1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 （第二课时） 复习回顾 知识点一 直线与直线垂直 如图,设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔______________. u1·u2=0 复习回顾 知识点二 直线与平面垂直 如图,设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得______________. u=λn 复习回顾 知识点三 平面与平面垂直 如图,设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔______________. n1·n2=0 问题引领，深入思考 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.两条直线的方向向量垂直,则这两条直线垂直.(　　) 2.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面垂直. (　　) 3.两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.(　　) 4.直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行. (　　) × √ √ √ 题型一——直线和直线垂直 例1 如图,已知正三棱柱ABC⁃A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 题型一——直线和直线垂直 【证明】设AB的中点为O,连接OC,则OC⊥AB,作OO1∥AA1.以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A,B,C,N,B1, ∵M为BC的中点,∴M. ∴=,=(1,0,1), ∴·=-+0+=0. ∴⊥,∴AB1⊥MN. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 总结 利用向量法证明线线垂直的两种方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. (2)基向量法:确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直. 巩固练习 如图,已知直三棱柱ABC⁃A'B'C'中,AC=BC=AA'=1,∠ACB=90°, D,E分别为AB,BB'的中点.求证:CE⊥A'D. 证明:设=a,=b,=c, 根据题意得|a|=|b|=|c|=1,且a·b=b·c=c·a=0, ∴=b+c,=+=+(+)=-c+b-a,∴·=·=-c2+b2=0, ∴⊥,即CE⊥A'D. 题型二——直线和平面垂直 如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,点E,F分别为线段AB,A1A的中点, A1A=AC=BC,∠ACB=90°.求证:EF⊥平面B1CE. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型二——直线和平面垂直 【证明】由直三棱柱ABC⁃A1B1C1可知CC1⊥平面ABC, 因为CA,CB⊂平面ABC,所以CC1⊥CA,CC1⊥CB,又因为CA⊥CB, 所以以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立如图所示的空间直角坐标系, 设A1A=AC=BC=2,则C(0,0,0),B1(0,2,2),E(1,1,0),F(2,0,1), 所以=(1,-1,1),=(0,2,2),=(-1,1,2), 设平面B1CE的法向量为n=(x,y,z),则 令z=-1,则y=1,x=-1,即n=(-1,1,-1), 所以=-n,即∥n,所以EF⊥平面B1CE. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 利用向量法证明直线与平面垂直的方法 (1)选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明. (2)建立空间直角坐标系,利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的. 巩固练习 如图,在三棱台ABC⁃A1B1C1中,∠BAC=90°,AA1⊥平面ABC, AB=AC=2,A1C1=1,A1A=,且D为BC的中点,求证:BC⊥平面A1AD. 巩固练习 证明:由题意得AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,则以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0), 则=(-2,2,0),=(0,0,),=(1,1,0), ∵·=-2×0+2×0+0×=0, ·=-2×1+2×1+0×0=0,∴⊥,⊥, 即BC⊥AA1,BC⊥AD, 又AA1∩AD=A,AA1,AD⊂平面A1AD,∴BC⊥平面A1AD. 题型三——平面和平面垂直 如图,在四棱锥E⁃ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE, AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°,求证:平面ADE⊥平面ABE. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 题型三——平面和平面垂直 【证明】取BE的中点O,连接OC,则OC⊥BE. 因为AB⊥平面BCE, 所以以O为原点,OC,OB所在直线分别为x轴、y轴,过点O且与BA平行的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则O(0,0,0), C(1,0,0),B(0,,0),E(0,-,0),D(1,0,1),A(0,,2). 于是=(0,-2,-2),=(-1,,1). 设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),则 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 题型三——平面和平面垂直 令b=1,则a=0,c=-,所以n=(0,1,-). 易知OC⊥平面ABE,则平面ABE的一个法向量可取为m=(1,0,0). 因为n·m=(0,1,-)·(1,0,0)=0,所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 总结 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)法向量法:证明两个平面的法向量互相垂直. 巩固练习 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD,求证:平面PAD⊥平面PBC. 巩固练习 证明:如图,取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,则OM⊥AB, 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,OM⊂平面ABCD,所以OM⊥平面PAB, 连接OP,又PA=PB,所以PO⊥AB. 故以O为原点,OP,OB,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设AP=a,AD=b,则A(0,-a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b),D(0,-a,b), 巩固练习 所以=(0,0,b),=(a,a,0), =(0,0,b),=(a,-a,0), 设n1=(x1,y1,z1)是平面PAD的法向量, 则由得 则z1=0,令x1=1,可得y1=-1,即n1=(1,-1,0). 设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,则由得 则z2=0,令x2=1, 可得y2=1,即n2=(1,1,0). 因为n1·n2=1-1=0, 所以平面PAD⊥平面PBC. 当堂检测 1.已知向量a=(4,4,5),b=(-7,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1⊥l2,则下列几组解中可能正确的是 (　　) A.x=1,y=3 B.x=4,y=3 C.x=2,y=4 D.x=0,y=2 解析:由题意a·b=-28+4x+5y=0,即4x+5y=28,代入各选项中的值计算,只有C满足4×2+5×4=28.故选C. C 当堂检测 2.已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),平面α的一个法向量为n=(-4,2x2,6x),若l⊥α,则x的值为 (　　) A.-1 B.1或-1 C.3 D.1 解析:直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),平面α的一个法向量为n=(-4,2x2,6x),若l⊥α,则m∥n,所以==,解得x=-1.故选A. A 当堂检测 3.(多选)在空间直角坐标系中,设a,b分别是异面直线l1,l2的两个方向向量,u,v分别是平面α,β的两个法向量,若a=(1,1,2),b=(4,4,2),u=(-1,0,2),v=(2,2,1),下列结论中正确的是 (　 　) A.l1⊥α B.l2⊥β C.α∥β D.α⊥β 解析:∵a=(1,1,2),u=(-1,0,2),∴a与u不平行,因此直线l1与平面α不垂直,故A错误;∵b=(4,4,2),v=(2,2,1),∴b=2v,∴直线l2与平面β垂直,故B正确;∵u=(-1,0,2),v=(2,2,1),∴u与v不平行,∴平面α与平面β不平行,故C错误;∵u·v=-1×2+0×2+2×1=0,∴u⊥v,即平面α与平面β垂直,故D正确.故选BD. BD 当堂检测 4.如图,正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面边长为1,高为2,点M是棱CC1上的一个动点(点M与C,C1均不重合).当点M是棱CC1的中点时,求证:直线AM⊥平面B1MD1. 当堂检测 证明:以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),M(1,1,1),B1(1,0,2), D1(0,1,2),=(1,1,1),=(0,1,-1),=(1,0,-1), 由·=0,·=0,得AM⊥B1M,AM⊥D1M, 又B1M∩D1M=M,B1M,D1M⊂平面B1MD1, 所以直线AM⊥平面B1MD1. 用数学的眼光看世界 $