2.5 逆命题和逆定理（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

第2章　特殊三角形 2.5 逆命题和逆定理（第1课时） 交换条件结论、判断真假与证明 数学新教材浙教版　八年级上册 情境引入 把一句话倒过来还成立吗 原句 “等腰三角形是轴对称图形。”这是正确的。 交换说法 “轴对称图形是等腰三角形。”圆和长方形就是反例。改变条件、结论的位置会改变真假。 随堂思考 思考 命题“两直线平行，同位角相等”的条件与结论各是什么？ 1 2 答：条件：两直线平行；结论：同位角相等。 默认两直线被第三条直线所截。 把平行与同位角相等的位置互换，会得到另一个命题。 随堂思考 思考 命题“如果，那么”的条件和结论是什么？ 答：条件；结论。 等式两边平方后仍相等，故原命题为真。 例如时，。一般地，把等式两边分别平方，就得到结论。 新知讲授 互逆命题 定义或定理 对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。 命名 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。 以平方关系为例 把“如果，那么”交换为“如果，那么”。交换完成后，还要另外判断真假。 新知讲授 写逆命题的操作顺序 保留同一研究对象 在中，原命题为“如果，那么”。研究对象始终是同一三角形。 交换条件与结论 逆命题为“在中，如果，那么”。交换的是两部分的位置。 不要改成否定 “如果，那么”并未交换条件和结论，不能当作这里的逆命题。 随堂思考 思考 写出“如果，那么”的逆命题，并判断真假。 （1） 不限制的符号。 （2） 若另有，平方相等能否推出两数相等？ （1） 答：逆命题：若，则；是假命题。 取，则，但。 （2） 答：能。非负数的平方相等时，这两个非负数相等。 原反例已不满足新增条件，因为。 新知讲授 真假与互逆是两回事 互逆并不保证都真 “则”为真；其逆命题为假，取即知。两句仍然互为逆命题。 互逆也可以都真 “两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”互逆，且都是真命题。真假须分别检验。 新知讲授 逆定理 定义或定理 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理。 已有的互逆定理 同一三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”均已证明为真，所以等腰三角形的性质定理与判定定理互为逆定理。 课内练习 练习 写出逆命题并判断：①长方形有两条对称轴；②正数大于零。 （1） ① （2） ② （1） 答：逆命题“有两条对称轴的图形是长方形”为假。 可以取两条互相垂直且长度不同的交叉线段组成的图形，它有两条对称轴，但不是长方形。 （2） 答：逆命题“大于零的数是正数”为真。 这是正数的定义所决定的。 课内练习 练习 说出两对互为逆定理的定理。 1 2 答：可用等腰三角形性质与判定、平行线性质与判定。 同一三角形中“等边对等角”与“等角对等边”互逆。 “两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”互逆。 例题讲解 例1 说出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明。已知线段与点，。 答：逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 需要证明在的垂直平分线上。 分在线段上与不在上两种情况讨论。 例题讲解 例1 线段与点满足，证明点在线段的垂直平分线上。 答：两种情况都成立。 若，则说明为中点，故在垂直平分线上。 若，作；在等腰三角形中，由三线合一得。 故直线是的垂直平分线，点在其上。 新知讲授 由等距确定轨迹 定义或定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 与原定理配合 “在线上可得等距”与“等距可得在线上”互为逆定理，可按已知条件选择方向。 随堂思考 思考 ①已知在垂直平分线上，求证；②已知，求证在垂直平分线上。 答：①用性质；②用逆定理。 观察题目的已知与目标，确定推理方向。 例题讲解 例2 写出“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断真假并说明理由。 A B C D 答：逆命题为“两个面积相等的三角形全等”，是假命题。 取的，为中线。 且两三角形对的高相同，故。 两三角形有公共边与等边，但剩余边，所以不全等。 新知讲授 怎样保证反例有效 满足条件 反例必须确实满足逆命题的条件，例如面积相等。 否定结论 同时必须明确不满足结论，例如三边长度不对应相等。仅画得不像不是证据。 A B C D 随堂思考 辨析 按题意写逆命题或检验反例，分别说明真假。 （1） “如果，那么”的逆命题是什么？是真是假？ （2） 取，可以否定“绝对值相等则两数相等”和“平方相等则两数相等”吗？ （1） 答：逆命题为“如果，那么”，为假。 取，满足而不满足。 不是写成“如果，那么”。 （2） 答：可以。 有且，但。 反例必须逐个核对相应条件。 新知讲授 数学证明和反例的分工 证明适用于所有对象 证明“若，则”时，把任意相等的分别平方，结论仍相等。只计算不足以完成一般证明。 反例只需一个 逆命题“若，则”只需取：条件成立，而结论不成立，即可说明是假命题。 课内练习 练习 写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。 （1） 同位角相等。 （2） 如果，那么。 （1） 答：原命题假；逆命题“相等的角是同位角”也假。 原命题没有两直线平行的前提，一般情形下同位角不一定相等。 相等的对顶角不属于同位角，可以作为逆命题的反例。 （2） 答：原命题假；逆命题“如果，那么”为真。 原命题取，绝对值相等而两数不等。 逆命题由相同的数具有相同绝对值成立。 原命题与逆命题分别判断；假命题用满足条件却不满足结论的反例说明。 课内练习 练习 下列定理中哪些有逆定理？若有，写出逆定理。①等腰三角形的两个底角相等；②内错角相等，两直线平行；③等边三角形的三个角都是60°；④对顶角相等。 （1） 等腰三角形的两个底角相等 （2） 内错角相等，两直线平行 （3） 等边三角形的三个角都是60° （4） 对顶角相等 （1） 答：有逆定理：在同一三角形中，两个角相等，它们所对的边相等。 逆命题是真命题，即等腰三角形的判定定理。 （2） 答：有逆定理：两直线平行，内错角相等。 逆命题是真命题，为平行线性质。 课内练习 练习 下列定理中哪些有逆定理？若有，写出逆定理。①等腰三角形的两个底角相等；②内错角相等，两直线平行；③等边三角形的三个角都是60°；④对顶角相等。 （1） 等腰三角形的两个底角相等 （2） 内错角相等，两直线平行 （3） 等边三角形的三个角都是60° （4） 对顶角相等 （3） 答：有逆定理：三个角都是60°的三角形是等边三角形。 三个角相等，故三边相等。 （4） 答：没有逆定理。 逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，例如等边三角形的两个内角相等，但不是对顶角。 课堂总结 逆命题与逆定理 拆分 明确研究对象、条件、结论 互逆 条件与结论交换位置 真假 证明真，举反例说明假 逆定理 定理的逆命题被证明为真 $