1） 直角三角形两边长为3、5，第三边可能多少？ （2） 直角边为3厘米和4厘米，求斜边。能把写作25厘米吗？ （1） 答：4或。 若5是斜边，第三边。 若3、5都是直角边，第三边。 （2） 答：斜边5厘米；平方和单位是平方厘米。 长度平方对应面积单位；开方后才回到长度单位。 拓展探究 拼图证明的另一个视角 换大正方形 将四个全等三角形放进边长的大正方形，中心留边长的正方形。 面积等式 ，化简同样得到。 易错辨析 使用勾股定理前的检查 直角 先明确哪一个角为直角，必要时作垂线构造。 边的对应 两直角边平方相加；斜边平方减去直角边平方。数据统一单位，边长只取正值。 课内练习 练习 在中，，。①，求；②，求；③，求。 （1） 答：。 ，取正根。 （2） 答：。 ，取正根。 （3） 答：。 设，则，。 练习归纳 把第三问的结果代回检验 平方关系 由，检验。 比例条件 ，与已知比例一致；为斜边。 长度限制 三条边均为正数，且。计算后回到题设逐项核对。 A B C 课内练习 练习 利用圆规和数轴上方的正方形网格，在数轴上作出表示的点。 -1 0 1 2 3 4 答：构造直角边为1与2、2与3的直角三角形，再把斜边长度转移到数轴。 由勾股定理，斜边长度分别为、。 以原点为圆心、相应斜边长为半径画弧，取正半轴交点。 课堂总结 勾股定理 前提 确定直角与斜边 关系 两直角边平方和等于斜边平方 计算 求和或作差，再开正平方根 应用 构造直角、作差、列方程和面积 $