精品解析：山东德州市齐河县多校2026-2027学年第一学期第一次素养测评九年级数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次素养检测九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每道小题4分，共计40分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 用配方法解方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　） A. 向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向上平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 5. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象分别位于第一、三象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象经过点 6. 某商场一款产品原价每件元，连续两次降价，降价后每件售价元．设每次降价的百分率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共计20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________. 14. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是_________． 15. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线与y轴的交点坐标是________； （2）当x________时，y的值随x的值增大而减小； （3）当时，求y的取值范围． 19. 如图，一次函数与反比例函数交于点和点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； （2）当四边形的面积等于时，求x的值． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 22. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大，最大值是多少？ 23. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； （2）当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； （3）如果当时，的最大值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次素养检测九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每道小题4分，共计40分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得，解得． 3. 用配方法解方程配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解方程的基本步骤求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 4. 把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　） A. 向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向上平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象． 故选C． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象分别位于第一、三象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象经过点 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，对各选项逐一判断即可，本题中，结合性质分析即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得． ∵， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，因此A选项错误． 当时，随的增大而增大，因此B选项错误． 当时，随的增大而增大，因此C选项正确． 将代入解析式，得 ，因此图象不经过点，D选项错误． 6. 某商场一款产品原价每件元，连续两次降价，降价后每件售价元．设每次降价的百分率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确每次降价的基数为前一次的售价，结合最终售价列方程. 【详解】解：第一次降价后每件售价为元， 第二次在第一次降价后的售价基础上再降价，售价为元， 由题意得. 7. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求代数式拆分为的形式，结合方程根的定义和根与系数的关系分别求出两部分的值，代入计算即可. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴. 8. 已知抛物线，当时，函数的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题．由抛物线解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，分两种情况：当时，当时，根据二次函数的性质，分别求解即可．熟练掌握二次函数的增减性是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，在上随着的增大而减小， 当时，最大，，不符合题意； 当时，在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大， 当时，，当时，， 当时，函数的最大值为2， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故选：D． 9. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 10. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和的函数值相等，即：， 根据五点作图法，得到二次函数的图象如下： 由图可知： 抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大， 当时，x的取值范围是或， 抛物线与轴交于，， ∴方程的根为和； 综上：，，选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共计20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程定义得出，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________. 【答案】k≤1且k≠0 【解析】 【详解】试题分析：根据方程根的情况：关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，可以判定其根的判别式的取值范围△=b2﹣4ac≥0，即：4﹣4k≥0，解得：k≤1，然后根据关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0， 故答案为k≤1且k≠0． 考点：根的判别式 14. 已知二次函数，当时，函数值的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 二次函数为顶点式，开口向下，顶点在内，最大值在顶点处取得，然后求出时的值，最小值在左端点处取得，就可得到y的取值范围． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∵对称轴在区间内，因此函数在处取得最大值， 当时，； 当时，， ∴当时，函数最小值为， 故当时，函数值取值范围为， 故答案为：． 15. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴； 【小问3详解】 解： 或 ∴． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 18. 已知二次函数的图象如图所示． （1）该抛物线与y轴的交点坐标是________； （2）当x________时，y的值随x的值增大而减小； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 19. 如图，一次函数与反比例函数交于点和点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数关系即可求出反比例函数解析式；再求出点的坐标，再根据点A、点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，进而可得出，根据可得，据此计算即可作答． 【小问1详解】 解：将代入，可得：，即， ∴反比例函数的关系式为， 将代入，可得：，即， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 如图， 令，，即， ∴， ∵，，， ∴． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； （2）当四边形的面积等于时，求x的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据，的长度以及点P和点Q的速度求出x的取值范围，再根据代入计算即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意得，因式分解法解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解：，，故， 设运动的时间为，则，， ∴， ∴ ， 即． 【小问2详解】 解：根据题意：， 整理得：， 解得：，， 即当四边形的面积等于时， x的值为或． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 22. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1）y=-10x+1000．（2）P=-10x2+1500x-50000；当x=70时，P最大值=6000． 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，将（60，400）和（70，300）代入即可求出结论； （2）根据“总利润=总销售额-总成本”即可求出P和x的二次函数关系式，根据题意求出x的取值范围，然后计算出二次函数的对称轴，利用对称轴两侧的增减性即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b ∵函数图象经过点（60，400）和（70，300） ∴， 解得 ∴y=-10x+1000． （2）P=（x-50）（-10x+1000）=-10x2+1500x-50000 自变量取值范围：50≤x≤70． ∵函数P=-10x2+1500x-50000中，对称轴为x=，a=-10＜0 ∴函数图象开口向下，对称轴是直线x=75， ∵50≤x≤70，此时P随x的增大而增大， ∴当x=70时，P最大值=6000． 【点睛】此题考查的是一次函数的应用和二次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数的解析式、实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． 23. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标； （2）当时，随的增大而增大，直接写出的取值范围； （3）如果当时，的最大值为，求的值． 【答案】（1） 顶点坐标为 （2） （3） 的值为或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，求出的值，再将的值代入解析式即得答案； （2）先求出抛物线的对称轴为，开口向上，判断出当时，随的增大而增大，从而求得答案； （3）抛物线的对称轴为，开口向上，故当时，的最大值为，即当时，，代入即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， 代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 由 得顶点坐标为； 【小问2详解】 解： ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即； 【小问3详解】 解：由（2）知抛物线对称轴为直线，开口向上， 又当时，的最大值为， 且， 即当时，， 代入得：， 化简得：， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $