2.1 图形的轴对称（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

第2章　特殊三角形 2.1 图形的轴对称（第1课时） 轴对称性质、作图与最短路线 数学新教材浙教版　八年级上册 情境引入 从建筑对称到折叠实验 建筑背景 北京故宫的宫殿建筑沿中轴线向东西两侧展开。想象沿中轴线折叠，两侧对应建筑能否重合？ 折叠实验 取长方形纸片，分别沿两条中线和两条对角线折叠，观察两侧能否完全重合。 比较 普通长方形沿两条中线能重合，沿对角线不能重合；判断要兼顾整个图形。 新知讲授 轴对称图形与对称轴 定义或定理 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 辨析 对称轴是一条直线；纸面上画出的线段只是它的一部分。 随堂思考 思考 观察四幅图，哪些是轴对称图形？用折叠或寻找对应点的方法说明。 答：①②④是轴对称图形，③不是。 ③虽然能绕中心旋转重合，但找不到使两侧重合的直线。 能旋转重合不代表一定轴对称。 普通长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴，包括两条对角线所在直线。 任何过圆心的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 合作探究 一组对应点能告诉我们什么 折叠实验 在四边形中，平分且，将图形沿折叠，与重合。 观察线段 令，则，且。 新知讲授 对称轴怎样垂直平分对称点连线 定义或定理 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 图中关系 于，，所以是的中点。 两个要求 既要垂直，也要经过线段中点；只满足其中一个条件不能确定对称轴。 A A′ P D m 3 3 随堂思考 思考 点在对称轴上，作关于的对称点。 A A′ P D m 3 3 答：对称点仍是。 轴外的分居两侧且到轴距离均为3。 轴上的折叠时不动，所以与重合。 例题讲解 例1 已知和直线。以为对称轴，求作点的对称点所组成的三角形。 答：按“作垂线—截等长—依次连结”作图。 过作于；延长至，使。 同法作，依次连结。 例题讲解 例1的作图为什么成立 逐点保证 垂直平分，各组点都是对应的对称点。 整体连结 按原来的连接关系连结对应点，得到所求图形；不能只作出三个点就结束。 新知讲授 图形的轴对称及其保留的量 定义或定理 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫作图形的轴对称，这条直线叫作对称轴。 定义或定理 成轴对称的两个图形是全等图形。 对应关系 轴对称图形讨论一个图形自身；图形的轴对称讨论两个图形之间的对应关系。 对应线段长度相等，对应角大小相等；图形的形状和大小不改变。 随堂思考 思考 两个大小相同的三角形分别放在纸面上，它们一定关于某条直线成轴对称吗？ A B C A′ B′ C′ 答：不一定。 图中两三角形只是整体移动，形状与大小相同。 三组对应点连线的垂直平分线在不同位置，不能共用同一条对称轴。 课内练习 练习 已知线段与直线相交，以为对称轴作线段的轴对称图形。 答：先作，再连结。 分别过两个端点向作垂线，在另一侧截取相等距离。 线段与的交点在轴上，保持不变。 课内练习 练习 在直角三角形中，。以所在直线为对称轴作轴对称图形；两个三角形能组成等腰三角形吗？ 答：能组成等腰三角形。 都在轴上不变，只需作的对称点。 由轴对称性质得，所以是等腰三角形。 情境引入 饮马问题先把背景读完整 已知环境 一骑马少年从地出发，到直线所表示的河边饮马，然后回到同侧的地。 优化目标 在河边选择一点，使路程最短；河岸视为直线，可以选择任意停靠点。 A B l 例题讲解 例2 直线表示河流，在同侧。从到河边饮马再到，作出使总路程最短的路线。 答：路线为折线。 作关于的对称点。 连结交于，再连结。 例题讲解 例2 直线表示河流，在同侧；是关于的对称点，。证明最短。 答：对任意河边点，。 由轴对称，且。 。 。 当时取等号，因此最短。 新知讲授 把折线变成直线 关键替换 让变成与它等长的，两段路程的和不变。 关键比较 两点之间线段最短；在所有折线中，直线段最短。 随堂思考 思考 作多边形的轴对称图形时，只作一个顶点的对称点，再凭感觉画其余部分，是否可靠？ 答：不可靠。 每个顶点都要满足到轴距离相等且连线垂直于轴。 对曲线图形应抓住圆心、端点等决定形状的关键点。 易错辨析 作图时同时检查垂直、等距与对应 错误一 把对称点画在原点同侧，只满足距离相等；应使两个点处于轴的两侧，轴上点除外。 错误二 连线没有与轴垂直；先用尺规保证垂直，再截取等长线段。 确定对称轴 先观察轴两侧形状，再用折叠重合检验。对称轴必须兼顾所有部分。 连结一对对称点，作其垂直平分线，再检查它能否兼顾其余对应点。 随堂思考 思考 图形的轴对称图形是。已知厘米，，求和。 A B C A′ B′ C′ m 5 48° 答：分别为5厘米和。 成轴对称的两个图形全等。 对应边、对应角分别相等，点的对应顺序不能混淆。 课内练习 练习 线段、角是轴对称图形吗？若是，分别说出它们的对称轴。 （1） 线段 （2） 角 （1） 答：是；所在直线及其垂直平分线都是对称轴。 沿所在直线折叠，线段上点不动；沿垂直平分线折叠，两端点互换。 （2） 答：是；角平分线所在直线是它的对称轴。 折叠后角的两边相互重合。 课内练习 练习 观察图形与直线，在A、B、C、D四个图形中选择关于的轴对称图形。 （A） （B） （C） （D） 答：选B。 对应点到距离相等，足趾方向左右保持，上下翻转。 A、D左右方向不符；C与轴的距离不符。 课堂总结 轴对称 识别 沿一条直线折叠能够重合 性质 对称轴垂直平分对称点连线 作图 垂线、等距、按序连结 应用 全等对应量、折线最短路线 $