专题突破01 指数函数、对数函数四大性质的综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题突破01 指数函数、对数函数四大性质的综合应用 第一部分 必备知识 1.指、对函数： （1）,当时，单调递减；当时，单调递增.定义域;值域. （2）,当时，单调递减；当时，单调递增. 定义域;值域. 2.复合函数的单调性：同增异减 y 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 3.分段函数： （1）单调递增：分段函数的每一段都是单调递增且后面一段的最小值大于等于前面一段的最大值. （2）单调递减：分段函数的每一段都是单调递减且后面一段的最大值小于等于前面一段的最小值. 4.存在性和恒成立： （1），对,都有，则的值域是值域的子集. （2）,使，则; ,使，则 （3）,使，则; ,使，则 第二部分 典型例题剖析 重点题型一：指数（型）函数的值域（最值） 例题1．定义：设函数 的定义域为 ，如果存在 ，使得 在 上的值域恰为 ，则称 在 上为“等域函数”．若定义域为 的函数 在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：当 时，函数 在 上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在 （）使得 ，所以 ，消去 ，得 ．令 ，则 ，当 时，，所以 在 上是单调增函数，符合条件的 不存在． 当 时，函数 在 上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在 （）使得 ，，即方程 在 上有两个不等实根，即 在 上有两个不等实根．设函数 （），则 ，当 时，；当 时，，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值，也是最大值 ，又 ，，因为 ，故 ，即 ．故选：C． 例题2．若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：因为 （），所以 的定义域为 ．当 时，，则 ；要使定义域和值域的交集为空集，显然需 ． 当 时，，若 ，则 ，而 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，故 ．此时 在 上单调递减，，则 ，要使交集为空集，需 ，即 ，解得 或 ，结合 ，得 ．故选：A． 例题3．已知函数 ，，若存在实数 使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因函数 的值域是 ，于是得函数 的值域是 ．因存在实数 使得 ，则 ，因此 ，即 ，解得 ，所以 的取值范围是 ．故选：B． 例题4．设不等式 对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是_______． 【答案】 【解析】解：由 ，得 ，即 ．∵ ，∴ ，则 关于 单调递增，其取值范围为 ，∴ ，则 ，即 ．故答案为：． 例题4．已知 ，，若对 ，，，则实数 的取值范围是_________. 【答案】 【解析】解：因为对 ，，，所以只需 即可．因为 ，，所以 ， 在 上单调递减，，由 ，解得 ．故答案为：． 例题5．已知函数 为偶函数． （1）求 的值； （2）对任意 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】（1）解：因为函数 为偶函数，所以 ．而 ，所以 ，即 ，解得 ，即 的值为 1． （2）解：由（1）知，，则 ．因为对任意 ，存在 使得 成立，所以 ．设 ，则 ，∵ ，∴ ，根据对勾函数的性质， 在 上单调递增，即 ，所以 在 上有解，即 在 上有解，即 ．设 ，因为 ，且 在 上单调递增，所以 的值域为 ，所以 ，即 ． 同类题型即时练 1．已知 ，则函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：函数 是 上的偶函数．因 ，即函数 在 上单调递增，而 ，令 ，则 ，因此原函数化为 ．显然 的图象开口向上且对称轴 ，故其在 上单调递增，则当 时，，所以函数 的值域为 ．故选：A． 2．函数 （）的最大值为_________． 【答案】9 【解析】解：设 ，因为 ，所以当 时， 有最大值 ；当 时， 有最小值 ，即 ．所以 ，即 的取值范围是 ，所以函数的最大值为 ．故答案为：9. 3．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】解：令 ，当 时，，则 在 上恒成立，即函数在 上的图象在 轴上方．判别式 ，故 ，解得 ； 或 ，即 ，解得 ，综上 ．故答案为：． 4．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是_____． 【答案】 【解析】解：设 ，若函数 的值域为 ，则等价于 是 值域的子集，即 在 的取值范围内．因为 ，设 ，则 ，则 （）． 因为 ，若 ，即 时， 在 上无零点，不满足条件．当 ，即 时，需判别式 ，即 ，则 ，即实数 的取值范围是 ．故答案为：． 5．已知函数 是 上的奇函数，且 ． （1）求实数 的值，并求 的值域； （2）函数 满足 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值． 【答案】(1) ，，值域为 ；(2) ． 【解析】（1）解：由 是 上的奇函数，那么 ，则 ．由 可得，，解得 ，所以 ，又 ，则 ，所以 的值域为 ． （2）解：当 时，，所以 ，由 得：，即 ，即 在 上恒成立． 先证 在 上单调递增：任取 ，且 ，则 ，∵ ，∴ ，，，∴ ，即 ，∴ 在 上单调递增． 当 时，，所以 ，而 在 上单调递增，故 ，因此 ，所以 的最大值为 ． 6．定义在 上的函数 ，如果满足：存在常数 ，对任意 ，都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界． （1）证明： 在 上是有界函数； （2）若函数 在 上是以 3 为上界的有界函数，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 证明见解析；(2) ． 【解析】（1）证明：，当 时，，则 在 上是严格增函数，故 ，即 ，故 ，即 在 上是有界函数． （2）解：因为 在 上是以 3 为上界的有界函数，所以 在 上恒成立．令 ，由 得 ，且 ，所以 在 时恒成立，即 在 时恒成立． 函数 在 上严格递减，所以 ，∴ ；函数 ，而 在 上严格递减，其最大值为 ，所以 ，∴ ．所以实数 的取值范围是 ． 7．已知函数 ． （1）当 时，求方程 的解； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】（1）解：当 时，由 ，可得 ，设 ，则 ，即 ，所以 或 （舍去），即 ，解得 ．故方程 的解为 ． （2）解：由题意知 在 上恒成立，即 在 上恒成立．又因为 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 ，且当 时其趋于 2（取不到），所以 ，即 的取值范围是 ． 8．设函数 ，． （1）求函数 的值域； （2）设函数 ，若对 ，，，求正实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】（1）解：∵ ，又 ，，∴ ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 ，即函数 的值域为 ． （2）解：∵ ，设 ，因为 ，所以 ，函数 在 上单调递增，故在 上单调递增，∴ ，即 （）．设 时，函数 的值域为 ．由题意知 ． ∵函数 图象的对称轴为 ，当 ，即 时，函数 在 上递增，则 ，即 ，∴ ；当 ，即 时，函数 在 上的最大值为 ， 中的较大者，而 ，，不合题意；当 ，即 时，函数 在 上递减，则 ，即 ，满足条件的 不存在，综上，． 重点题型二：指数（型）函数的单调性 例题1．已知函数 ，满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵ 满足对任意 ，都有 成立， ∴ 在 上是减函数， ∴ ，解得 ， ∴ 的取值范围是 ． 故选：C． 例题2．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵ 在 上单调递增， ∴ 抛物线开口向下，对称轴 ，需 ； 且在分界点处应满足 ，即 ，解得 ． 综上，． 故选：B． 例题3．已知函数 ，对于任意两个不相等实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题可得，函数 为单调递减函数． 当 时，若 单减，则对称轴 ，得 ； 当 时，若 单减，则 ； 在分界点处，应满足 ，即 ， 综上：． 故选：B． 例题4．已知定义在 上的函数 是偶函数． （1）求 的值； （2）判断函数 在 上的单调性并证明； （3）解不等式：． 【答案】（1）；（2）单调递减，理由见解析；（3）． 【解析】（1）解：依题意，，因 是 上的偶函数，即 ，， 因此，对 ，，整理得 ， 而当 时，，于是得 ， 所以 的值是 1． （2）由（1）知，，函数 在 上单调递减，证明如下： 任取 且 ，则 ， 因 ，则 ，且 （等号仅当 时取得，此处不成立），故 ，，因此 ，即 ， 所以函数 在 上单调递减． （3）依题意，，而 ，故由偶函数得 ， 于是 ， 由（2）知 在 上单调递减，且 ，，故 ，即 ，解得 ， 所以原不等式的解集是 ． 同类题型即时练 1．已知 且 ，函数 满足对任意实数 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　） A．(0,1) B．(1,2] C． D． 【答案】B 【解析】解：因为 对任意实数 ，都有 成立， 所以 在 上为增函数， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ， 故选：B． 2．已知函数 ，若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：因函数 在 上是减函数， 则函数 在 上单调递减，故 ； 并且在分界点处有 ，于是得 ，即 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 故选：D． 3．若函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围为（　　） A．(1,12) B． C．[4,8] D． 【答案】D 【解析】解：分段函数 在 上为单调递增函数， 需满足在各段内单调的基础上，还得满足在临界点上左边界的值不大于右边界的值： 由 在 上递增，得 ； 由 在 上递增，得 ，即 ； 在临界点处应满足 ，即 ，解得 ， 综上，解得 ， 故选：D． 4．已知函数 满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围为（　　） A． B．(0,1) C． D．(0,2) 【答案】A 【解析】解：因对任意 ，都有 成立，不妨令 ，则 ，故 ，即 ，于是可得 为 上的减函数． 则函数 在 上是减函数，有 ； 函数 在 上是减函数，有 ，即 ； 并且在分界点处应满足 ，即 ，解得 ， 综上得 ， 所以 的取值范围为 ． 故选：A． 5．已知函数 为奇函数． （1）求实数 的值； （2）判断并证明 在 上的单调性； （3）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）． 【解析】（1）解：因为函数 为奇函数，且 ， 则 ，由 ，得 ， 所以， 对任意的 恒成立，而 ，所以 ，可得 ． （2）证明：由（1）可知，，函数 在 上为增函数，证明如下： 任取 且 ，则 ， 所以，， 所以，，故函数 在 上为增函数． （3）解：由 可得 ， 又 在 上为增函数，所以 ，即 对任意的 恒成立． 当 时，则有 ，合乎题意； 当 时，则有 ，解得 ． 综上所述，实数 的取值范围是 ． 6．已知函数 是定义域为 的奇函数． （1）求实数 的值，并证明 在 上单调递增； （2）已知 且 ，若对于任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1），证明见解析；（2）． 【解析】（1）解：因为函数 是定义域为 的奇函数， 则 ，解得 ，此时 ， 对任意的 ，，即函数 的定义域为 ， 且 ，即函数 为奇函数，合乎题意． 任取 且 ，则 ， 所以，，则 ， 所以，函数 在 上单调递增． （2）解：由（1）可知，函数 在 上为增函数， 对于任意的 ，都有 ，则只需 ，而 ， ∴ ， 因为 ，则 ． 当 时，则有 ，解得 ； 当 时，则有 ，此时 ． 综上所述，实数 的取值范围是 ． 7．已知函数 是奇函数． （1）求实数 的值，并说明函数 的单调性（不证明）； （2）若对任意的实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）解：因为函数 是奇函数， 所以 ，解得 ，经检验符合题意； 此时 ． 因为 在 上是增函数， 在 上是减函数，所以 在 上是增函数． （2）因为对任意的实数 ，不等式 恒成立， 所以对任意的实数 ，不等式 恒成立， 又 在 上是增函数， 所以对任意的实数 ， 恒成立， 即对任意的实数 ， 恒成立． 令 ，当 时， 取得最小值 ， 所以 ， 实数 的取值范围是 ． 重点题型三：指数型函数的奇偶性 例题1．已知函数 的图象经过点 。 (1) 求 a 的值； (2) 求函数 的定义域和值域； (3) 判断函数 的奇偶性并证明． 【答案】(1) ；(2) 的定义域为 ，值域为 ；(3) 奇函数，证明见详解． 【解析】(1) 依题意，函数 的图象过点 ，则有 ，解得 ，所以 a 的值是 1． (2) 由 (1) 知，，因 ，故 ，所以 的定义域为 ；而 ，所以 的值域为 ． (3) 函数 是 上的奇函数．因为 的定义域为 ，且 ，所以 是奇函数． 例题2．已知定义在 上的奇函数 ，当 时，函数解析式为 ． (1) 求 a 的值，并求出 在 上的解析式； (2) 若对任意的 ，总有 ，求实数 t 的取值范围． 【答案】(1) ，；(2) ． 【解析】(1) 根据题意， 是定义在 上的奇函数，则有 ，当 时，，则 ，解得 ，即当 时，． 设 ，则 ，则 ，又 为奇函数，所以 ．综上，． (2) 由 (1)，当 时，，设 ，则 ，原函数可化为 ，其图象开口向下，对称轴为 ，在 上函数值先增后减，又 ，故 在 上恒成立，且其下确界为 0（当 时取得）．要使 在 上恒成立，只需 ，解得 ，所以 t 的取值范围为 ． 例题3．已知定义域为 的函数 是奇函数． (1) 求 的解析式； (2) 若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】(1) 因为函数 为奇函数，所以 ，即 ，解得 ，经检验，此时 恒成立，故 ． (2) 因为 ，而 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，且为奇函数．由 ，得 ，因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，故实数 m 的取值范围 ． 同类题型即时练 1．已知 是定义在 上的奇函数，当 时，（）． (1) 求函数 在 上的解析式； (2) 若 ， 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】(1) 解：由题意知 ，即 ，解得 ，所以当 时，． 当 时，则 ，所以 ．又 为奇函数，所以 ，故当 时，．综上：． (2) 解：由 ，得 ，因为 是奇函数，所以 ． 当 时， 单调递增，又 是定义在 上的奇函数，所以 在 上单调递增．可得 ， 恒成立，即 恒成立，故 ，解得 ，所以 ． 2．已知函数 是定义在 上的奇函数． (1) 求实数 a 的值； (2) 求不等式 的解集； (3) 若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ；(3) ． 【解析】(1) 因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 （经检验， 符合题意）． (2) 由 (1) 得 ，因为 与 在 上均为增函数，所以 在 上为增函数，又 ，所以不等式 可化为 ，所以 ，即 ，由 得 ，即 ，所以不等式的解集是 ． (3) 因为关于 x 的不等式 恒成立，即 恒成立，两边同乘 ，得 恒成立，所以 恒成立．设 ，则 ，其对称轴为 ，当 即 时，取得最小值 ，所以 ，即实数 k 的取值范围是 ． 3．已知 （ 且 ）是 上的奇函数，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 若不等式 对 恒成立，求 m 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解析】(1) 因为 是 上的奇函数，所以 ，即 ，得 ；又 ，即 ，解得 ，所以 ．经检验成立． (2) 因为 ，所以 在 上单调递增，又 为 上的奇函数，由 ，得 ，所以 ，即 对 恒成立． 当 时，不等式为 ，不能对一切 恒成立，故 不满足题意；当 时，要满足题意，需 且 ，即 ，解得 ，所以实数 m 的取值范围为 ． 重点题型四：对数（型）函数的定义域 例题1．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．(0,3) B． C．(0,3] D． 【答案】 【解析】解：由题意知 对任意 恒成立． 当 时，，满足条件； 当 时，应有 ，且二次函数 的判别式小于 0，即 ， 解得 ．综上，实数 的取值范围是 ．故选：A． 例题2．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为______． 【答案】 【解析】解：函数 的定义域为 ，等价于对于任意的实数 ， 恒成立． 当 时， 恒成立，满足条件； 当 时，等价于 且 ，即 ，解得 ． 综上可得，实数 的取值范围是 ．故答案为：． 同类题型即时练 1．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：∵函数 的定义域为 ， ∴ 且 ， 即 ，且 ． 令 ，则 ，∴ ； 又 ，∴ ． ∴实数 的取值范围是 ．故选：A． 2．函数 的定义域是（　　） A．[-1,5] B．(-1,5) C． D． 【答案】 【解析】解：由 ，即 ， 解得 或 ，故定义域为 ．故选：D． 3．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是______． 【答案】 或 ． 【解析】解：∵ 的定义域为 ， ∴ 恒成立． 当 ，即 或 ： 若 ，不等式等价为 ，此时 ，不恒成立，不满足条件； 若 ，不等式等价为 ，恒成立，满足条件． 当 时，要使不等式恒成立，则 且 ， 即 或 ，且 ，解得 或 ， 综上可知，实数 的取值范围是 或 ． 故答案为： 或 ． 重点题型五：对数（型）函数的值域（最值） 例题1．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于任意，存在有等价于。 由，函数单调递增，可得。 由，，对称轴为，故当时，取得最小值。 由，解得。故选：B。 例题2．已知函数的值域为 R，那么实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数是增函数，当时，，故当时，的值域为。 因函数的值域为 R，因此当时，函数须取尽一切负数。 当，即时，，不符合题意；当时，，也不符合题意；当时，为增函数，由可得。 则需，即，解得。 所以实数 a 的取值范围是。故选：C。 例题3．若函数的最小值是 1，则实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，且。 因为函数的最小值是 1，所以当时，。 因为的对称轴为，且，所以须，且，即，所以。 故实数 a 的取值范围是。故选：B。 例题4．若函数的最大值为 0，则实数 a 的值为___________。 【答案】 【解析】因为的最大值为 0，所以应有最小值 1，因此应有，由得，解得。 故答案为：。 例题5．若函数（），则函数的值域为___________。 【答案】 【解析】由已知函数的定义域为。 又，定义域需满足，得，故。 令（），因为，所以，。 利用二次函数的性质知，函数的值域为。 故答案为：。 例题6．已知幂函数为偶函数。 （1）求函数 f(x) 的解析式； （2）若函数的定义域为，求函数 g(x) 的值域。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由为幂函数，得，即，解得或。 当时，，为偶函数，符合题意；当时，，为奇函数，不合题意，舍去。 所以。 （2）由（1）知，，则的解集为， 即和 3 是方程的两根，由韦达定理可知，。 所以，即函数 g(x) 的值域为。 同类题型即时练 1．已知函数的值域为 R，那么实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数是增函数，当时，，故当时，的值域为。 因函数的值域为 R，因此当时，函数须取尽一切负数。 当，即时，，不符合题意；当时，，也不符合题意；当时，为增函数，由可得。 从而有，解得。 所以实数 a 的取值范围是。故选：D。 2．若函数有最小值，则 a 的取值范围为______。 【答案】 【解析】当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，应有，由得；又，当时，，即恒成立，所以。 当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数，则须，即，解得。 综上所述，实数 a 的取值范围是。 故答案为：。 3．已知函数的值域是 R，则实数 a 的最大值是___________。 【答案】 【解析】当时，。 因为的值域为 R，则当时，。 当时，，故在上单调递增。 ∴，解得，即 a 的最大值为 4。 故答案为：4。 4．已知函数（，）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_________。 【答案】 【解析】因为的值域为 R， 设，则 t 可以取遍中任意一个数。 当时，，当且仅当时取等号，故的最小值为，须，解得。 又，所以 a 的取值为。 故答案为：。 5．已知，，求的最大值及相应的 x。 【答案】时，最大值为 【解析】函数的定义域满足，即。 设（），由在区间上是增函数，得。 从而求的最大值，只需求在区间上的最大值即可。 因为在上是增函数，所以当，即时，。 综上可知，当时，的最大值为。 6．已知函数。 （1）判断函数 f(x) 的奇偶性，并证明； （2）设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数 m 的取值范围。 【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2） 【解析】（1）f(x) 为偶函数。证明：∵，故，解得。 ∴ f(x) 的定义域为，关于原点对称。 ∵，∴ f(x) 为偶函数。 （2）若对任意的，总存在，使得成立，则。 ∵，又，当且仅当，即时取等号， 所以，故。 当时，在上的最大值为，得；当时，在上的最大值为，得。 ∴ 所求实数 m 的取值范围为。 7．已知函数，其定义域为。 （1）求实数 m，n 的值； （2）若函数 f(x) 的最小值为 -2，求 a 的值。 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）由题意，不等式的解集是，即 -4 和 2 是方程的两实根。 ∴，，即，。 （2）由于，。 令，则。 ∵时，在上无最小值，∴。 ∵时，在上是减函数，∴的最小值为。 又的最小值为 -2，则，即，解得。 故若函数 f(x) 的最小值为 -2，则。 8．已知函数（，），。 （1）求实数 a 的值； （2），。求 g(x) 的最小值、最大值及对应的 x 的值。 【答案】（1）；（2）时，；时，。 【解析】（1）因为，则，所以。 （2）由题设，。 令且，故，则。 当时，g(x) 取最小值，此时； 当时，g(x) 取最大值，此时。 9．已知函数。 （1）当时，求该函数的值域； （2）若，对于恒成立，求实数 m 的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）令，，则，函数转化为，。 则二次函数，。 当时，；当时，。 故当时，函数的值域为。 （2）由于对于上恒成立。 令，，则。 即在上恒成立，所以在上恒成立。 由对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，取得最大值。 故时，原不等式对于恒成立。 重点题型六：对数（型）函数的单调性 例题1．若是定义在R上的增函数，实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是定义在R上的增函数，所以，即，解得， 所以实数a的取值范围是。故选：B。 例题2．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是R上的增函数，所以，解得， 所以实数a的取值范围是。故选：A。 例题3．函数的一个单调增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为。 要求函数的一个单调增区间，只需求的增区间，只需，即。 所以，所以函数的一个单调增区间是。故选：D。 例题4．已知偶函数（其中a>0），且满足。 (1)求f(x)的解析式，并指出其在定义域内的单调性（不需要证明）； (2)解关于x的不等式。 【答案】(1)，f(x)在区间(−3,0)为增函数，在区间(0,3)为减函数　(2) 【解析】(1)解：因为是偶函数，所以，即，所以，所以，则。 又因为，所以，解得，所以。对于函数，有，解得，所以函数的定义域为。 因为内层函数在上为增函数，在上为减函数，而外层函数为增函数，所以在区间上为增函数，在区间上为减函数。 (2)解：因为，所以可化为。又由函数的单调性可知，原不等式等价于（此时），即，解得或， 所以不等式的解集为。 同类题型即时练 1．函数为定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数为定义在R上的单调函数，且在上单调递增，故在上单调递增，即， 且在处，，综上：，解得。故选：B。 2．已知函数在上单调递减，则a的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递减，外层函数为减函数，所以内层函数在上单调递增，且在上恒成立， 所以，即，解得，即a的取值范围是。故选：A。 3．已知函数（a>0，且a≠1）。 (1)求函数f(x)的定义域； (2)是否存在实数a，使函数f(x)在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)　(2) 【解析】(1)由题意可得，即，因为，所以解得。故的定义域为。 (2)假设存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1。设，由，得在区间上为减函数且恒成立。因为在区间上单调递减，所以且，即。 又因为在区间上的最大值为1，所以，整理得，解得。因为，所以满足条件。所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1。 4．已知函数。 (1)用定义证明f(x)是(2,6)上的增函数； (2)求不等式的解集。 【答案】(1)证明见解析　(2) 【解析】(1)证明：取任意，且，有 。 因为，所以，所以。因为，所以，所以。 故，即是上的增函数。 (2)解：（解法一）因为，所以等价于。由(1)可知是上的增函数，则，解得，即不等式的解集是。 （解法二）由题意可得，则等价于。因为在上单调递增，所以，解得，即不等式的解集是。 重点题型七：对数（型）函数的奇偶性 例题1．已知函数，。 (1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明； (2)若函数在上只有一个零点，求实数 a 的取值范围。 【答案】(1)函数为上的偶函数，证明见解析；(2)或 【解析】(1)偶函数，证明如下：函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为上的偶函数。 (2)解：因为函数在上只有一个零点，且由(1)知， 所以关于 x 的方程有唯一的实数解， 即方程有唯一的实数解（由）， 即有唯一的实数解， 令，化简得， 下面研究关于 t 的该方程何时仅有一个正根。 ①当时，方程为，解得，符合题意； ②当时，，因其关于 a 的判别式，故恒成立，方程有两个互异的实根，此时方程仅有一个正根当且仅当，即，符合题意； 综上所述，实数 a 的取值范围为或。 例题2．已知函数。从下面两个条件中选择一个求出 k，并解不等式。 ①函数是偶函数；②函数是奇函数。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 【答案】答案见解析 【解析】根据题意，易得函数的定义域为，关于原点对称。 选择①：为偶函数，因此， 即，解得。经检验符合题设。 ， 即，即， 即，解得或， 不等式的解集为。 选择②：函数为奇函数，有， 即，解得。经检验符合题设， ， 即，即， 即，解得， 不等式的解集为。 例题3．已知函数为偶函数。 (1)求实数 k 的值； (2)解关于 m 的不等式； (3)设（），函数与的图象有 2 个公共点，求实数 a 的取值范围。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)由函数表达式可知定义域为， ∵函数为偶函数，∴，即， 又， ∴，即对一切 x 成立，故。 (2)， 任取，则，设，则 ， 所以在上递增。 ∵，又因为为上的偶函数， ∴，∴，即，整理得， 解得，∴所求不等式的解集为。 (3)公共点满足， 即在上有两个不相等的实根。 令，则，即有两个不相等的正实根， 故需，且，且，且。 由得；由得； 即，解得或。 综上解得。 同类题型即是练 1．已知函数为奇函数。 (1)求常数 k 的值； (2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明； (3)若函数，且在区间 [3,4] 上没有零点，求实数 m 的取值范围。 【答案】(1)；(2)单调递减，证明见解析；(3)。 【解析】(1)由，即， 所以，故，则， 当时，，对数无意义；经验证：符合题意。 所以。 (2)单调递减，证明如下： 由(1)知：，若，则 ， 而， 即，所以，故在上单调递减。 (3)由，令， 所以，由(2)知：在 [3,4] 上递减，而在 [3,4] 上递增， 所以在 [3,4] 上递增，则。 又在区间 [3,4] 上无解，故。 2．已知函数（）的图象关于原点对称。 (1)求 a 的值； (2)当时，恒成立，求实数 k 的取值范围。 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有， 即，即， 即，解得。当时，不满足题意，∴。 (2)由，得，即，即， 令，易知在上单调递减， 则的最大值为。又∵当时，恒成立， 即在恒成立，且，∴，， 即实数 k 的取值范围为。 3．已知函数，。 (1)证明：为偶函数； (2)若函数，，是否存在 m，使的最小值为 0。若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】(1)证明：∵的定义域为， ， 即，则为偶函数。 (2)解：， 当时，， 令，则，， 当时，即，在 [1,3] 上单调递增， 所以时，，令，解得，不满足（舍）； 当时，即，时，， 令，解得，结合得，此时，符合题意； 当时，即，在 [1,3] 上单调递减， 所以时，，令，解得，不满足（舍）。 故存在满足条件的。 4．已知函数。 (1)若为偶函数，求 a； (2)若命题“，”为假命题，求实数 a 的取值范围。 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)解：因为函数为偶函数， 所以，即， 所以，即对一切 x 成立， 所以。 (2)解：因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 所以，对，恒成立， 所以，对，且恒成立， 即对，且恒成立， 由对勾函数性质知，函数在上单调递增， 所以，在处，，，经检验两端均不能取等， 所以，即实数 a 的取值范围是。 5．已知函数与。 (1)判断的奇偶性； (2)若函数有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围。 【答案】(1)偶函数；(2)或 【解析】(1)∵的定义域为， ， ∴，∴为偶函数。 (2)函数只有一个零点， 即， 即方程有且只有一个实根。 令，则，即， 亦即有且只有一个正根。 ①当时，，，不合题意； ②当时，若方程有两相等正根，则，即， 解得或，且需： 时，（舍）；时，，满足题意（此时）； ③若方程有一个正根和一个负根，则，即，满足题意。 ∴实数 a 的取值范围为或。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题突破01 指数函数、对数函数四大性质的综合应用 第一部分 必备知识 1.指、对函数： （1）,当时，单调递减；当时，单调递增.定义域;值域. （2）,当时，单调递减；当时，单调递增. 定义域;值域. 2.复合函数的单调性：同增异减 y 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 3.分段函数： （1）单调递增：分段函数的每一段都是单调递增且后面一段的最小值大于等于前面一段的最大值. （2）单调递减：分段函数的每一段都是单调递减且后面一段的最大值小于等于前面一段的最小值. 4.存在性和恒成立： （1），对,都有，则的值域是值域的子集. （2）,使，则; ,使，则 （3）,使，则; ,使，则 第二部分 典型例题剖析 重点题型一：指数（型）函数的值域（最值） 例题1．定义：设函数 的定义域为 ，如果存在 ，使得 在 上的值域恰为 ，则称 在 上为“等域函数”．若定义域为 的函数 在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例题2．若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例题3．已知函数 ，，若存在实数 使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例题4．设不等式 对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是_______． 例题4．已知 ，，若对 ，，，则实数 的取值范围是_________. 例题5．已知函数 为偶函数． （1）求 的值； （2）对任意 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 同类题型即时练 1．已知 ，则函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 2．函数 （）的最大值为_________． 3．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________． 4．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是_____． 5．已知函数 是 上的奇函数，且 ． （1）求实数 的值，并求 的值域； （2）函数 满足 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值． 6．定义在 上的函数 ，如果满足：存在常数 ，对任意 ，都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界． （1）证明： 在 上是有界函数； （2）若函数 在 上是以 3 为上界的有界函数，求实数 的取值范围． 7．已知函数 ． （1）当 时，求方程 的解； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 8．设函数 ，． （1）求函数 的值域； （2）设函数 ，若对 ，，，求正实数 的取值范围． 重点题型二：指数（型）函数的单调性 例题1．已知函数 ，满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题2．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题3．已知函数 ，对于任意两个不相等实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题4．已知定义在 上的函数 是偶函数． （1）求 的值； （2）判断函数 在 上的单调性并证明； （3）解不等式：． 同类题型即时练 1．已知 且 ，函数 满足对任意实数 ，都有 成立，则 的取值范围是（　　） A．(0,1) B．(1,2] C． D． 2．已知函数 ，若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围为（　　） A．(1,12) B． C．[4,8] D． 4．已知函数 满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围为（　　） A． B．(0,1) C． D．(0,2) 5．已知函数 为奇函数． （1）求实数 的值； （2）判断并证明 在 上的单调性； （3）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 6．已知函数 是定义域为 的奇函数． （1）求实数 的值，并证明 在 上单调递增； （2）已知 且 ，若对于任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围． 7．已知函数 是奇函数． （1）求实数 的值，并说明函数 的单调性（不证明）； （2）若对任意的实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 重点题型三：指数型函数的奇偶性 例题1．已知函数 的图象经过点 。 (1) 求 a 的值； (2) 求函数 的定义域和值域； (3) 判断函数 的奇偶性并证明． 例题2．已知定义在 上的奇函数 ，当 时，函数解析式为 ． (1) 求 a 的值，并求出 在 上的解析式； (2) 若对任意的 ，总有 ，求实数 t 的取值范围． 例题3．已知定义域为 的函数 是奇函数． (1) 求 的解析式； (2) 若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围． 同类题型即时练 1．已知 是定义在 上的奇函数，当 时，（）． (1) 求函数 在 上的解析式； (2) 若 ， 恒成立，求实数 m 的取值范围． 2．已知函数 是定义在 上的奇函数． (1) 求实数 a 的值； (2) 求不等式 的解集； (3) 若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围． 3．已知 （ 且 ）是 上的奇函数，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 若不等式 对 恒成立，求 m 的取值范围． 重点题型四：对数（型）函数的定义域 例题1．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．(0,3) B． C．(0,3] D． 例题2．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为______． 同类题型即时练 1．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的定义域是（　　） A．[-1,5] B．(-1,5) C． D． 3．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是______． 重点题型五：对数（型）函数的值域（最值） 例题1．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题2．已知函数的值域为 R，那么实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题3．若函数的最小值是 1，则实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题4．若函数的最大值为 0，则实数 a 的值为___________。 例题5．若函数（），则函数的值域为___________。 例题6．已知幂函数为偶函数。 （1）求函数 f(x) 的解析式； （2）若函数的定义域为，求函数 g(x) 的值域。 同类题型即时练 1．已知函数的值域为 R，那么实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若函数有最小值，则 a 的取值范围为______。 3．已知函数的值域是 R，则实数 a 的最大值是___________。 4．已知函数（，）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_________。 5．已知，，求的最大值及相应的 x。 6．已知函数。 （1）判断函数 f(x) 的奇偶性，并证明； （2）设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数 m 的取值范围。 7．已知函数，其定义域为。 （1）求实数 m，n 的值； （2）若函数 f(x) 的最小值为 -2，求 a 的值。 8．已知函数（，），。 （1）求实数 a 的值； （2），。求 g(x) 的最小值、最大值及对应的 x 的值。 9．已知函数。 （1）当时，求该函数的值域； （2）若，对于恒成立，求实数 m 的取值范围。 重点题型六：对数（型）函数的单调性 例题1．若是定义在R上的增函数，实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题2．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例题3．函数的一个单调增区间是（　　） A． B． C． D． 例题4．已知偶函数（其中a>0），且满足。 (1)求f(x)的解析式，并指出其在定义域内的单调性（不需要证明）； (2)解关于x的不等式。 同类题型即时练 1．函数为定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递减，则a的取值范围（　　） A． B． C． D． 3．已知函数（a>0，且a≠1）。 (1)求函数f(x)的定义域； (2)是否存在实数a，使函数f(x)在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。 4．已知函数。 (1)用定义证明f(x)是(2,6)上的增函数； (2)求不等式的解集。 重点题型七：对数（型）函数的奇偶性 例题1．已知函数，。 (1)试判断在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明； (2)若函数在上只有一个零点，求实数 a 的取值范围。 例题2．已知函数。从下面两个条件中选择一个求出 k，并解不等式。 ①函数是偶函数；②函数是奇函数。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 例题3．已知函数为偶函数。 (1)求实数 k 的值； (2)解关于 m 的不等式； (3)设（），函数与的图象有 2 个公共点，求实数 a 的取值范围。 同类题型即是练 1．已知函数为奇函数。 (1)求常数 k 的值； (2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明； (3)若函数，且在区间 [3,4] 上没有零点，求实数 m 的取值范围。 2．已知函数（）的图象关于原点对称。 (1)求 a 的值； (2)当时，恒成立，求实数 k 的取值范围。 3．已知函数，。 (1)证明：为偶函数； (2)若函数，，是否存在 m，使的最小值为 0。若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。 4．已知函数。 (1)若为偶函数，求 a； (2)若命题“，”为假命题，求实数 a 的取值范围。 5．已知函数与。 (1)判断的奇偶性； (2)若函数有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $