第1讲 小数乘法的巧算与速算（奥数讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

奥数培优讲义 第1讲 小数乘法的巧算与速算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）乘法运算定律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示：a×b＝b×a。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示：(a×b)×c＝a×(b×c)。 3. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示：(a＋b)×c＝a×c＋b×c。反过来，a×c＋b×c＝(a＋b)×c，这正是“提取公因数”的依据。 （二）常用的“凑整”特殊数对 1. 2×5＝10，2.5×4＝10，25×4＝100，0.25×4＝1。 2. 8×125＝1000，0.8×12.5＝10，0.125×8＝1，1.25×8＝10。 3. 规律：25 与 4、125 与 8 是“黄金搭档”，只要小数点位置合适，相乘就能得到 1、10、100 等整数，最适合用来“凑整”。 （三）积不变的规律 两个数相乘，一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数同时缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。例如：0.25×3.6＝2.5×0.36（0.25 扩大 10 倍变成 2.5，3.6 缩小 10 倍变成 0.36）。 应用：计算中常利用这一规律，把两个算式改写成含有相同因数的形式，便于提取公因数。 （四）常用的巧算方法 1. 凑整法：把接近整十、整百、整千的数拆成“整十（百、千）数±几”的形式，再用乘法分配律。例如 9.9＝10－0.1，10.1＝10＋0.1。 2. 拆分法：把一个数拆成两个数的乘积，使其中一个数与特殊数相乘能凑整。例如 8.8＝8×1.1，32＝8×4，2.4＝0.3×8。 3. 提取公因数法：利用乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c＝(a＋b)×c，把相同的因数提取出来，使计算简便。 （五）速算步骤建议 1. 先观察算式结构，判断适合哪种运算定律或巧算方法； 2. 能凑整的先交换、结合“凑整”； 3. 有相同因数的先提取公因数； 4. 按整数乘法算出结果，再根据因数中小数的位数确定小数点位置。 例题讲解 【典型例题1】计算：0.25×0.125×4×8。 【跟踪训练1】计算：0.125×2.5×32。 【典型例题2】计算：1.25×8.8。 【跟踪训练2】计算：2.5×4.4。 【典型例题3】计算：9.9×6.4。 【跟踪训练3】计算：10.1×3.5。 【典型例题4】计算：7.8×3.2＋7.8×6.8。 【跟踪训练4】计算：0.6×12.5＋0.6×7.5。 【典型例题5】计算：0.25×3.6＋2.5×0.64。 【跟踪训练5】计算：0.125×3.5＋12.5×0.065。 【典型例题6】计算：2.4×1.25。 【跟踪训练6】计算：4.8×2.5。 提升练习 1. 计算：0.25×3.6。 2. 计算：1.25×0.88。 3. 计算：0.125×32。 4. 计算：2.5×1.6。 5. 计算：9.8×5.6。 6. 计算：10.1×7.2。 7. 计算：3.2×0.25。 8. 计算：4.8×1.25。 9. 计算：2.4×12.5。 10. 计算：7.6×9.9。 11. 计算：5.6×1.01。 12. 计算：0.125×2.5×3.2。 13. 计算：0.25×4.4×0.125×8。 14. 计算：3.5×4.6＋3.5×5.4。 15. 计算：2.6×7.8＋2.6×2.2。 16. 计算：4.6×3.2＋0.46×68。 17. 计算：1.25×3.6＋12.5×0.64。 18. 计算：0.7×1.9＋0.7×8.1。 19. 计算：2.5×3.7＋2.5×2.7＋2.5×3.6。 20. 计算：0.36×99＋0.36。 模拟赛场 【奥数题1】计算：0.125×0.25×0.5×64。 【奥数题2】计算：3.14×6.5＋31.4×0.35。 【奥数题3】 计算：1.25×5.6＋12.5×0.24＋0.125×2。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第1讲 小数乘法的巧算与速算 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 （一）乘法运算定律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示：a×b＝b×a。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示：(a×b)×c＝a×(b×c)。 3. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示：(a＋b)×c＝a×c＋b×c。反过来，a×c＋b×c＝(a＋b)×c，这正是“提取公因数”的依据。 （二）常用的“凑整”特殊数对 1. 2×5＝10，2.5×4＝10，25×4＝100，0.25×4＝1。 2. 8×125＝1000，0.8×12.5＝10，0.125×8＝1，1.25×8＝10。 3. 规律：25 与 4、125 与 8 是“黄金搭档”，只要小数点位置合适，相乘就能得到 1、10、100 等整数，最适合用来“凑整”。 （三）积不变的规律 两个数相乘，一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数同时缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。例如：0.25×3.6＝2.5×0.36（0.25 扩大 10 倍变成 2.5，3.6 缩小 10 倍变成 0.36）。 应用：计算中常利用这一规律，把两个算式改写成含有相同因数的形式，便于提取公因数。 （四）常用的巧算方法 1. 凑整法：把接近整十、整百、整千的数拆成“整十（百、千）数±几”的形式，再用乘法分配律。例如 9.9＝10－0.1，10.1＝10＋0.1。 2. 拆分法：把一个数拆成两个数的乘积，使其中一个数与特殊数相乘能凑整。例如 8.8＝8×1.1，32＝8×4，2.4＝0.3×8。 3. 提取公因数法：利用乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c＝(a＋b)×c，把相同的因数提取出来，使计算简便。 （五）速算步骤建议 1. 先观察算式结构，判断适合哪种运算定律或巧算方法； 2. 能凑整的先交换、结合“凑整”； 3. 有相同因数的先提取公因数； 4. 按整数乘法算出结果，再根据因数中小数的位数确定小数点位置。 例题讲解 【典型例题1】计算：0.25×0.125×4×8。 【详解】观察发现 0.25×4＝1，0.125×8＝1，先利用乘法交换律、结合律把它们两两结合再相乘。 原式＝(0.25×4)×(0.125×8)＝1×1＝1。 【答案】1。 【跟踪训练1】计算：0.125×2.5×32。 【详解】把 32 拆成 8×4，再分别与 0.125、2.5 结合凑整。 原式＝0.125×8×2.5×4＝(0.125×8)×(2.5×4)＝1×10＝10。 【答案】10。 【典型例题2】计算：1.25×8.8。 【详解】把 8.8 拆成 8＋0.8，利用乘法分配律展开。 原式＝1.25×8＋1.25×0.8＝10＋1＝11。 【答案】11。 【跟踪训练2】计算：2.5×4.4。 【详解】把 4.4 拆成 4＋0.4，利用乘法分配律展开。 原式＝2.5×4＋2.5×0.4＝10＋1＝11。 【答案】11。 【典型例题3】计算：9.9×6.4。 【详解】9.9 接近 10，写成 9.9＝10－0.1，再用乘法分配律。 原式＝(10－0.1)×6.4＝10×6.4－0.1×6.4＝64－0.64＝63.36。 【答案】63.36。 【跟踪训练3】计算：10.1×3.5。 【详解】10.1＝10＋0.1，用乘法分配律展开。 原式＝10×3.5＋0.1×3.5＝35＋0.35＝35.35。 【答案】35.35。 【典型例题4】计算：7.8×3.2＋7.8×6.8。 【详解】两个乘法式子中都有相同因数 7.8，用乘法分配律的逆运算（提取公因数）。 原式＝7.8×(3.2＋6.8)＝7.8×10＝78。 【答案】78。 【跟踪训练4】计算：0.6×12.5＋0.6×7.5。 【详解】两个式子中都有相同因数 0.6，提取公因数。 原式＝0.6×(12.5＋7.5)＝0.6×20＝12。 【答案】12。 【典型例题5】计算：0.25×3.6＋2.5×0.64。 【详解】先利用积不变的规律，把 0.25×3.6 改写成 2.5×0.36，使两个式子含有相同的因数 2.5，再提取公因数。 原式＝2.5×0.36＋2.5×0.64＝2.5×(0.36＋0.64)＝2.5×1＝2.5。 【答案】2.5。 【跟踪训练5】计算：0.125×3.5＋12.5×0.065。 【详解】把 12.5×0.065 改写成 0.125×6.5（12.5 缩小 100 倍，0.065 扩大 100 倍），使公因数都是 0.125。 原式＝0.125×3.5＋0.125×6.5＝0.125×(3.5＋6.5)＝0.125×10＝1.25。 【答案】1.25。 【典型例题6】计算：2.4×1.25。 【详解】把 2.4 拆成 0.3×8，8 与 1.25 相乘凑整。 原式＝0.3×8×1.25＝0.3×(8×1.25)＝0.3×10＝3。 【答案】3。 【跟踪训练6】计算：4.8×2.5。 【详解】把 4.8 拆成 1.2×4，4 与 2.5 相乘凑整。 原式＝1.2×4×2.5＝1.2×(4×2.5)＝1.2×10＝12。 【答案】12。 提升练习 1. 计算：0.25×3.6。 【详解】把 3.6 拆成 4×0.9，先算 0.25×4 凑整。 原式＝0.25×4×0.9＝1×0.9＝0.9。 【答案】0.9。 2. 计算：1.25×0.88。 【详解】把 0.88 拆成 0.8＋0.08，利用乘法分配律展开。 原式＝1.25×0.8＋1.25×0.08＝1＋0.1＝1.1。 【答案】1.1。 3. 计算：0.125×32。 【详解】把 32 拆成 8×4，先算 0.125×8 凑整。 原式＝0.125×8×4＝1×4＝4。 【答案】4。 4. 计算：2.5×1.6。 【详解】把 1.6 拆成 4×0.4，先算 2.5×4 凑整。 原式＝2.5×4×0.4＝10×0.4＝4。 【答案】4。 5. 计算：9.8×5.6。 【详解】9.8 接近 10，写成 9.8＝10－0.2，用乘法分配律。 原式＝(10－0.2)×5.6＝10×5.6－0.2×5.6＝56－1.12＝54.88。 【答案】54.88。 6. 计算：10.1×7.2。 【详解】10.1＝10＋0.1，用乘法分配律展开。 原式＝10×7.2＋0.1×7.2＝72＋0.72＝72.72。 【答案】72.72。 7. 计算：3.2×0.25。 【详解】把 3.2 拆成 0.8×4，先算 4×0.25 凑整。 原式＝0.8×4×0.25＝0.8×(4×0.25)＝0.8×1＝0.8。 【答案】0.8。 8. 计算：4.8×1.25。 【详解】把 4.8 拆成 0.6×8，先算 8×1.25 凑整。 原式＝0.6×8×1.25＝0.6×10＝6。 【答案】6。 9. 计算：2.4×12.5。 【详解】把 2.4 拆成 0.3×8，先算 8×12.5 凑整。 原式＝0.3×8×12.5＝0.3×100＝30。 【答案】30。 10. 计算：7.6×9.9。 【详解】9.9 接近 10，写成 9.9＝10－0.1，用乘法分配律。 原式＝7.6×10－7.6×0.1＝76－0.76＝75.24。 【答案】75.24。 11. 计算：5.6×1.01。 【详解】1.01＝1＋0.01，用乘法分配律展开。 原式＝5.6×1＋5.6×0.01＝5.6＋0.056＝5.656。 【答案】5.656。 12. 计算：0.125×2.5×3.2。 【详解】把 3.2 拆成 8×0.4，分别凑整：0.125×8、2.5×0.4。 原式＝0.125×8×2.5×0.4＝(0.125×8)×(2.5×0.4)＝1×1＝1。 【答案】1。 13. 计算：0.25×4.4×0.125×8。 【详解】0.125×8＝1；0.25×4.4＝0.25×4×1.1＝1.1，再相乘。 原式＝0.25×4×1.1×1＝1×1.1×1＝1.1。 【答案】1.1。 14. 计算：3.5×4.6＋3.5×5.4。 【详解】两个式子都有相同因数 3.5，提取公因数。 原式＝3.5×(4.6＋5.4)＝3.5×10＝35。 【答案】35。 15. 计算：2.6×7.8＋2.6×2.2。 【详解】两个式子都有相同因数 2.6，提取公因数。 原式＝2.6×(7.8＋2.2)＝2.6×10＝26。 【答案】26。 16. 计算：4.6×3.2＋0.46×68。 【详解】利用积不变的规律，0.46×68＝4.6×6.8，使公因数都是 4.6。 原式＝4.6×3.2＋4.6×6.8＝4.6×(3.2＋6.8)＝4.6×10＝46。 【答案】46。 17. 计算：1.25×3.6＋12.5×0.64。 【详解】利用积不变的规律，12.5×0.64＝1.25×6.4，使公因数都是 1.25。 原式＝1.25×3.6＋1.25×6.4＝1.25×(3.6＋6.4)＝1.25×10＝12.5。 【答案】12.5。 18. 计算：0.7×1.9＋0.7×8.1。 【详解】两个式子都有相同因数 0.7，提取公因数。 原式＝0.7×(1.9＋8.1)＝0.7×10＝7。 【答案】7。 19. 计算：2.5×3.7＋2.5×2.7＋2.5×3.6。 【详解】三个式子都有相同因数 2.5，提取公因数。 原式＝2.5×(3.7＋2.7＋3.6)＝2.5×10＝25。 【答案】25。 20. 计算：0.36×99＋0.36。 【详解】把 0.36 看作 0.36×1，提取公因数 0.36。 原式＝0.36×(99＋1)＝0.36×100＝36。 【答案】36。 模拟赛场 【奥数题1】计算：0.125×0.25×0.5×64。 【详解】把 64 拆成 8×4×2，分别与 0.125、0.25、0.5 两两凑整。 原式＝(0.125×8)×(0.25×4)×(0.5×2)＝1×1×1＝1。 【答案】1。 【奥数题2】计算：3.14×6.5＋31.4×0.35。 【详解】利用积不变的规律，31.4×0.35＝3.14×3.5，使公因数都是 3.14。 原式＝3.14×6.5＋3.14×3.5＝3.14×(6.5＋3.5)＝3.14×10＝31.4。 【答案】31.4。 【奥数题3】 计算：1.25×5.6＋12.5×0.24＋0.125×2。 【详解】把各项都化成含有公因数 1.25 的形式：12.5×0.24＝1.25×2.4，0.125×2＝1.25×0.2，再提取公因数。 原式＝1.25×(5.6＋2.4＋0.2)＝1.25×8.2＝10.25。 【答案】10.25。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $