5.3二次函数的应用第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.3 二次函数的应用 第2课时 学 习 目 标 1. 能建立二次函数模型表示图形面积，会利用二次函数性质求面积最大值，注意自变量实际取值范围；(重点) 2.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点) 知识回顾 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c； （已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k； （已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： 情境引入 下面我们一起探讨如何利用二次函数解决这个问题. 问题：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.如何画才能让矩形的面积最大呢？ 问题：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，点C在斜边上，设矩形AB=xm，其中0＜x＜40. (1)AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取什么值时,y的值最大？最大值是多少? 新知探究 探究：应用二次函数解决几何图形面积的最值问题 （2）用x表示出面积y，借助二次函数即可求出y的最大值. 分析：（1）由图形易得△CBE△FAE，进而得到对应边成比例，进而可用x表示AD的长度. 新知探究 解：（1）∵ BC∥AD， ∴ ∠CBE＝∠FAE＝90°. 又∵ ∠E＝∠E， ∴ △CBE∽△FAE． ∴ ＝． 又∵ EA＝40，AB＝x，EB＝40-x， ∴＝． ∴ BC＝． ∴ AD＝BC＝． 新知探究 （2）y= = 或用公式：当时，. ∴当x为20m时，y有值最大，最大值是300m2. 在上面的问题中，直角三角形不变，如果把矩形改为如图所示的位置，BC在斜边上，点A，D分别在两条直角边上，那么矩形ABCD的最大面积是多少?你是怎样知道的?与同伴进行交流。 新知探究 分析：可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决. x F G E N M 解：过E作EN⊥GF交AD与M，则GF=50,EN=24, MN=AB=x. ∵ AD∥BC， ∴ ∠EAD＝∠EFG. 又∵ ∠DEA＝∠GEF=90°， ∴ △EAD∽△EFG． ∴ ＝,即∴＝． ∴ AD＝． 新知探究 ∴ y= = ∴当x为12m时，y的值最大，最大值仍然是300m2. x F G E N M 新知探究 1.如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（　　） A．150m2 B．200m2 C．250m2 D．400m2 B 新知探究 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 知识归纳 1.分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系; 2.求出函数解析式和自变量的取值范围； 3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4.检验结果的合理性：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少? 新知探究 探究二：应用二次函数解决拱桥问题 x y O -3 (-2,-2) ● ● (2,-2) 4米 新知探究 解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为y=ax2. ∵抛物线经过点（2，-2）， ∴-2=4a，解得 ∴这条抛物线的解析式为y=x2. -3 x y O (-2,-2)● ● (2,-2) 当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3. 当y=-3时，. ∴水面下降1m，水面的宽度为m. ∴水面的宽度增加了()m. 新知探究 2.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是__________ 米. 15 某建筑物的窗户如图所示(单位：m)，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度之和)为15m.考虑材料的宽度及制造中的接口损耗，当x等于多少时，窗户的面积最大(结果精确到0.01m)?此时，最大面积是多少(结果精确到0.01m2)? 例1 典例分析 解：∵7x+4y+πx=15, ∴. ∵0＜7x+ ∴0＜x＜1.48. 设窗户的面积是S m2, 则 =+ = =. ∴当时，S取得最大值，S最大=. 因此，当x约为1.07时，窗户的面积最大，最大面积约为4.02 m2. 典例分析 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式.(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆卡车高4.2 m， 宽2.4 m，这辆卡车能否通过该隧道？说明理由． 例2 【分析】要求抛物线的解析式，需根据函数图象特点，设出顶点式进行求解．要判断这辆卡车能否通过该隧道，即求当x＝2.4时，该抛物线的函数值是否大于4.2. 典例分析 解：(1)由题意，得E(0，6)，D(4，2)． ∵ 点E为顶点， ∴ 可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6. 将点D的坐标代入，得16a＋6＝2， 解得a＝－. ∴ y＝－x2＋6. (2)这辆卡车能通过该隧道．理由如下： ∵ 当x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2， ∴ 这辆卡车能通过该隧道． 1.如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m，设饲养室宽为xm，占地总面积为ym2，则三间饲养室总面积y有（     ） A.最小值200m2 B.最小值225m2 C.最大值200m2 D.最大值225m2 巩固练习 C 巩固练习 2.如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m.设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB.有下列结论: ①S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+30x； ②x的取值范围是2≤x≤10； ③AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2． 其中，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．① D 3.某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 巩固练习 A 5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过　   　 秒，四边形APQC的面积最小． 巩固练习 4.用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积y＝　          　 ，围成的矩形的最大面积是　     　 m2． 25 ﹣x2+10x 3 6.如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； 巩固练习 解：（1）设矩形实验田与墙垂直的一边长为xm，与墙平行的一边长为ym，面积为S， ∴2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； （2）当x的值为多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 巩固练习 （2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x） ＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400） ＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． ∴当x＝20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800m2． 巩固练习 7.一块三角形废料如图所示,∠C=90°,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大?最大面积是多少? 解:∵∠C=90°, AC=8, BC=6, ∴AB=10. ∵四边形CDEF是矩形, ∴EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC, ∴ 巩固练习 同理可得DE=x. 矩形CDEF的面积S=DE·EF = = (0<x<10), ∴当x=5时, S有最大值,为12. 即当AE为5时, 所剪出的矩形CDEF面积最大, 最大面积为12. 设AE=x,则BE=10-x, ∴ ∴EF= 课堂小结 二次函数的应用-第2课时 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 一个关键 一个注意 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定. 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 几何面积最值问题 拱桥问题 作业布置 1.必做题：习题5.3第4题。 2.探究性作业：习题5.3第5题。 感谢聆听! $