5.3《二次函数的应用》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的面积最值应用，通过情境启航回顾二次函数最值及表达式，连接已学二次函数图象性质与几何问题，以问题构建（矩形分类）、协作破冰（对比两种放置方式）为支架，引导学生探究面积最值。 其亮点在于采用分类探究与转化思想，结合动画辅助观察矩形顶点分布，通过问题链驱动用相似三角形建立函数模型，体现数学思维（推理能力）与模型意识。教学方法含情境导入、协作探究，总结步骤清晰，帮助学生培养几何直观和多角度思考能力，教师可依托结构化流程高效教学。

第五章 二次函数 第3课 二次函数的应用 新版北师大数学九年级上册 第2课时 面积问题 学习目标 1.通过探究直角三角形内矩形的最大面积问题,掌握利用相似三角形表示线段长度的方法,体会二次函数在解决几何最值问题中的应用. 2.通过分析窗户面积的最值问题,学会从实际问题中抽象出二次函数模型,掌握建立函数关系并求最值的一般步骤. 3.通过对比矩形不同放置方式下的最大面积,培养多角度思考问题的能力,感受数学的严谨性和趣味性. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情景启航 我们已经学习了二次函数的图象和性质,知道当a＜0时,二次函数有最大值.那么二次函数的最大值可以用来解决生活中的哪些实际问题？ 可以用来解决最大利润、最大面积、最大高度等各类最值问题. 二次函数的三种表达形式中,哪种表达式求最值最快？ 顶点式求最值最方便 如何从几何图形或实际生活问题中建立二次函数模型,并利用二次函数的性质求出面积的最大值？ 问题构建 问题1:画出一个四个顶点都落在三角形三条边上的矩形.你能画出几种不同位置的矩形？请在草稿纸上独立尝试,然后和同桌交流你们的画法有什么不同. 追问:观察周围同学画出的矩形,它们的顶点在三角形边上的分布规律有什么区别？你能根据顶点的位置特征,把这些矩形分成两类吗？请分别描述每一类矩形的顶点在三条边上的分布情况 问题构建 本质区别是直角顶点处是否存在矩形的顶点. 第一类:1个顶点与直角顶点B重合,2个顶点分别在两条直角边上,1个顶点在斜边上. 第二类:2个顶点在斜边AC上,另外2个顶点分别在两条直角边AB、BC上. 问题2:依据几何分类研究的特点,现在我们聚焦第一类图形进行研究,观察下面的动画,说说你准备从哪个角度研究矩形？ ①可以研究矩形某条边的长度,周长,面积类的问题. ②也可以研究以上问题与原三角形对应量之间的关系问题. 问题构建 追问1:我们不妨设DE=cm,你能用含的代数式表示边BE或DF的长度吗？你可能会用到哪个知识？ 要用到三角形相似的知识. 易证△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得： ∵DE=AB=3,BC=4 ∴AE= ∴DF=BE=AB-AE=3- 追问2:你能根据上面的计算尝试表示出矩形的周长吗？ = 问题构建 追问3:随着DE的长度变化,矩形周长发生怎样的变化？ 矩形周长的值随着DE长度的值增大而增大,它们符合一次函数关系 追问4:周长可以无限大吗？原因是什么？ 不可以无限大,因为自变量DE的长有范围, 追问5:周长的问题大家顺利解决,相信面积问题一定难不住大家？请你用含的代数式表示面积. = 追问6:显然我们可以尝试去研究矩形面积的最大值,你会想到哪个知识？ 配方成顶点式或借助顶点坐标公式 问题构建 = = = 当时，矩形最大面积为3 此时DE=2，且满足自变量取值范围 追问7:类比刚才的研究经验，你能独立完成第二种类型的最大面积的研究吗？ 问题构建 解:如图，过点B作BN⊥AC交DE于M,AC于N 在Rt△ABC中，AC== ∵AB·BC=AC·BN ∴BN= 设DE=，△BDE∽△BAC 对应高之比等于相似比，即 ∴BM=，则EF=DG=MN= S=DE·EF=·( =（0＜） = 当时，S有最大值3，且符合自变量取值范围. 问题构建 问题3:小明研究完问题后,进行了深入的思考,他画出了右侧的图形,你能理解小明表达的意思吗？ 对图形分解之后，类比可得结论应该是一样的 协作破冰 当DE时,矩形最大面积为3 当DE时,S有最大值3 问题4:观察左图中DE和BC的关系，右图中DE与AC的关系，你有怎样的结论？ DE是△ABC的中位线 追问1:再观察两次得到的最大矩形面积，与原三角形面积之间有怎样的数量关系？ 矩形的最大面积都等于原三角形面积的一半. 追问2:研究问题的方法上你有怎样的思考？ 类比探究 协作破冰 问题5:通过刚才对两类矩形的探究，你认为在解决“三角形内接矩形最大面积”这类问题时，最核心的步骤是什么？我们是如何把一个几何最值问题转化为代数问题来解决的？ 核心步骤： ①设自变量表示矩形的一边长； ②利用相似三角形等几何知识表示出另一边长； ③建立面积关于自变量的二次函数模型； ④结合自变量取值范围求二次函数的最值 转化方法：将几何中的长度关系转化为代数中的函数关系，将几何最值问题转化为二次函数的最值问题. 追问:如果把今天的直角三角形换成任意一个三角形，你认为我们今天探究的方法还适用吗？任意三角形的内接矩形的最大面积和原三角形的面积之间有什么关系？请你提出一个猜想 方法仍然适用.猜想：任意三角形的内接矩形的最大面积等于原三角形面积的一半(课后以学习小组进行探究) 教师示范 例2 某建筑物的窗户如图5-9所示（单位：m），它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度之和）为15m.当x等于多少时，窗户的面积最大（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少（结果精确到0.01m²）？ 问题6:窗框的材料总长包括哪些部分？ 半圆的弧长、4条长度为y的竖边、7条长度为x的横边 追问1:半圆的弧长是多少？根据材料总长，我们可以列出什么方程？ 半圆的弧长是xm,所以总长度方程是 7x+4y+x=15 教师示范 追问2:请解这个方程，用x表示出y的长度？ 4y=15-7x- x，所以 y=(15-7x- x)/4 追问3:自变量x的取值范围是什么？为什么？ 因为y必须大于0,所以(15-7x- x)/4>0,即 x<≈1.48.又因为x>0,所以0<x<1.48 追问4:窗户的总面积S由哪两部分组成？分别如何表示？ 由上半部分半圆的面积和下半部分矩形的面积组成.半圆面积是矩形面积是2x×y，所以 S= +2xy 巩固拓展 问题7:通过今天的学习,大家总结一下,利用二次函数解决面积最值问题的一般步骤是什么？ 1.审:审清题意,明确已知量和未知量 2.设:设出合适的自变量x和因变量y 3.找:找出等量关系,用x表示出其他相关的线段长度 4.列:根据面积公式列出y关于x的二次函数表达式 5.求:利用二次函数的性质求出最大值,注意自变量的取值范围 6.答:写出答案,回答实际问题 问题8:在解决这些问题的过程中,我们用到了哪些之前学过的知识？ 相似三角形的性质、勾股定理、二次函数的顶点式求最值、整式的混合运算等知识 S= +2xy = = = 所以当x=≈1.07时,S取得最大值≈4.02m² 当堂检测 1.在一个直角边分别为6cm和8cm的直角三角形内部作一个矩形,矩形的两边分别在两条直角边上,那么这个矩形的最大面积是______ cm 设矩形在6cm直角边上的边长为xcm,则另一条边长为()cm 面积S=x() =-x²+8x =-(x-3)²+12 当x=3时,S最大为12cm² 当堂检测 2.某小区要在一块靠墙的空地上修建一个矩形花园,墙长为 15m,现有30m长的篱笆.设矩形花园垂直于墙的一边长为xm,面积为ym² （1）求y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围；（2）当x取何值时,花园的面积最大？最大面积是多少？ 解:（1）矩形花园平行于墙的一边长为(30-2x)m， 所以y=x(30-2x)=-2x²+30x 自变量x的取值范围：7.5≤x<15 （2）y=-2x²+30x=-2(x-7.5)²+112.5 因为a=-2<0,抛物线开口向下,对称轴为x=7.5， 在7.5≤x<15范围内,y随x的增大而减小 所以当x=7.5时,y取得最大值,最大值是112.5m² 答：当x=7.5m时,花园的面积最大,最大面积是112.5m². 当堂检测 3.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元.设矩形的一边长为xm,面积为Sm² （1）求S与x之间的函数表达式； （2）当x取何值时,广告牌的面积最大？此时的设计费是多少元？ 解:（1）矩形的另一边长为(6-x)m， 所以S=x(6-x)=-x²+6x 自变量x的取值范围是0<x<6 （2）S=-x²+6x=-(x-3)²+9 因为a=-1<0,所以当x=3时,S取得最大值,最大值是9m². 此时的设计费是9×1000=9000元 答：当x=3m时,广告牌的面积最大,此时的设计费是9000元. 反思总结 1.本节课我们学习了利用二次函数解决哪几类面积最值问题？解决这些问题最关键的一步是什么？ 2.在建立二次函数模型时,为什么必须考虑自变量的取值范围？如果忽略了取值范围,可能会出现什么错误？ 3.通过对比直角三角形内矩形两种放置方式的最大面积,你对数学问题的多样性和统一性有什么新的认识？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第143页 第1题 二、素养类作业 课本第145页 第4题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $