2.3 等腰三角形的性质定理（第2课时）课件 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

第2章　特殊三角形 2.3 等腰三角形的性质定理（第2课时） 等腰三角形三线合一 数学新教材浙教版　八年级上册 情境引入 从水平仪问题继续追问 背景 三角尺贴在横梁上，顶点垂下重锤。若铅垂线恰好通过底边中点，横梁是否水平？ 本课任务 证明等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边高线是同一条线，从而解释装置。 新知讲授 三种线分别由什么定义 角平分线 把顶角分成两个相等的角。 中线与高线 中线连结顶点与对边中点；高线从顶点垂直对边所在直线。不要混淆三个定义。 A B C D 随堂思考 思考 中，，平分。在中找出全等条件。 A B C D 答：可用SAS证明全等。 两腰；两个夹角；公共边。 例题讲解 证明 ，平分且。证明且。 A B C D 答：同时是底边中线与高线。 由得（SAS）。 所以且。 两角为邻补角，故都为，于是。 新知讲授 等腰三角形性质定理2 定义或定理 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 使用前提 先确定两腰相等，且使用的是顶角平分线、底边中线或底边高线。 A B C D 新知讲授 三线合一的三种已知条件 已知顶角平分线 ，，。 且。两个结论分别服务于求长度和证垂直。 已知底边中线 ，，。 且。注意已知的中线是到底边的中线。 已知底边高线 ，，。 且。高线同时把等腰三角形分成两个全等直角三角形。 随堂思考 思考 中，是中点。为什么？ A B C D 答：因为（SSS）。 。 全等三角形对应角相等。 随堂思考 思考 任意三角形的中线都与底边垂直吗？ A B C D 答：不一定。 中线只说明平分底边。 三线合一还需要两腰相等；不能删除前提。 新知讲授 用三线合一求长度 已知一半 若且，由得，所以。 已知整条 若且为顶角平分线，则。 A B C D 随堂思考 思考 ，是底边高线，。求。 A B C D 答：。 由三线合一，平分顶角。 。 例题讲解 例3 平分，。求证。 A B C D E 答：延长交于，先证。 在与中，两组角相等且夹边，故两三角形全等（ASA）。 所以。为等腰三角形的顶角平分线。 由三线合一得，即。 随堂思考 思考 例3的为什么不能直接推出两个角各？ A B C D E 答：因为不是反向射线，两角不是邻补角。 只有两角相等且和为，才可各得。 应通过全等证明等腰后，再证。 例题讲解 例4 已知线段，用直尺和圆规作等腰三角形，使，底边高长为。 答：作底边的垂直平分线，并在其上截取高。 作；作垂直平分线，交于。 在上取，使，连结。 由垂直平分线性质，，且所作高。 例题讲解 例4的唯一性怎样理解 顶点位置 以底边所在直线为界，高长确定时可在两侧各取一个顶点。 图形关系 两个三角形关于底边所在直线对称，形状与大小相同；任选一侧即完成作图。 A B C A′ D 随堂思考 辨析 分别计算或判断，说明三线合一的适用条件。 （1） 中，，平分顶角。、，求。 （2） ，是腰的中点。能否推出？ （1） 答：。 三线合一分别给出平分底边、垂直底边、平分顶角。 （2） 答：不能。 三线合一针对底边上的中线，而是腰上的中线。 顶角与底边的角色不能交换。 随堂思考 思考 中，于，。求。 A B C D 答：。 由三线合一，得。 ，故。 解题规范 垂直证明中的条件与辅助线 路径一 等腰已知且出现顶角平分线或底边中线，直接用三线合一。 路径二 先证明两个邻补角相等，再由和为推出各为。 补线前后都要检查 从顶点到底边补出顶角平分线、中线或高线，可同时得到多个条件。 所有使用必须先落实；新添辅助线要写出作法与交点位置。 随堂思考 思考 中，于，已知。证明。 A B C D 答：。 三线合一得。 ，故。 新知讲授 角平分线性质怎样使用 距离的定义 点到直线距离必须是垂线段长度；任意斜线段不代表距离。 书写步骤 先证该点在角平分线上，再指出两条垂线段为距离，最后得相等。 A B C D E F G 课内练习 练习 ，于；在上，，为垂足。证明。 A B C D E F G 答：由三线合一及角平分线性质得。 由得平分。 在角平分线上，到角两边的距离相等。 分别为这两个距离，所以。 课内练习 练习 等腰三角尺的两腰分别连结顶点与底边两端，底边贴着横梁。顶点悬下的铅垂线恰好经过底边中点，说明横梁水平。 答：底边与铅垂线垂直，所以横梁水平。 等腰三角形底边中线也是底边高线。 铅垂线经过顶点和底边中点，故垂直底边。 横梁与底边重合，所以横梁垂直铅垂方向，即为水平。 课堂总结 等腰三角形三线合一 前提 两腰相等且针对顶角和底边 三种线 角平分线、中线、高线互相重合 计算 半底边、半顶角、直角 证明 等距、垂直、平行与尺规作图 $