专题1.5全称量词与存在量词 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.5 全称量词与存在量词（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题、两类量词命题的否定形式及其真假判定； ▲难点：两类命题的相互否定（量词与结论都要否定）、由量词命题的真假求参数时转化为最值问题、含参存在量词命题中"有解"与"最小值"的等价转化． 目录 专题1.5 全称量词与存在量词（期中复习讲义） 1 知识点1 全称量词与全称量词命题 1 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的辨析】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 3 知识点2 存在量词与存在量词命题 4 【题型3 存在量词命题的真假与含参问题】 5 知识点3 两类量词命题的否定 6 【题型4 全称量词命题的否定】 7 【题型5 存在量词命题的否定】 8 【题型6 根据量词命题的真假求参数（含参综合）】 9 考点1 全称量词与全称量词命题 知识点1 全称量词与全称量词命题 【重难点】★重点：全称量词的含义，全称量词命题的表述形式及其真假判定（对定义域内每一个都成立）； ▲难点：全称量词命题为假只需举出一个反例、全称量词命题的否定是存在量词命题且量词与结论都要否定． 1．全称量词　"对任意"用符号表示；对的任意取值都成立的命题叫做全称量词命题． 2．表述形式　，其中是关于的命题． 3．真假判定　全称量词命题为真，需要对定义域内每一个验证都成立；为假只需找出一个反例． 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的辨析】 【例1】下列语句中，是全称量词命题的是（　　） A．存在，使 B．对任意，都有 C． D． 【解析】判定依据：含「对任意」「所有」等的是全称量词命题． A：含「存在」，是存在量词命题 B：含「对任意」，是全称量词命题，正确 C： 真假不定，不是命题 D： 真假不定，不是命题 故选 B． 【变式1-1】下列语句中，是存在量词命题的是（　　） A．对任意， B． C．存在，使 D．对一切，都有 【解析】判定依据：含「存在」「至少有一个」等的是存在量词命题． A：含「对任意」，是全称量词命题 B： 真假不定，不是命题 C：含「存在」，是存在量词命题，正确 D：含「对一切」，是全称量词命题 故选 C． 【变式1-2】"，使"是（　　） A．全称量词命题 B．存在量词命题 C．真命题 D．既不是全称量词命题，也不是存在量词命题 【解析】判定依据：先看量词定类型，再用判别式判断真假． A：含「存在」，不是全称量词命题 B：含「存在」，是存在量词命题，类型判断正确 C：，方程无实根，是假命题 D：语句含存在量词，类型判断错误 故选 B． 【变式1-3】“对任意 ，都有 ”是（　　） 存在量词命题且为真命题 全称量词命题且为真命题 全称量词命题且为假命题 不是命题 【解析】判定依据：含「对任意」是全称量词命题， 恒成立． A：量词判断错误，且命题为真 B：含「对任意」，且 恒成立，正确 C：命题为真，不是假命题 D：语句能判断真假，是命题 故选 B． 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】判断下列命题的真假，并说明理由：对任意，都有． 【解析】命题"对任意，都有"可化为． ∵，∴该命题是真命题． 【变式2-1】判断下列命题的真假：存在，使． 【解析】命题"存在，使"可化为． ∵，方程无实数根，∴该命题是假命题． 【变式2-2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．对任意， B．存在，使 C．对任意， D．对任意， 【解析】判定依据：全称命题为假举反例，存在命题看方程是否有解． A：取 ， 不成立，假命题 B：，方程无实根，假命题 C：，真命题 D：取 ， 不满足 ，假命题 故选 C． 【变式2-3】已知命题："存在，使"为真，求实数的取值范围． 【解析】命题"存在，使"为真，等价于方程有实数根． ∵判别式，∴．∴实数的取值范围是． 考点2 存在量词与存在量词命题 知识点2 存在量词与存在量词命题 【重难点】★重点：存在量词的含义，存在量词命题的表述形式及其真假判定（只需找到一个使成立）； ▲难点：存在量词命题为假需证明对所有都不成立、含参存在量词命题转化为"有解"即"的最小值"． 1．存在量词　"存在"用符号表示；至少存在一个使命题成立的命题叫做存在量词命题． 2．表述形式　，其中是关于的命题． 3．真假判定　存在量词命题为真，只需找出一个使成立的；为假则需证明对任意都不成立． 【题型3 存在量词命题的真假与含参问题】 【例3】已知命题："，"为真，求实数的取值范围． 【解析】命题"，"为真，即对一切实数该不等式恒成立． ∵二次项系数为正，∴恒成立的条件是判别式小于． 即，解得．∴实数的取值范围是． 【变式3-1】已知命题："，使"为真，求实数的取值范围． 【解析】命题"，使"为真，等价于不等式有解． ∵二次项系数为正，∴有解的条件是判别式大于等于． 即，解得或．∴实数的取值范围是． 【变式3-2】已知命题："，都有"为真，求实数的取值范围． 【解析】命题"，都有"为真， 即对一切实数该不等式恒成立．∵二次项系数为正， ∴恒成立的条件是判别式小于．即，即， 解得．∴实数的取值范围是． 【变式3-3】已知命题："存在，使"为真，求实数的取值范围． 【解析】命题"存在，使"为真，等价于方程有实数根． ∵判别式，∴．∴实数的取值范围是． 考点3 两类量词命题的否定 知识点3 两类量词命题的否定 【重难点】★重点：全称量词命题的否定是存在量词命题、存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时"结论也要否定"（如""变""）； ▲难点：含参问题中由"命题为真"求参数与由"命题的否定为真"求参数的转化、否定形式的正确书写． 1．否定形式　；． 2．结论否定　否定时须把中的结论取否定，如""的否定是""，""的否定是""． 3．应用　"为真"等价于"为假"；求参数时注意区分"命题为真"与"命题的否定为真"． 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】写出下列命题的否定，并判断原命题的真假：对任意，都有． 【解析】原命题为"对任意，都有"． 其否定是"存在，使"． 判断真假：取时，此时不成立， 故原命题是假命题，其否定是真命题． 【变式4-1】命题"对任意，都有"的否定是______． 【解析】命题"对任意，都有"的否定是"存在，使"． （等价写法：）． 【变式4-2】下列命题中，是原命题"对任意，都有"的否定的是（　　） A．存在，使 B．存在，使 C．对任意，都有 D．存在，使 【解析】判定依据：全称命题的否定是「存在 + 结论的反面」． A：只改结论未改量词，不是否定 B：存在 使 ，量词与结论都变，正确 C：仍是全称量词命题，不是否定 D：结论 与原命题无关，错误 故选 B． 【变式4-3】写出命题“，”的否定． 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题：把“”改为“”并否定结论 ，得“，”． 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】写出下列命题的否定，并判断原命题的真假：存在，使． 【解析】原命题为"存在，使"． 其否定是"对任意，都有"． 判断真假：的解为， 故原命题是真命题，其否定是假命题． 【变式5-1】命题"存在，使"的否定是______． 【解析】命题"存在，使"的否定是"对任意，都有"． （等价写法：）． 【变式5-2】下列命题中，是原命题"存在，使"的否定的是（　　） A．对任意，都有 B．对任意，都有 C．存在，使 D．存在，使 【解析】判定依据：存在命题的否定是「对任意 + 结论的反面」． A：对任意 ，，量词与结论都变，正确 B：结论没有否定，仍是原命题的意思，错误 C：仍是存在量词命题，不是否定 D：量词没有改变，不是否定 故选 A． 【变式5-3】写出命题“，”的否定． 【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题：把“”改为“”并否定结论 ，得“，”． 【题型6 根据量词命题的真假求参数（含参综合）】 【例6】已知命题："对任意，都有"的否定为真，求实数的取值范围． 【解析】命题的否定为真，即原命题为假． 原命题"对任意，都有"为假， 等价于存在使成立．∵二次项系数为正， ∴有解的条件是判别式大于等于．即，解得或． ∴实数的取值范围是． 【变式6-1】已知命题："存在，使"的否定为真，求实数的取值范围． 【解析】命题的否定为真，即原命题为假． 原命题"存在，使"为假，等价于对一切都有． ∵二次项系数为正，∴恒成立的条件是判别式小于． 即，解得．∴实数的取值范围是． 【变式6-2】已知命题："对任意，都有"为真，求实数的取值范围． 【解析】命题"对任意，都有"为真， 即对一切实数该不等式恒成立．∵二次项系数为正， ∴恒成立的条件是判别式小于．即，解得． ∴实数的取值范围是． 【变式6-3】已知命题："存在，使"为假，求实数的取值范围． 【解析】命题"存在，使"为假， 等价于对一切都有．∵二次项系数为正， ∴恒成立的条件是判别式小于．即，解得． ∴实数的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 全称量词与存在量词（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题、两类量词命题的否定形式及其真假判定； ▲难点：两类命题的相互否定（量词与结论都要否定）、由量词命题的真假求参数时转化为最值问题、含参存在量词命题中"有解"与"最小值"的等价转化． 目录 专题1.5 全称量词与存在量词（期中复习讲义） 1 知识点1 全称量词与全称量词命题 1 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的辨析】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 3 知识点2 存在量词与存在量词命题 4 【题型3 存在量词命题的真假与含参问题】 5 知识点3 两类量词命题的否定 6 【题型4 全称量词命题的否定】 7 【题型5 存在量词命题的否定】 8 【题型6 根据量词命题的真假求参数（含参综合）】 9 考点1 全称量词与全称量词命题 知识点1 全称量词与全称量词命题 【重难点】★重点：全称量词的含义，全称量词命题的表述形式及其真假判定（对定义域内每一个都成立）； ▲难点：全称量词命题为假只需举出一个反例、全称量词命题的否定是存在量词命题且量词与结论都要否定． 1．全称量词　"对任意"用符号表示；对的任意取值都成立的命题叫做全称量词命题． 2．表述形式　，其中是关于的命题． 3．真假判定　全称量词命题为真，需要对定义域内每一个验证都成立；为假只需找出一个反例． 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的辨析】 【例1】下列语句中，是全称量词命题的是（　　） A．存在，使 B．对任意，都有 C． D． 【变式1-1】下列语句中，是存在量词命题的是（　　） A．对任意， B． C．存在，使 D．对一切，都有 【变式1-2】"，使"是（　　） A．全称量词命题 B．存在量词命题 C．真命题 D．既不是全称量词命题，也不是存在量词命题 【变式1-3】“对任意 ，都有 ”是（　　） 存在量词命题且为真命题 全称量词命题且为真命题 全称量词命题且为假命题 不是命题 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】判断下列命题的真假，并说明理由：对任意，都有． 【变式2-1】判断下列命题的真假：存在，使． 【变式2-2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．对任意， B．存在，使 C．对任意， D．对任意， 【变式2-3】已知命题："存在，使"为真，求实数的取值范围． 考点2 存在量词与存在量词命题 知识点2 存在量词与存在量词命题 【重难点】★重点：存在量词的含义，存在量词命题的表述形式及其真假判定（只需找到一个使成立）； ▲难点：存在量词命题为假需证明对所有都不成立、含参存在量词命题转化为"有解"即"的最小值"． 1．存在量词　"存在"用符号表示；至少存在一个使命题成立的命题叫做存在量词命题． 2．表述形式　，其中是关于的命题． 3．真假判定　存在量词命题为真，只需找出一个使成立的；为假则需证明对任意都不成立． 【题型3 存在量词命题的真假与含参问题】 【例3】已知命题："，"为真，求实数的取值范围． 【变式3-1】已知命题："，使"为真，求实数的取值范围． 【变式3-2】已知命题："，都有"为真，求实数的取值范围． 【变式3-3】已知命题："存在，使"为真，求实数的取值范围． 考点3 两类量词命题的否定 知识点3 两类量词命题的否定 【重难点】★重点：全称量词命题的否定是存在量词命题、存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时"结论也要否定"（如""变""）； ▲难点：含参问题中由"命题为真"求参数与由"命题的否定为真"求参数的转化、否定形式的正确书写． 1．否定形式　；． 2．结论否定　否定时须把中的结论取否定，如""的否定是""，""的否定是""． 3．应用　"为真"等价于"为假"；求参数时注意区分"命题为真"与"命题的否定为真"． 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】写出下列命题的否定，并判断原命题的真假：对任意，都有． 【变式4-1】命题"对任意，都有"的否定是______． 【变式4-2】下列命题中，是原命题"对任意，都有"的否定的是（　　） A．存在，使 B．存在，使 C．对任意，都有 D．存在，使 【变式4-3】写出命题“，”的否定． 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】写出下列命题的否定，并判断原命题的真假：存在，使． 【变式5-1】命题"存在，使"的否定是______． 【变式5-2】下列命题中，是原命题"存在，使"的否定的是（　　） A．对任意，都有 B．对任意，都有 C．存在，使 D．存在，使 【变式5-3】写出命题“，”的否定． 【题型6 根据量词命题的真假求参数（含参综合）】 【例6】已知命题："对任意，都有"的否定为真，求实数的取值范围． 【变式6-1】已知命题："存在，使"的否定为真，求实数的取值范围． 【变式6-2】已知命题："对任意，都有"为真，求实数的取值范围． 【变式6-3】已知命题："存在，使"为假，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $