精品解析：江苏无锡湖滨中学2026-2027学年第一学期九年级10月学情自测数学卷

2026～2027学年第一学期江苏无锡湖滨中学随堂练习 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 如图，点A，B，C是上的三点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 2. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴点A在外 故选：A 3. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 4. 如图，是的直径，弦交于点E，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角是直角，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 连接，得到，根据三角形内角和定理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ， ， 故选：D． 5. 如图，是的弦，半径于D，若的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差求出答案即可． 【详解】解：连接， 则， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 8. 如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 点在这条圆弧所在圆外 C. 原点在这条圆弧所在圆上 D. 这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 9. 如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．连接，由为的切线，利用切线的性质得到，由，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 则． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，根据勾股定理可得，因为，所以得，再解方程即可作答． 【详解】解：根据题意可知， 把代入，得； 把代入，得； ∴，， ， ， ， ， 解得或（，故舍去）， 故选：D 二、填空题（每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 11. 如图，点是上一点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半得出，根据圆内接四边形的对角互补，即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为： ． 12. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积计算公式（为母线长，为底面圆半径）求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 13. 一条弦分圆为5：7两部分，这条弦所对的圆周角的度数_________． 【答案】75°或105°##105°或75° 【解析】 【分析】先根据弦把圆分成的两部分求出的度数，再利用圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 弦把分成的两部分， ， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角为75°或105°， 故答案为：75°或105°． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键． 14. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中弧的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据90度的圆周角所对的弦是直径，推出是直径，再利用勾股定理，推出，是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质，推出，再求出，即可利用弧长公式求出弧的长度． 【详解】解：连接、， 是直角， 是直径， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，弧长公式，求出半径以及所对的圆心角是解题关键． 15. 如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 17. 如图，在中，， 是的内切圆，切点分别为D、E、F．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理、正方形的判定和性质和勾股定理，正确作出辅助线并且证明是解题的关键．由切线长定理得，，求得的长度，连接、，易知四边形是正方形，设，由勾股定理列方程求得m，进而求得，的长度，即可求解． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为D、E、F，，， ，，， 连接、，则，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设，则，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ， 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，则以为圆心，为半径的与直线的位置关系是______；点为菱形所在平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段最小值为______． 【答案】 ①. 相离 ②. 【解析】 【分析】连接，交于点，交于点，由菱形的性质可得，，然后通过直角三角形的性质得，再与半径比较即可判断与直线的位置关系；连接，，交于点，由菱形的性质可得，，，然后通过是的中位线，得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，故当点在线段上时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴以为半径的与直线的位置关系是相离； 如图，连接，，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，取得最小值，如图， 此时最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，， ． 21. 如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 （1）请问：与相等吗？为什么？ （2）若，则______． 【答案】（1） 解：，理由如下： 连接， 是圆的直径， ， ， 垂直平分AD， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，根据是圆的直径以及线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，从而得到，即可解答； （2）求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 故答案为： 22. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）40 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角得，，则，根据同位角相等两直线平行得，再根据直径所对应的圆周角为得，然后根据两直线平行，同位角相等得，即可证明； （2）先根据垂径定理得，设，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为：． 23. 如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； （2）在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理； （1）过点作交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的面积． 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD、CD． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE=DE， ∴∠CDE=∠DCE， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCD+∠DCE=90°， ∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案； （2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设⊙O的半径为r， ∵∠ODF=90°， ∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2， 解得：r=3， ∴⊙O的半径为3． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键． 25. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 26. 如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，我们就称这个四边形为圆内接四边形． （1）下列选项中，一定是圆内接四边形的是________．（填序号） ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图，与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上，若、、、四点共圆． ①设、、四边形的面积分别为、、，且满足：，试判断的形状，并说明理由． ②在①的条件下，绕点顺时针旋转，得到．设旋转角为，记直线与的交点为，连接，求线段的最大值． 【答案】（1）③④ （2）①是等腰直角三角形，理由如下： 对于，令得， ∴； 令， 解得， ∴． 故，． 设，． ∵对角线在x轴上，在y轴上，， ∴， ， ． 由，两边平方得， 即． ∵． ． ∴，即， 得． ∵与是同弧所对的圆周角，与是同弧所对的圆周角， ∴，， ∴． ∴， 即， 得， ∴． 代入，可得 ∴． ∴， 又， ∴是等腰直角三角形． ② 【解析】 【分析】（1）根据各四边形的性质分析即可； （2）①先求出，．设，．由于对角线在x轴上、在y轴上，，则，，，然后对化简，求得．再证明，即可求解，即可判断的形状； ②先证明，求出，即可得到、、、四点共圆，且是该圆的直径，则，作于，则，由勾股定理可得，则，而，然后证明随的增大而增大．故当时，取得最大值，则取得最大值：，故线段的最大值为． 【小问1详解】 解：矩形和正方形的对角线相等且互相平分，对角线的交点到四个顶点的距离都等于对角线的一半，故四个顶点一定共圆；平行四边形和菱形的对角线虽然互相平分但不一定相等，交点到四个顶点的距离不一定相等，故不一定共圆； 【小问2详解】 ①略 ②由①知，． ∴由旋转可得，，． 由①可得，， 而， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴由三角形内角和定理可得，． ∵，， ∴、、、四点共圆，且是该圆的直径． ∴． 由题意得，是等腰直角三角形，， ∴ 作于， 在中，， ∴ ∵在中，， ∴ ． ∵， ∴． 记，则． 设， ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴随的增大而增大． 故当时，取得最大值， ∴取得最大值：， ∴线段的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期江苏无锡湖滨中学随堂练习 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 如图，点A，B，C是上的三点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 3. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦交于点E，，则为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的弦，半径于D，若的半径为，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A. B. C. D. 7. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（ ） A. 这条圆弧所在圆的半径为 B. 点在这条圆弧所在圆外 C. 原点在这条圆弧所在圆上 D. 这条圆弧所在圆的圆心为 9. 如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，分别以点、为圆心，为半径作圆，当与轴相切，与轴相切时，连接．若，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 11. 如图，点是上一点，若，则______． 12. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是________． 13. 一条弦分圆为5：7两部分，这条弦所对的圆周角的度数_________． 14. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，线段与弧交于点，则图中弧的长度为________． 15. 如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 17. 如图，在中，， 是的内切圆，切点分别为D、E、F．若，，则___________． 18. 如图，在菱形中，，则以为圆心，为半径的与直线的位置关系是______；点为菱形所在平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 20. 如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点； （2）若，，求． 21. 如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 （1）请问：与相等吗？为什么？ （2）若，则______． 22. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 23. 如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； （2）在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 24. 如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 26. 如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，我们就称这个四边形为圆内接四边形． （1）下列选项中，一定是圆内接四边形的是________．（填序号） ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图，与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上，若、、、四点共圆． ①设、、四边形的面积分别为、、，且满足：，试判断的形状，并说明理由． ②在①的条件下，绕点顺时针旋转，得到．设旋转角为，记直线与的交点为，连接，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $