微专题21 用空间向量解决立体几何探究性问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第4章 · 立体几何与空间向量 · 大单元10 空间角和距离的计算 高中数学二轮复习专题讲义 21微专题21用空间向量解决 立体几何探究性问题  向量法的价值，是把“找角”换成“算角”；探究题又把这笔账反过来——先给一个角或一个距离，让你解出棱长、定出动点。本专题只练一条主线：先把坐标系的合法性说清楚，再把“是否存在”写成一个含参数的方程，最后回图形验收。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 立体几何解答题的第二问，几乎都要算一个角或一个距离。近几届的共同变化是：坐标系不再白送，所求量也不再直接可算。命题人常把三条两两垂直的线藏进“直棱柱加直角底”“一组面面垂直”或“三条侧棱相等”里，再用一个角或距离作条件，反过来求棱长、定动点。二轮要练的流程固定为四步：定基座、写点求法、核心推演、回验作答。 表前交代取舍。本讲只收两类题：必须把空间角、距离落到坐标与法向量上的计算题，以及把所求量设为参数、由角或距离条件反解的存在性探究题。纯几何的平行、垂直证明归线面位置关系专题；翻折情境归翻折专题；球、截面与轨迹各归其专题。同一道题若既有纯几何的一问、又有向量计算的一问，本讲只在“计算与反解”这一层展开，不重复前一讲的证明链条。 表 1: 空间向量与探究性问题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 15 直三棱柱中证线面平行；由线面角条件定棱长，求直线到平面的距离 2024 新课标Ⅰ卷 17 四棱锥中由线线垂直证线面平行；由二面角正弦值反求棱长 2023 新课标Ⅱ卷 20 三棱锥中证线线垂直；由向量等式定动点，求二面角的正弦值 2022 新高考Ⅰ卷 19 直三棱柱中由体积与面积求点面距；由面面垂直定基座，求二面角的正弦值 两条趋势值得注意。其一，“建系合法性”本身成了得分点：直棱柱只能保证侧棱垂直于底面，底面的直角、两个平面的垂直，都要在卷面上补一句依据；三条侧棱相等的棱锥，顶点在底面的射影是底面外心，也要先说明再落坐标。其二，所求量从“直接算”变成“给条件反解”：给二面角的正弦值求棱长，给线面角求距离，给一组垂直关系找动点，最后都落成一个含参数的方程。方程解出来还不算完，参数范围、图形是否退化、两解如何取舍，都要在最后一步回验。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺概念，先给三模型速查表，再给三条直接服务本专题的结论。表里“一眼认出它的样子”一列只写题面特征，不写解法名词，拿到题先对号入座。 表 2: 空间向量与探究性问题三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 建系与法向量 直棱柱、正方体、一条棱垂直于底面，或一组面面垂直；题目只要一个角或一个距离 先找（或证）三条两两垂直的线，再把各点写成坐标、求一个法向量 例 1、变 1-1 二 · 空间角与距离 给出体积、面积、垂直关系或三条侧棱相等，要求二面角、线面角、点面距、线面距中的两个 先由体积或对称性定尺寸，再统一用“向量在法向量上的投影”算 例 2、变 2-1 三 · 存在性探究 出现“是否存在”“求 的长”“点 在棱上且……”“所成角的余弦值为……” 设参数 或 ，把条件写成方程，解后回验范围与退化 例 3、变 3-1 结论一 · 建系的三条合法依据 ① 三条棱两两垂直：长方体、正方体、直棱柱遇到直角底；② 一条棱垂直于底面：题设直接给出（如“ 底面”）；③ 面面垂直：在一个面内作交线的垂线，得线面垂直，再以垂足为原点。卷面上必须出现一句“由…………，…………，且…………，所以…… 平面……”，否则坐标就成了凭空出现。 结论二 · 四个公式与一次定号 设平面法向量 ，直线方向向量 ，两点 、。点面距 ；线面角 ；二面角先算 ，再回图判断钝锐；异面直线角 。直线到平面的距离，必须先证线面平行，再取线上一点算点面距。 结论三 · 参数化的三种写法 ① 棱上分点：，；② 长度参数：设 （），其余点用 表示；③ 垂直条件消元：动点坐标满足一个方程（如 给出以 为直径的圆），先消元再写坐标。解出参数后三查：范围、图形是否退化、两解是否都合题意。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与一道变式，每题统一按四步展开：定基座 → 写点求法 → 核心推演 → 回验作答。第 1 步专管“坐标系凭什么能建”，第 2 步把所有点写成坐标并求法向量，第 3 步算角或解参数方程，第 4 步回验范围、钝锐与退化。 （一）题型一：建系与法向量 题型识别。题面出现直棱柱、正方体、一条棱垂直于底面或一组面面垂直，同时要求一个角或一个距离。图形看着“垂直很多”，但卷面往往只写了一半；先把缺的那条依据补上，坐标才有落脚点。 通法模型。第 1 步在题面上找三条两两垂直的线，找不到就用面面垂直作交线的垂线；第 2 步选交点为原点，把各点写成坐标；第 3 步求一个法向量就算角或距离；第 4 步检查原点、坐标轴与点是否都在题设允许的位置。 例题 1（题型一·现成直角底与侧棱） 在直三棱柱 中，，，， 分别为 ， 的中点。(1) 证明： 平面 ；(2) 设 ，直线 与平面 所成的角为 ，求直线 到平面 的距离。 图 1: 直三棱柱中的中点 、 解析 第 1 步 · 定基座： 给出 ；直棱柱给出 底面 ，所以 ，。三线两两垂直，以 为原点，、、 为 、、 轴建系。这一步的动机是：题面已经把三条垂直给全，不必再证，直接把“图上的垂直”翻译成“坐标轴上的垂直”。 第 2 步 · 写点求法：设 （），则 由中点公式，，，故 。平面 就是 ，取 ；平面 就是 ，取 。动机：两个待用平面恰好是坐标平面，法向量直接读轴，不必再解方程组。 第 3 步 · 核心推演：(1) ，且 平面 （ 的横坐标为 ），故 平面 。 (2) 由线面角公式， 平方得 ，解得 ，即 。此时 ，。因为 平面 ，所以直线 到该平面的距离等于点 到该平面的距离，即 1。 第 4 步 · 回验作答： 是唯一正解； 不在平面 内，线面平行成立，线到面的距离才有意义；点 到平面 的距离就是横坐标 1。所求距离为 1。回验时只需盯住两件事：平行是否真的成立、距离是否取的是“点到面”而不是“点到直线”。 方法点睛 · 坐标平面是最好的法向量 当待求平面恰好是坐标平面时，法向量直接读轴，别去设 解方程组。先把“哪个平面由哪两条坐标轴决定”说清楚，再动笔算，既快又不容易把法向量算错。 变式 1-1（题型一·面面垂直立高） 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，， 是边长为 2 的等边三角形，平面 平面 ， 为 的中点。(1) 证明： 平面 ；(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值，并求点 到平面 的距离。 图 2: 等边三角形 与菱形底面垂直 解析 第 1 步 · 定基座：平面 平面 ，交线为 。 是等边三角形， 为 的中点，故 。由面面垂直的性质定理， 平面 。动机：题面没有现成的线面垂直，必须先“在其中一个面内作交线的垂线”，把 轴立起来； 既是等边三角形的高，位置与长度都现成，是最省事的立高线。 第 2 步 · 写点求法：以 为原点， 为 轴，底面内过 且垂直 的方向为 轴， 为 轴，则 菱形中 ，，故 ，于是 ；同理 ，。平面 中，，，取法向量 动机：底面菱形是“斜”的，先用 、 定住一条边，再用 、 平移出另外两点，避免在图上硬找角度。 第 3 步 · 核心推演：。于是 点 到平面 的距离 第 4 步 · 回验作答：，，等边三角形的高正确； 满足 且 ； 满足 、，菱形闭合。法向量非零，线面角的正弦为正。所求正弦值为 ，距离为 。 易错微警 · 面面垂直不直接等于线面垂直 由“平面 平面 ”不能直接写“ 平面 ”或“ 平面 ”。正确的落点是：在平面 内找一条垂直于交线 的直线，本题恰是中线 。若题设给的是 而不是等边三角形，也要先由等腰三角形“三线合一”证 ，再落性质定理。 （二）题型二：空间角与距离的统一算法 题型识别。题干给出体积、面积、垂直关系或“三条侧棱相等”，要求二面角、线面角、点面距、线面距中的两个。条件里常有一个“面面垂直”或一组对称关系，尺寸要靠它先定下来。 通法模型。第 1 步用体积或对称性定尺寸，必要时先换顶点求高；第 2 步建系写点，求两个法向量；第 3 步所有距离都写成 ，所有角都写成向量夹角；第 4 步回图判断二面角的钝锐，并核对尺寸是否同时满足题设的每个条件。 例题 2（题型二·换顶点求高再建系） 直三棱柱 的体积为 4， 的面积为 。(1) 求 到平面 的距离；(2) 设 为 的中点，，平面 平面 ，求二面角 的正弦值。 图 3: 直三棱柱中的截面 与中点 解析 第 1 步 · 定基座：设 到平面 的距离为 。三棱锥 与 是同一个锥，两种算法给出 左边 正是直三棱柱的体积 4，故 ，得 。动机：第 (1) 问不需要坐标系，先“换顶点”把距离变成体积问题；同时这条高会在第 (2) 问里继续用。 第 2 步 · 写点求法：由平面 平面 ，交线为 。在平面 内过 作 于 ，则 平面 。直棱柱给出 ，又 ，故 平面 ，从而 。在平面 内，过 且垂直于 的直线唯一，就是 ；而 又在 上， 与 只交于 ，所以 。于是 平面 ，特别地 。 设 。 在 处为直角，两直角边都是 ，斜边 ，斜边上的高为 ；这条高正是 到平面 的距离 ，故 。再由体积 得 ，。 以 为原点，、、 为 、、 轴，则 为 的中点，。动机：先证出 ，三条坐标轴才都合法；尺寸由“距离”和“体积”两个条件一次定完，后面不再带参数。 第 3 步 · 核心推演：(1) 由上面的等体积计算，。 (2) 平面 中，，，取 ；平面 中，，，取 。于是 第 4 步 · 回验作答： 时，体积 ， 中 ，面积 ，与题设全部吻合。二面角求的是正弦，法向量夹角与二面角互补不影响结果；若改求余弦，必须回图定号。所求正弦值为 。 方法点睛 · 先换顶点，再建系 给体积和面积求距离，第一步几乎总是等体积换顶点；距离算出来以后，它往往就是建系需要的那条高。尺寸没定完就急着写坐标，后面每个点都要拖一个未知数，方程会越解越长。 变式 2-1（题型二·三条侧棱相等定顶点） 在三棱锥 中，，，， 为 的中点。(1) 证明：；(2) 点 满足 ，求二面角 的正弦值。 图 4: 由 定出点 解析 第 1 步 · 定基座：三条侧棱相等，说明 在平面 上的射影是 的外心；但本题另有 与两个 夹角，直接把 放在原点用坐标更快。所求二面角与尺度无关，不妨设 ，则 ，且 。动机：题面没给长度，令 最省事；所有角都是尺度不变量。 第 2 步 · 写点求法：以 为原点，、、过 垂直于底面 的方向为 、、 轴，则 设 。由 得 ；由 得 ，即 ，；同理由 得 。于是 ，取 ，。 为 中点，。动机：三个条件分别给模长和两个夹角，正好解出 的三个坐标，比先找外心再算半径更直接。 第 3 步 · 核心推演：(1) ，，故 即 。 (2) ，故 。平面 中，，，取 ；平面 中，，，取 。于是 第 4 步 · 回验作答： 不在底面 内（）， 与已知点不重合；二面角求正弦，钝锐不影响结果。所求正弦值为 。 易错微警 · 三条侧棱相等不等于顶点在底面中心 只说明 在平面 上的射影是 的外心，并不一定是重心或内心。本题另有 是以 为斜边的直角三角形，它的外心才是斜边中点 ——两个“外心”指的是不同的三角形，别混着用。 （三）题型三：存在性探究 题型识别。题干出现“是否存在”“求 的长”“点 在棱上且……”“所成角的余弦值为……”。所求的量没有直接给出，而是藏在一个角、一个距离或一组垂直关系里。 通法模型。第 1 步先建系，把能定的点全部定住；第 2 步设参数 或 ，把动点写成定点的线性组合；第 3 步把角、距离或垂直条件翻译成含参数的方程；第 4 步解方程后回验范围、退化与两解取舍。 例题 3（题型三·由二面角反求棱长） 在四棱锥 中， 底面 ，，，。(1) 若 ，证明： 平面 ；(2) 若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 。 图 5: 由 知点 在以 为直径的圆上 解析 第 1 步 · 定基座：由 ，得 。 底面，故 ，。以 为原点， 为 轴，底面内垂直 的方向为 轴， 为 轴。由 、、 解出 动机：底面虽是直角三角形， 却不沿 ；把 取作 轴， 的坐标由两个长度直接解出，第 (2) 问中 的圆方程也最简单。 第 2 步 · 写点求法：(1) 因为 ，，且 ，所以 平面 ，从而 。又 ， 与 都在底面内，故 。而 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 (2) 设 （）。由 知 以 为斜边。设 ，则 ，于是 动机： 不是一个坐标等式，而是“ 在以 为直径的圆上”；用 与 一起写，正好把两个未知量压成一个 。 第 3 步 · 核心推演：平面 是 ，取 。平面 中， 取 ，则 于是 由二面角的正弦值为 得余弦的绝对值为 ，故 解得 ，。 第 4 步 · 回验作答： 时 。若取 ，则 ，四边形 退化为三角形，舍去；故取 。回验 ，垂直成立。所求 。 方法点睛 · 参数解完必须回图形 含参数的探究题，“解出 ”只完成一半。把 代回坐标，先看动点是否与已知点重合、四边形是否退化，再看 是否落在题设范围。例 3 的两个解里恰有一个让 与 重合，这一步不写就丢回验分。 变式 3-1（题型三·由面面垂直找分点） 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，， 为 的中点，点 在棱 上（不含端点）。是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 图 6: 点 在棱 上，用 定位 解析 第 1 步 · 定基座： 底面，，故 、、 两两垂直。以 为原点，、、 为 、、 轴，则 动机：三条棱两两垂直是题设直接给的，建系零成本； 在 上，用参数写最省。 第 2 步 · 写点求法： 为 的中点，。设 ，，则 平面 中，，，取 平面 中，，，取 。动机：“两平面垂直”等价于“两个法向量垂直”，这一步把几何存在性问题变成了一元方程。 第 3 步 · 核心推演：由平面 平面 ，得 故 。 第 4 步 · 回验作答：， 在棱 内部，不与端点重合；此时 。所以存在这样的点 ，且 。回验时再看一眼：把 代回，两法向量的点积确实为 0，垂直关系成立。 方法点睛 · 面面垂直只算法向量点积 “平面 平面 ”不要翻译成“在两个平面内各找一条互相垂直的直线”——那既不是必要条件，也很难找。直接写 ，一个方程解一个参数，这是探究题里最稳的翻译方式。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在两处：坐标系“建得不合法”，以及算完角、解完参数后不回验。分两张表列出。动手前先用下面三句自查把位置站住，再对着两张表找自己的错因。 动笔前的三句自查 基座的三条线真的两两垂直吗、依据写了吗？我要用的点都在坐标系里写全了吗？待求的是角还是距离，公式里该用 还是 ？——三句都答“是”，再动笔。 表 3: 高频错误及其纠正（建系与写点类） 错误表现 错因 正确做法 看到“直棱柱”就默认三条棱两两垂直，直接把底面当直角 直棱柱只保证侧棱垂直于底面，底面的直角要题设给出或自己证明 先写清“侧棱 底面”，再单独交代底面的直角；例 2 还要先由面面垂直证出 由“平面 平面”直接写“某棱 平面” 混淆了面面垂直与线面垂直 在其中一个面内作交线的垂线，得到线面垂直后再建系；如变式 1-1 的 坐标凭空出现，没有一句依据 只把建系当计算技巧，忽略它是需要证明的 卷面固定写“因为…………，…………，且…………，所以…… 平面……，以……为原点” 表 4: 高频错误及其纠正（角度、距离与参数类） 错误表现 错因 正确做法 线面角用余弦公式计算 把线面角与异面直线角混为一谈 线面角用 ；异面直线角才用余弦 二面角求出法向量夹角后直接当答案 法向量夹角与二面角可能互补 求正弦可直接开方；求余弦必须回图判断钝锐 线到面的距离直接取线上一点算点面距 没有先证线面平行，距离可能不存在 先证线面平行，再取线上任一点算点面距；例 1 第 (2) 问 参数解出后不回验 忽略范围、端点与图形退化 三查：参数范围、动点是否与已知点重合、两解是否都合题意；例 3 的 必须舍去 两张表对应两类丢分：第一类丢的是“建系不合法”的整问分，第二类丢的是“算完不检查”的步骤分。二轮批改时先按这两类归因，再决定补哪一步。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组 6 题练基本动作（建系与法向量 3 题、空间角与距离 3 题），B 组 6 题练迁移与综合，其中 B2 为多选、B3 为开放填空、B6 为难题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 在棱长为 2 的正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为 ______。 A2 在长方体 中，，，，则点 到平面 的距离为 ______。 A3 在正三棱柱 中，所有棱长均为 2，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ______。 A4 在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形，，则二面角 的余弦值为 ______。 A5 在三棱锥 中， 平面 ，，，则点 到平面 的距离为 ______。 A6 在直三棱柱 中，，， 为 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 在四棱锥 中，底面 是直角梯形，，，，， 平面 ，。求二面角 的余弦值。 B2 （多选）在棱长为 2 的正方体 中，点 在棱 上运动（含端点），则（　　） A． 为 中点时， B．存在 ，使 平面 C．三棱锥 体积为定值 D． 为 中点时，平面 平面 B3 （开放填空）在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，， 为 的中点，点 在棱 上。请写出一个 的值，使得平面 与平面 所成角为 ，并说明理由。 B4 在三棱锥 中， 平面 ，，，，。(1) 求点 到平面 的距离；(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值。 B5 在四棱锥 中，底面 是菱形，，， 平面 ，， 为 的中点。(1) 证明： 平面 ；(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值，并求点 到平面 的距离。 B6 在棱长为 2 的正方体 中，点 在棱 上运动（含端点），求平面 与平面 所成角的正切值的取值范围。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】 【解析】以 为原点，、、 为坐标轴，则 ，，，。，，故 【母题溯源】对应例题 1。正方体自带三条两两垂直的棱，先写方向向量。 A2　　【答案】 【解析】以 为原点建系，，，，。平面 中，，，取法向量 。故 【母题溯源】对应例题 1。点面距只算法向量上的投影。 A3　　【答案】 【解析】取 ，，，。平面 中，，，取法向量 。，故 【母题溯源】对应例题 1。突破口：线面角用 ，法向量要选对平面。 A4　　【答案】 【解析】以 为原点建系，，，，。平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，故 【母题溯源】对应例题 2。突破口：两个平面各取两条棱求法向量，再算夹角。 A5　　【答案】 【解析】以 为原点建系，，，。平面 中，，，取法向量 。故 【母题溯源】对应例题 2。点面距取平面内一点写向量。 A6　　【答案】 【解析】以 为原点，、、 为坐标轴，，，故 。平面 为 ，法向量 (1,0,0)，于是 【母题溯源】对应例题 1。突破口：两个坐标平面直接读法向量。 （二）B 组 B1　　【答案】 【解析】以 为原点，、、 为坐标轴，，，，。平面 中，，，取法向量 ；平面 的法向量为 (0,0,1)。故 【母题溯源】对应例题 2。突破口：底面是坐标平面，二面角只需一个法向量。 B2　　【答案】ABD 【解析】以 为原点建系，，，，，设 ，。A： 时 ，，点积为 0，正确。B：，平面 的法向量为 (1,1,1)，当 时 ，正确。C：点 到平面 的距离为 ，随 变化，体积不是定值，错误。D： 时平面 的法向量为 (1,1,−2)，与 (1,1,1) 的点积为 0，两平面垂直，正确。 【母题溯源】对应例题 3、变式 3-1。突破口：把动点写成一个参数，四个选项逐一翻译成方程或点积。 B3　　【答案】（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】设 ，，。平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 (0,0,1)。由所成角为 得 ，平方得 ，故 。取 即可，此时平面 为 ，与底面成 。 【母题溯源】对应变式 3-1。突破口：开放填空也要给验证过程，不能只写一个数。 B4　　【答案】(1) ；(2) 【解析】以 为原点，、 为 、 轴，底面内垂直 的方向为 轴，，，。(1) 平面 的法向量为 (1,0,1)，故 。(2) 平面 的法向量为 ，，故 【母题溯源】对应例题 2。突破口：两个平面都过 ，法向量可直接用两条棱叉乘。 B5　　【答案】(1) 证明见解析；(2) ，距离为 【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴，底面内垂直 的方向为 轴。由 得 ，，，。(1) ，，点积为 0，故 ；又 ，，所以 平面 。(2) 平面 的法向量为 ，，故 ；点 到平面 的距离 。 【母题溯源】对应例题 2、变式 2-1。突破口：底面菱形用 定 ，再用平移得 。 B6　　【答案】 【解析】设 ，。平面 中，，，取法向量 ；平面 的法向量为 (0,0,1)。设所成角为 ，则 ，。当 时 单调递增，取值范围为 。 【母题溯源】对应例题 3、变式 3-1。先写参数，再把正切写成参数函数，用单调性定范围。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $