1.4.1 第1课时 空间向量与平行关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间向量与平行关系 第一章　空间向量与立体几何 基础预习 重点探究 巩固演练 同步分级训练(六)空间向量与平行关系 1. 了解空间中点、直线和平面的向量表示． 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点) 1. 通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养． 2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养． 3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. 基础预习 NO.1 新知初探 初试身手 (1)如何确定一个点在空间的位置？ (2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？ (3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ (4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量___表示，我们把向量____称为点P的位置向量 xa＋yb 2.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线 的非零向量，一条直线的方向向量有 个． (2)平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的 a，则向量a叫做平面α的法向量． 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ 提示：不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线 向量． 平行或共线 无数 方向向量 3．空间中平行关系的向量表示 线线平行 线面平行 面面平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔_______⇔____________________ _______________________ 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔_______⇔ ________________________________ 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔________⇔________________________________ (a1，b1，c1)＝ λ(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) u1∥u2 u•n＝0 n1∥n2 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量a一定是单位向量．(　　) (2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α.(　　) (3)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　) (4)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为 .(　　) × √ √ √ 2．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2则(　　) D 3．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是______________. 4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ . 4 l⊂α或l∥α 重点探究 NO.2 探究一 探究二 探究三 探究四 例1　四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. 在如图所示的坐标系A-xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 探究1 求平面的法向量 解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴ ＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 求平面法向量的步骤 (1)设法向量n＝x，y，z； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量. 1．已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 解：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 例2　(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) C．－3,2　 D．2,2 [思路探究]　(1)利用空间向量共线的充要条件求值． 探究2 利用空间向量证明线线平行 A (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点． 求证：PQ∥RS. [思路探究] (2)可采用两种方法：一是向量法，二是坐标法，要证PQ∥RS， 证明：法一： 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 证明两直线平行的方法 法一：平行直线的传递性. 法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. 法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分 别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行 四边形． ∴AE∥FC1，EC1∥AF， ∴四边形AEC1F是平行四边形. [探究问题] 1．在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标． 2．依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？ 提示：不唯一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组 有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可． 探究3 利用空间向量证线面平行 3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ 提示：根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了． 例3　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. [思路探究]　 证明：法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 取x＝1，则y＝－1，z＝－1， ∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a•u＝0. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD. 解：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，如图，建立空间直角坐标系A-xyz， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∴ ＝(1,1，－t)， ＝(1，－1,0)，设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，由 例4　已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′. [思路探究]　利用空间向量证明面面平行有两种方法： (1)求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行得证． (2)将向量法和几何法相结合，从而避免了求平面法向量的复杂计算． 探究4 利用空间向量证面面平行 证明：法一：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1, 0, 0), B′(1,1,1)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C′(0,1,1)． BDC′的一个法向量为n2＝(－1,1，－1)．因为n1＝n2，所以n1∥n2.所以平面AB′D′∥平面BDC′. ∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′.又因为AD′∩AB′＝A，所以平面AB′D′∥平面BDC′. 4.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点． 试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形．因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD.以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系D-xyz， CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． (3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行． 2．证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 3．直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量. 巩固演练 NO.3 1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面(　　) A．xOy平行 B．xOz平行 C．yOz平行 D．yOz相交 C 2．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为 ，且l∥α，则m＝ . －8 面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝ ． 2∶3∶(－4) 同步分级训练(六)　空间向量与平行关系 NO.4 A级 基础过关练 B级 能力提升练 一、选择题 示l∥α的是(　　) D 2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(　　) A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 [因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线 (平行)，可知平面α和平面β相互平行．答案选B.] B 3．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝ ，已知α∥β，则x＋y＝(　　) A 4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) B 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) B [设正方体棱长为2，则A(2,0,0)， E(2,2,1)，F(1,0,2)， ∴ ＝(0,2,1)， ＝(－1,0,2) 设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量， 则 取y＝1，得x＝－4，z＝－2 ∴n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量 因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.] 二、填空题 6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于 . [由l∥α可知a•n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.] 1 8．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，直线l的方向向量v＝(2,1,3)，直线AB∥l，则实数y＋z等于 . 0 三、解答题 9．如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： (1)MN∥平面CC1D1D； 证明：以D为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)， C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)． 由正方体的性质， 知AD⊥平面CC1D1D， 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 所以MP∥DC. 由于MP⊄平面CC1D1D， 所以MP∥平面CC1D1D. 又由(1)知，MN∥平面CC1D1D， MN∩MP＝M， 所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D. 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为2， 则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．设Q(0,2，c)， 令x＝1，则y＝1，z＝2， ∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)． 若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量． ∴n1• ＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1， 这时n1• ＝－2－2＋4＝0，符合题意． ∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 11．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是(　 　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 ACD [连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形，故A正确．显然A1M与B1Q为异面直线．故B错误． 由A知A1M∥D1P.由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内． 且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内．故CD正确．] 12.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝ ，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交　 B．平行　 C．垂直　 D．不能确定 B [分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.] 13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： (1)直线AB的方向向量有 个； 8 (2)平面AA1B1B的法向量有 个． 8 14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为 . [建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)， 设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b) 15.如图，在棱长为2的正方体 中，E、F分别为 和 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值． 本节内容到此结束!