2.7 探索勾股定理（第2课时）课件 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

第2章　特殊三角形 2.7 探索勾股定理（第2课时） 勾股定理的逆定理 数学新教材浙教版　八年级上册 情境引入 用三根绳子检查直角 实际背景 施工放样时，工人取长3米、4米、5米的三根绳子，首尾相接拉紧成三角形。 本课任务 已知三边长度而未给直角，能否从平方关系判断哪一个角是直角？ A B C 新知讲授 从定理写出逆命题 勾股定理 直角三角形的两直角边平方和等于斜边平方。 逆向问题 若三角形两边平方和等于第三边平方，能否推出三角形是直角三角形？ A B C 合作探究 合作学习 分别作下列三边长的三角形（单位：厘米）。比较较短两边的平方和与最长边的平方，测量最长边所对角，并说出猜想。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） 答：。 平方和均为；测得所对角为。 （2） 答：。 平方和均为；测得所对角为。 （3） 答：。 平方和均为；测得所对角为。 猜想：若三角形两边平方和等于第三边平方，则为直角三角形。 新知讲授 勾股定理的逆定理 逆定理 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 定位直角 平方和等于哪条边的平方，直角就与那条边相对；该边也是三边中最长的边。 A B C 新知讲授 判断顺序为什么重要 先看存在性 三条正线段须先满足较短两边之和大于最长边，才能组成三角形。 再看直角 确定最大边，计算其余两边平方和是否等于。不能固定把字母当作最长边。 辨析字母 三边时，最长边是，应检验。 随堂思考 思考 三条线段长为2、3、6，能否讨论其组成的三角形是不是直角三角形？ 答：不能组成三角形。 因为，违反三角形不等式。 应先说明不能构成三角形，而不只回答不是直角。 例题讲解 例3 判断以为边的三角形是否直角：①；②。 （1） ① （2） ② （1） 答：是直角三角形。 ，25所对角为直角。 （2） 答：不是直角三角形。 最长边是1；。 新知讲授 为什么只比较一次 最大边的作用 正边长中，若两条较短边平方和等于最长边平方，则判为直角。 排除其他组合 最长边平方加任意正平方，一定大于另一短边平方，因此无需穷举三组。 一个具体比较 对，只需比较与；自然成立，不能用它判断直角。 随堂思考 辨析 分别判断下列三角形是否为直角三角形，并写出平方关系。 （1） 三边，判断是否直角并指出直角所对边。 （2） 三边为4、5、6是否构成直角三角形？ （1） 答：是，直角所对边为。 最长边，。 （2） 答：不构成直角三角形。 三角形可以存在，但。 不能因为边长接近3、4、5就直接套用。 例题讲解 例4 三边，其中且为正整数。判断是否直角并证明。 答：是直角三角形。 。 。 。由勾股定理逆定理得结论。 例题讲解 参数条件有什么作用 边长为正 保证。 最长边明确 ，，所以为最长边。 与例题衔接 这些前提确保三条边长为正、最长；再用展开整理得到。 随堂思考 思考 取，计算并判断。 A B C 答：得到5、12、13，构成直角三角形。 。 核验。 随堂思考 思考 对例4的边长，说明。 答：。 其余两组同样为正：；。 因此生成式确实给出非退化三角形。 新知讲授 面积关系怎样转成边长平方 正方形 边长为的正方形面积为。两小面积和等于大面积，就对应平方和关系。 重叠图形 先通过给两边加上同一公共部分，把零散区域恢复为完整正方形。 新知讲授 勾股数与成比例的边 整数例子 3、4、5；5、12、13；8、15、17都满足平方和关系。 同比放大 若，则，其中。 结合测量探索 把同时乘得到，平方和等式仍成立。 拓展探究 阅读拓展：面积的共同系数 以三边作等边三角形 其面积分别为。 面积相加 若原三角形直角，则前两面积之和等于第三面积，因为它们共有系数。 随堂思考 思考 直角三角形两直角边，斜边。分别以三边为直径作半圆，前两个半圆面积之和等于第三个吗？ 答：等于。 直径的半圆面积。 故。 易错辨析 近似值怎样谨慎判断 精确关系 逆定理要求平方和严格相等，计算题中用准确数据判定。 测量数据 实测边长通常有误差，平方和接近只能说明接近直角；验收时需要约定精度。 对照数据 ；把误测成，得。近似相等不能代替严格相等。 新知讲授 正定理与逆定理配合 由角到边 已知直角时用勾股定理求第三边。 由边到角 已知三边时先检验平方关系，再用逆定理判断直角所处顶点。 分清目标 知道且两直角边为，可求斜边为；反过来知道三边，用逆定理判。 A B C 课内练习 练习 判断以为边的三角形是否直角：①20、21、29；②5、7、8；③。 （1） ① 是 。 （2） ② 不是 。 （3） ③ 是 所对角为直角。 最长边，。 课内练习 练习 以三边为边作三个正方形。绿色区域面积等于蓝色区域面积。判断是否直角并证明。 答：是，。 在相等的绿色、蓝色区域上加上图中共同部分，得两小正方形面积和等于大正方形面积。 所以。 由勾股定理逆定理，为直角三角形。 课堂总结 勾股定理的逆定理 前置 三条正长度能组成三角形 选边 先找最长边，不按字母猜 判断 较短两边平方和等于最长边平方 综合 面积关系、生成式与连续判定 $