江西南昌市南昌县部分校 2025—2026 学年度第一学期期中考试 九年级数学试题

南昌县 2025—2026 学年度第一学期期中考试 九年级数学试题 本卷为空白卷，参考答案与解析附于卷末 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．2025 年 12 月 7 日，是二十四节气的大雪，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） 2．用配方法解方程 x²＋2x＝2，配方后正确的是（　　） A．(x＋1)²＝3 B．(x＋1)²＝6 C．(x−1)²＝3 D．(x−1)²＝6 3．如图，将含 45° 的直角三角板 ABC 绕点 A 顺时针旋转到△ADE 处（点 C，A，D 在一条直线上），则这次旋转的旋转角的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° 4．关于 x 的一元二次方程 k²x²−(2k＋1)x＋1＝0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（　　） A．k＞− B．k＞− 且 k≠0 C．k＜− D．k≥− 且 k≠0 5．在平面直角坐标系中，把抛物线 y＝x²−2x＋5，向右平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线为（　　） A．y＝(x−5)²＋4 B．y＝(x＋3)²＋8 C．y＝(x＋3)²＋1 D．y＝(x−5)²＋1 6．抛物线 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，与 x 轴的一个交点坐标为 (4，0)，抛物线的对称轴是直线 x＝1．下列结论中：①abc＞0；②2a＋b＝0；③方程 ax²＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根；④8a＋c＜0；⑤若点 A(m，n) 在该抛物线上，则 am²＋bm≤a＋b．其中正确的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7．方程 x²＝x 的解为＿＿＿＿＿＿＿． 8．已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x²−3x＋1＝0 的两个根，则 m²＋3n＝＿＿＿＿＿＿＿． 9．平面直角坐标系内与点 A(2，−3) 关于原点对称的点 B 的坐标是 (x，y)，则 x^y＝＿＿＿＿＿＿＿． 10．在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y＝x²＋2x＋k 与 x 轴只有一个交点，则 k＝＿＿＿＿＿＿＿． 11．已知抛物线 y＝−x²−2x＋m 过 A(−3，y₁)，B(−2，y₂)，C(2，y₃) 三点，则 y₁，y₂，y₃ 的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿（用“＜”号连接）． 12．一副三角板按图所示放置（点 A，D，B 在同一直线上），∠ABC＝30°，∠BDE＝45°．若固定△ABC，将△BDE 绕着公共点 B 顺时针旋转 α 度（0＜α＜180），当边 DE 与△ABC 的某一边平行时，相应的旋转角 α 的值为＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．用合适的方法解下列方程． （1）x²＋4x−6＝0；　　　　（2）(x＋2)²＝3(x＋2)． 14．已知正方形 ABCD 的边长为 4 个单位长度，点 E 是 CD 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图 1 中，将直线 AC 绕着正方形 ABCD 的中心顺时针旋转 45°； （2）在图 2 中，将直线 AC 向上平移 1 个单位长度． 15．2025 年是中国共产党建党 104 周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，2025 年 3 月份该基地接待参观人数 10 万人，5 月份接待参观人数增加到 12.1 万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 6 月份的参观人数是多少万人？ 16．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得△DBE，使点 C 落在 AB 边上，点 A 的对应点为点 D，连接 AD，求∠ADE 的度数． 17．已知抛物线 C：y＝ax²＋bx＋c 的部分图象如图所示，顶点 A(2，1)，与 x 轴右侧交于点 B(3，0)． （1）求抛物线的解析式； （2）当 y＞0 时，请观察函数图象，直接写出 x 的取值范围． 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18．如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10 m），用长为 24 m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边 AB 的长为 x(m)，面积为 y(m²)． （1）若 y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 的取值范围； （2）若要围成的花圃的面积为 45 m²，则 AB 的长应为多少？ 19．已知关于 x 的一元二次方程 x²−(2k＋1)x＋k²＋2＝0 有两个实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为 x₁，x₂，且满足 x₁²＋x₂²−13＝0，求 k 的值． 20．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点 A，C 在 x 轴上，球网 AB 与 y 轴的水平距离 OA＝3 m，CA＝2 m，击球点 P 在 y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度 y(m) 与水平距离 x(m) 近似满足一次函数关系 y＝−0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 y(m) 与水平距离 x(m) 近似满足二次函数关系 y＝a(x−1)²＋3.2． （1）求点 P 的坐标和 a 的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】如图①，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝6，将边 AB 绕点 A 逆时针旋转 θ(0°＜θ＜180°) 得到线段 AE，过点 E 作 EF⊥AE 交直线 BC 于点 F． 【猜想证明】（1）当 θ＝90° 时，请判断四边形 ABFE 的形状，并证明你的结论． （2）在【问题情境】的条件下，存在 θ，使点 F、E、D 三点共线，在图②中补全图形，并求出此时线段 EF 的长度． 【能力提升】（3）在旋转过程中，线段 CE 的最小值为＿＿＿＿＿＿＿．（直接写出答案） 22．如图，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象经过 A，B，C 三点，顶点为 D，已知点 B 的坐标是 (1，0)，OA＝OC＝3OB． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若 E 是线段 AD 上的一个动点（E 与 A，D 不重合），过点 E 作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，求线段 EF 长度的最大值； （3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为 y＝ax²＋2mx＋1，若这个函数在 −2≤x≤1 时的最大值为 3，求 m 的值． 六、（本大题共 1 小题，共 12 分） 23．实验与探究： 【问题初探】（1）如图 1，点 B 是线段 CD 上的一点，AC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥BE，垂足分别为 C、D、B，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE． 【类比迁移】（2）如图 2，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，边 BC 在第一象限，且 A(0，3)，B(5，3)．将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 α(0°＜α＜180°)，若点 B 的对应点 B′ 恰好落在坐标轴上，则点 C 的对应点 C′ 的坐标为＿＿＿＿＿＿＿； 【探究延伸】（3）如图 3 中抛物线为 y＝x²，已知正方形 ABCD（A、B、C、D 为动点）的顶点 B、D 在该二次函数的图象上，点 B、D 在 y 轴的右侧，且点 B 在点 D 的左侧，点 A 在 y 轴正半轴上，设点 B、D 的横坐标分别为 m、n，试探究 n−m 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （4）图 3 中的正方形 ABCD 的顶点 B、D 在二次函数 y＝ax²（a 为常数，且 a＞0）的图象上，点 B 在点 D 的左侧，点 A 在 y 轴正半轴上．设点 B、D 的横坐标分别为 m、n，直接写出 m、n 满足的等量关系式． 参考答案与解析 （答案与解析仅供教师参考，个别开放题的解法不唯一） 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．D 解析：选项 D“大雪”的雪花图案绕中心旋转 180° 后能与自身重合，是中心对称图形；其余三个图案都不具备中心对称性． 2．A 解析：方程两边同加 1 得 x²＋2x＋1＝3，即 (x＋1)²＝3． 3．D 解析：旋转后 C 的对应点为 D，且 C、A、D 三点共线、A 在中间，故旋转角∠CAD＝180°． 4．B 解析：方程为一元二次方程，故 k≠0；Δ＝(2k＋1)²−4k²＝4k＋1＞0，得 k＞−．∴k＞− 且 k≠0． 5．D 解析：y＝x²−2x＋5＝(x−1)²＋4，向右平移 4 个单位得 y＝(x−5)²＋4，再向下平移 3 个单位得 y＝(x−5)²＋1． 6．C 解析：由图象开口向下知 a＜0；对称轴 x＝1 得 b＝−2a＞0；图象与 y 轴正半轴相交得 c＞0，故 abc＜0，①错；②正确；图象与 x 轴有两个交点，③正确； 由 16a＋4b＋c＝0 及 b＝−2a 得 c＝−8a，故 8a＋c＝0，④错；当 x＝1 时函数取最大值 a＋b＋c，故 am²＋bm＋c≤a＋b＋c，即 am²＋bm≤a＋b，⑤正确．共 3 个正确． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 7．x₁＝0，x₂＝1 8．8 解析：m＋n＝3，m²＝3m−1，∴m²＋3n＝3m−1＋3n＝3(m＋n)−1＝8． 9．−8 解析：B(−2，3)，即 x＝−2，y＝3，∴x^y＝(−2)³＝−8． 10．1 解析：Δ＝4−4k＝0，∴k＝1． 11．y₃＜y₁＜y₂ 解析：对称轴 x＝−1，开口向下，三点到对称轴的距离分别为 2、1、3，距离越大函数值越小． 12．45° 或 75° 或 165° 解析：以 BA 所在直线为基准，初始时 DE 与 BA 成 45°（∠BDE＝45°）．顺时针旋转 α 后 DE 的方向角为 45°−α． ①DE∥AB：45°−α＝0°，α＝45°；②DE∥BC：∠ABC＝30°，BC 与 BA 成 150°，45°−α＝−30°，α＝75°； ③DE∥AC：∠A＝60°，AC 与 BA 成 60°，45°−α＝−120°，α＝165°．三个值都满足 0＜α＜180． 三、解答题（每小题 6 分，共 30 分） 13．（1）x²＋4x＝6，x²＋4x＋4＝10，(x＋2)²＝10，∴x₁＝−2＋√10，x₂＝−2−√10． （2）(x＋2)²−3(x＋2)＝0，(x＋2)(x＋2−3)＝0，即 (x＋2)(x−1)＝0，∴x₁＝−2，x₂＝1． 14．（1）取 AD、BC 的中点 M、N，作直线 MN，直线 MN 即为所求（它过正方形中心且与 AC 成 45°）． （2）在 AD 上取点 P 使 DP＝1，在 CD 上取点 Q 使 DQ＝1，作直线 PQ，直线 PQ 即为所求（PQ∥AC 且与 AC 的距离为 1）． 15．（1）设月平均增长率为 x，则 10(1＋x)²＝12.1，(1＋x)²＝1.21，1＋x＝±1.1，取 x＝0.1＝10%． （2）12.1×(1＋10%)＝13.31（万人）．答：6 月份约为 13.31 万人． 16．25°． 解析：旋转角∠CBE＝50°，BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD＝(180°−50°)÷2＝65°； 又∠BDE＝∠BAC＝90°−50°＝40°，∴∠ADE＝65°−40°＝25°． 17．（1）设 y＝a(x−2)²＋1，把 B(3，0) 代入得 0＝a＋1，a＝−1，∴y＝−(x−2)²＋1＝−x²＋4x−3． （2）令 y＝0 得 x＝1 或 x＝3，∴当 y＞0 时，1＜x＜3． 四、解答题（每小题 8 分，共 24 分） 18．（1）BC＝24−3x（墙那一侧不需篱笆），∴y＝x(24−3x)＝−3x²＋24x． 由 24−3x≤10 且 24−3x＞0 得 ≤x＜8． （2）−3x²＋24x＝45，x²−8x＋15＝0，x＝3 或 x＝5，∵x≥，∴x＝5，即 AB＝5 m． 19．（1）Δ＝(2k＋1)²−4(k²＋2)＝4k−7≥0，∴k≥． （2）x₁＋x₂＝2k＋1，x₁x₂＝k²＋2，由 x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²−2x₁x₂＝13 得 (2k＋1)²−2(k²＋2)＝13， 即 2k²＋4k−16＝0，k²＋2k−8＝0，k＝2 或 k＝−4，∵k≥，∴k＝2． 20．（1）扣球直线过点 A(3，y)：y＝−0.4×3＋2.8＝1.6，即 A(3，1.6)．令 x＝0 得 y＝2.8，∴P(0，2.8)． 吊球抛物线过 A(3，1.6)：1.6＝a(3−1)²＋3.2，4a＝−1.6，a＝−0.4． （2）扣球落地：−0.4x＋2.8＝0，x＝7，落点到 C(5，0) 的距离为 2； 吊球落地：−0.4(x−1)²＋3.2＝0，(x−1)²＝8，x＝1＋2√2≈3.83，落点到 C 的距离为 5−(1＋2√2)＝4−2√2≈1.17． ∵1.17＜2，∴应选择吊球． 五、解答题（每小题 9 分，共 18 分） 21．（1）四边形 ABFE 是正方形．证明：由旋转得 AE＝AB，∠BAE＝90°；∵∠ABF＝∠AEF＝90°，∴四边形 ABFE 是矩形，又 AB＝AE，∴它是正方形． （2）EF＝6−√11 或 6＋√11． 以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立坐标系，则 B(5，0)，C(5，6)，D(0，6)，E(5cosθ，5sinθ)． ∵EF⊥AE，∴∠AED＝90°，即 E 在以 AD 为直径的圆上，∴AE²＋DE²＝AD²＝36，而 AE＝5，∴DE＝√11． 又 F 在直线 DE 上且 EF⊥AE，故 EF＝|DF±DE|；由图形位置可得 EF＝6−√11 或 6＋√11． （3）CE 的最小值为 √61−5． 解析：C(5，6)，AC＝√61，E 在以 A 为圆心、5 为半径的圆上，故 CE≥AC−5＝√61−5． 22．（1）B(1，0)，OA＝OC＝3OB＝3，∴A(−3，0)，C(0，3)．设 y＝a(x＋3)(x−1)，代入 C 得 3＝−3a，a＝−1， ∴y＝−x²−2x＋3（顶点 D(−1，4)）． （2）直线 AD：y＝2x＋6（−3＜x＜−1）．设 E(t，2t＋6)，F(t，−t²−2t＋3)， EF＝(−t²−2t＋3)−(2t＋6)＝−t²−4t−3＝−(t＋2)²＋1，∴当 t＝−2 时 EF 取最大值 1． （3）y＝−x²＋2mx＋1，对称轴 x＝m，最大值只能在 x＝m 或端点处取得： ①当 −2≤m≤1 时，m²＋1＝3，m＝±√2，取 m＝−√2；②当 m＜−2 时，x＝−2 处取最大值：−4−4m＋1＝3，m＝−（不合）； ③当 m＞1 时，x＝1 处取最大值：−1＋2m＋1＝3，m＝．∴m＝−√2 或 m＝． 六、解答题（共 12 分） 23．（1）证明：∵AC⊥CD，DE⊥CD，∴∠ACB＝∠BDE＝90°．∵AB⊥BE，∴∠ABC＋∠DBE＝90°， 又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠A＝∠DBE．在△ACB 和△BDE 中，∠ACB＝∠BDE，∠A＝∠DBE，AB＝BE， ∴△ACB≌△BDE（AAS）． （2）C′(5，−2) 或 (7，4)． 解析：AB＝5，AD＝5，A(0，3)，B(5，3) 时 D(0，8)，C(5，8)．B′ 落在 y 轴上时 α＝90°，C′(5，−2)； B′ 落在 x 轴上时 sinα＝，cosα＝，C′＝A＋(5cosα＋5sinα，−5sinα＋5cosα)＝(7，4)． （3）是定值，n−m＝1． 设 A(0，k)，B(m，m²)，D(n，n²)，由 AB＝AD 且 AB⊥AD（把 AB 绕 A 逆时针旋转 90° 得 AD）， 得 n＝k−m²，m＝n²−k，两式相加得 m＋n＝n²−m²＝(n−m)(n＋m)，∵m＋n＞0，∴n−m＝1． （4）a(n−m)＝1（即 n−m＝）．同理把 y＝x² 换为 y＝ax² 可得 n＋m＝a(n²−m²)，故 a(n−m)＝1． 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $