2.8 直角三角形全等的判定 课件 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

# 浙教版数学八年级上册2.8《直角三角形全等的判定》专项练习（1321字） 本专项练习针对浙教版八上2.8直角三角形全等的判定，核心考点：直角三角形特有的判定定理**HL（斜边、直角边定理）**：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；一般三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）对直角三角形仍然适用；分清HL的适用前提：必须是两个直角三角形，条件是斜边+一条直角边对应相等；会选择合适判定方法证明全等，规范书写证明过程，习题分层设置，基础选择填空巩固概念，解答题训练识图推理，适合课后巩固与当堂检测。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形全等判定“HL”中H、L代表的含义是（） A. 两条直角边 B. 一条直角边、一个锐角 C. 斜边和一条直角边 D. 斜边、一个锐角 2. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一条直角边和一个锐角对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一个锐角对应相等 3. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则判定依据是（） A. SAS B. HL C. AAS D. ASA 4. 下列说法正确的是（） A. 两个直角三角形，斜边相等就一定全等 B. 两个直角三角形，有两边对应相等就一定全等 C. HL可以用于任意三角形全等判定 D. 有一条直角边相等的两个直角三角形一定全等 5. Rt△ABC与Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'，BC=B'C'，判定依据为（） A. AAS B. HL C. SSS D. SAS ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成________。 7. HL定理只适用于________三角形。 8. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF（判定依据：________）。 9. 判定普通三角形全等的SSS、SAS、ASA、AAS，对直角三角形________（填“适用”或“不适用”）。 10. 两个直角三角形，若斜边与一个锐角对应相等，可用________判定全等。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）如图，已知∠C=∠D=90°，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。 12.（12分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD=CD。求证：∠B=∠C。 13.（12分）如图，已知AB⊥AC，BD⊥DC，AC=BD。求证：AB=DC。 14.（12分）如图，已知AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD=BE。求证：Rt△ADC≌Rt△BEC。 15.（12分）如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD。求证：OP平分∠AOB。 ## 参考答案与解析 选择题：1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 解析：1.HL：Hypotenuse斜边，Leg直角边；2.两锐角相等只能证明相似，边长不一定相等，不能判定全等；3.都是直角三角形，斜边AB=DE，直角边AC=DF，HL；4.B选项：两边对应相等，分两种：两直角边（SAS）、斜边+直角边（HL），均可证全等；只有斜边相等缺少直角边不能全等；HL不能用于普通三角形；一条直角边相等缺少条件；5.∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'，BC=B'C'，两角及其中一角对边AAS。 填空题：6.HL（斜边、直角边）；7.直角；8.HL；9.适用；10.AAS 解析：6.HL定理简写；7.HL专属直角三角形；8.斜边AB=DE，直角边BC=EF，HL；9.直角三角形也是三角形，通用判定都能用；10.直角相等，一组锐角相等，斜边相等，AAS。 解答题解析： 11.证明：∵∠C=∠D=90°，∴△ABC与△BAD都是直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中$\begin{cases}AB=BA\\AC=BD\end{cases}$，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 12.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ABD和Rt△ACD中$\begin{cases}AD=AD\\BD=CD\end{cases}$，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），∴∠B=∠C。也可用等腰三角形三线合一。 13.证明：∵AB⊥AC，BD⊥DC，∴∠A=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△DCB中$\begin{cases}BC=CB\\AC=BD\end{cases}$，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴AB=DC。 14.证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°。在Rt△ADC和Rt△BEC中$\begin{cases}∠C=∠C\\∠ADC=∠BEC\\AD=BE\end{cases}$，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（AAS）。 15.证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP=∠ODP=90°。在Rt△OPC和Rt△OPD中$\begin{cases}OP=OP\\PC=PD\end{cases}$，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）。∴∠COP=∠DOP，∴OP平分∠AOB。 （全文：1321字） 需要我导出**纯题目无答案版本**，直接打印刷题吗？ 浙教版（新教材）数学八年级上册 2.8 直角三角形全等的判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 特殊的三角形 旧知复习 一般三角形全等的判定方法有哪些？ AAS ASA SAS SSS 直角三角形作为特殊三角形，是否可以用更简化的条件判定全等？ 观察三角尺：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等（如两把相同三角尺），它们是否一定全等？ 新知探究 课堂活动：画图验证HL定理 步骤1：每人画一个直角三角形△ABC，使∠C=90°，AC=5cm，AB=10cm。 10cm 5cm 步骤2：同桌交换图纸，尝试画出另一个△DEF，满足∠F=90°，DF=5cm，DE=10cm。 5cm 10cm 步骤3：剪下三角形重叠比较，观察是否完全重合。 新知探究 已知：如图所示，在△ACB和△A'C'B'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'。 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C' 因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。 证明：如图，延长 BC至D，使 CD＝B'C'，连结AD。 由AC＝A'C'，∠ACD＝90°＝∠C'，得△ADC≌△A'B'C'（ SAS）， ∴AD＝A'B'，∵A'B'＝AB，∴AD＝AB。 又∵AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线， ∴BC＝CD。而AC＝AC（公共边）， 可得△ADC ≌△ABC（SSS），所以△ABC ≌△A'B'C'。 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” “HL”）。 例1. 在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB'N之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（       ） 典例分析 A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL D 小宏第一步为截取BC=B'C' 小宏第二步为作线段AC=A'C' A 返回 1． 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定Rt△ABD≌Rt△CDB的依据是(　　) A．HL　 B．ASA C．SAS D．SSS 举一反三 6 返回 B 2． [2025金华期末]如图，AB⊥CD，垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是(　　) A．AC＝BD，OA＝OB　　 B．OA＝OD，∠A＝∠B C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD 举一反三 7 3 cm 返回 3． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E，连结BE.BC＝BD.若AC＝3 cm ，则AE＋DE＝________. 举一反三 8 变式训练 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取ON=OM，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的理由是（       ） D A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL 例2 如图，AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN=CM．求证：∠B=∠C． 典例分析 根据AM⊥BC于点M，DN∥AM得∠AMB=∠DNC=90°。根据BN=CM得BM=CN,进而可依据“HL”判定Rt△ABM和Rt△DCN全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论。 证明：∵AM⊥BC于点M，DN∥AM ∴∠AMB=∠DNC=90° ∵BN=CM，∴BN+MN=CM+MN ∴BM=CN 在Rt△ABM和Rt△DCN中 ∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL),∴∠B=∠C 变式训练 如图，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，连接BD、CD和AD，DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F ∴∠BED=∠CFD=90° 又∵BE=CF，BD=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴DE=DF ∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上 ∴AD是∠BAC的平分线 先证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，得到DE=DF，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键 4． 如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2. 举一反三 12 返回 举一反三 5． 返回 A 已知△ABC，两个完全一样的三角尺如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在(　　) A．∠A的平分线上 　 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 　 D．AB边的中线上 举一反三 14 6． 返回 22.5° 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为BC 上一点，DE⊥AB于点E，CD＝BE，则∠BAD等于________． 举一反三 15 7． 返回 如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB. 举一反三 16 8． 返回 D [2025杭州月考]如图，∠EBF，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N，连结CP，则下列结论中正确的是(　　) ①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP. A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 举一反三 17 9． 返回 2或6或8 如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从点A出发以2个单位/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点始终保持ED＝CB，当点E离开点A后，运动________秒时， △DEB与△BCA全等． 举一反三 18 10． 返回 115° 如图，作△ABC的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点O与点D，连结OA，已知∠D＝65°，则∠BOC＝________，∠BAO＝________． 25° 举一反三 19 11． 在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，F在边AC上，BD＝DF. (1)如图①，若∠C＝90°，求证：△DCF≌△DEB； 举一反三 (2)如图②，求证：AB－AF＝2EB； 举一反三 所以△DAF≌△DAG(SAS)．所以DF＝DG. 因为BD＝DF，所以BD＝DG. 又因为DE⊥BG，所以BE＝GE. 所以AB－AG＝BG＝2EB，所以AB－AF＝2EB. 举一反三 (3)若AC＝8，AB＝10，BC＝6，直接写出DF的长． 返回 举一反三 课堂小结 普通三角形全等判定中没有“边边角（SSA）”，但直角三角形中，斜边与直角边构成的“SSA”即HL定理成立。 因直角固定了三角形的形状，确保唯一性。 HL定理的独特性 内容：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等。 特点： 直角三角形独有的判定方法，普通三角形不适用。 本质是“边边角（SSA）”在直角三角形中的特例（因直角固定了三角形的形状）。关系推直角”。 ②必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 斜边-直角边定理（HL） 01 03 04 02 谢谢观看 THANKS 【证明】因为∠ADC＝∠AEB＝90°，所以∠BDC＝∠CEB＝90°. 在△DOB和△EOC中，因为 所以△DOB≌△EOC(AAS)．所以OD＝OE. 在Rt△ADO和Rt△AEO中，因为 所以Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)．所以∠1＝∠2. 【证明】过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F. 因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBF＝180°，所以∠1＝∠PBF. 在△PAE和△PBF中，因为 所以△PAE≌△PBF(AAS)．所以PE＝PF. 所以OP为∠AOB的平分线，即OP平分∠AOB. 【证明】因为AD平分∠BAC， DE⊥AB，∠C＝90°，所以CD＝DE. 在Rt△DCF和Rt△DEB中，因为 所以Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)． 【证明】如图，在AB上截取AG＝AF，连结DG. 因为AD平分∠BAC，所以∠DAF＝∠DAG. 在△DAF和△DAG中， 因为 【解】DF＝. $